專(zhuān)題20 尺規(guī)作圖-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（山東專(zhuān)用）

PAGE1專(zhuān)題20尺規(guī)作圖課標(biāo)要求考點(diǎn)考向1．能用尺規(guī)作圖:作一個(gè)角等于已知角;作一個(gè)角的平分線(xiàn)。2．能用尺規(guī)作圖:作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn);過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)。3．能用尺規(guī)作圖:過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的平行線(xiàn)。4．能用尺規(guī)作圖:已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線(xiàn)作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.5．能用尺規(guī)作圖:過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。6．能用尺規(guī)作圖:過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)．尺規(guī)作圖考向一尺規(guī)作圖——等角考向二尺規(guī)作圖——角平分線(xiàn)考向三尺規(guī)作圖——平行考向四尺規(guī)作圖——垂直平分線(xiàn)考向五尺規(guī)作圖——綜合考點(diǎn)尺規(guī)作圖?考向一尺規(guī)作圖——等角1.（2024?濟(jì)寧）如圖，中，，是的角平分線(xiàn)．（1）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，．（2）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)．（3）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與（2）中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)．（4）畫(huà)射線(xiàn)．（5）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)于點(diǎn)．（6）連接，，分別交，于點(diǎn)，．根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是．（只填序號(hào)）①；②；③；④；⑤．【答案】①②⑤【分析】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定義，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用角的等量代換是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出①；過(guò)作于點(diǎn)，證出四邊形為矩形，即可通過(guò)邊的比值關(guān)系求出，即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個(gè)角的值進(jìn)行比較即可判斷③；設(shè)，則，用含的式子分別表達(dá)出和的長(zhǎng)度后即可判斷④；判定出即可判斷⑤．【詳解】解：∵，，∴三角形為等腰直角三角形，，又∵是的角平分線(xiàn)，∴，∴，∴，故①正確；根據(jù)題意作圖可得：，，過(guò)作于點(diǎn)，則，如圖所示：∵是的角平分線(xiàn)，由三線(xiàn)合一可得：，即，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，故③錯(cuò)誤；設(shè)，則，∵，∴，∴，即，，即，∴，故④錯(cuò)誤；∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有：①②⑤；故答案為：①②⑤．?考向二尺規(guī)作圖——角平分線(xiàn)1.（2024?日照）如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，畫(huà)射線(xiàn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：(3)若，，，求的面積．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了角平分線(xiàn)定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖可知，為的角平分線(xiàn)，即可得到答案；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，結(jié)合，從而推出，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，結(jié)合，推出，從而得到，，，最后由計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由作圖可知，為的角平分線(xiàn)故答案為：（2）證明：四邊形為平行四邊形（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)四邊形為平行四邊形，，，又．2.（2024?煙臺(tái)）某班開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線(xiàn)”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線(xiàn)為的平分線(xiàn)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查角平分線(xiàn)的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線(xiàn)的性質(zhì)和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法，為的平分線(xiàn)；第二個(gè)圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線(xiàn)；第三個(gè)圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線(xiàn)；第四個(gè)圖，由作圖可知：，，∴為的平分線(xiàn)；故選D．?考向三尺規(guī)作圖——平行1.（2024?德州）已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)P作的平行線(xiàn)．下列作圖痕跡不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖．作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線(xiàn)，平分線(xiàn)的判定，菱形的判定和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知，是的平分線(xiàn)，且，∴，，∴，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由作圖知，是的平分線(xiàn)，且，∴，，不能說(shuō)明與相等，∴與不平行，故本選項(xiàng)符合題意；C、由作圖知，，∴四邊形是菱形，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由作圖知，，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．?考向四尺規(guī)作圖——垂直平分線(xiàn)1.（2024?濟(jì)南）如圖，在正方形中，分別以點(diǎn)A和為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和，作直線(xiàn)，再以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交直線(xiàn)于點(diǎn)（點(diǎn)在正方形內(nèi)部），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則正方形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，設(shè)交于點(diǎn)H，正方形邊長(zhǎng)為，由作圖知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，證明，推出，推出，得到，即得．【詳解】連接，設(shè)交于點(diǎn)H，正方形邊長(zhǎng)為，由作圖知，，垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，梯形中位線(xiàn)性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．?考向五尺規(guī)作圖——綜合1.（2024?青島）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點(diǎn)．求作：四邊形內(nèi)一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到的距離相等．【答案】見(jiàn)解析【難度】0.65【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線(xiàn)和作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作的平分線(xiàn)，以E為頂點(diǎn)，為一邊作，交于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：作的平分線(xiàn)，以E為頂點(diǎn)，為一邊作，交于P，如圖，點(diǎn)P即為所求．2.（2024?泰安）如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線(xiàn)分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線(xiàn)，若射線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線(xiàn)段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．由作圖可知垂直平分線(xiàn)段、平分，進(jìn)而證明可判定①；再說(shuō)明可得垂直平分線(xiàn)段可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得可判定③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定④．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線(xiàn)段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線(xiàn)段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．3.（2024?山東）如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與、相交于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線(xiàn)．分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線(xiàn)分別與，相交于點(diǎn)，．若，，則到的距離為．【答案】【分析】如圖，過(guò)作于，證明，，，再證明，再結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)作于，由作圖可得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴到的距離為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作．1.（2024山東威海中考真題）感悟如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，，．求證：．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線(xiàn)上取點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線(xiàn)上取一點(diǎn)，在直線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：證明，即可求得；應(yīng)用（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，；應(yīng)用（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接．【詳解】感悟：∵，∴．在和中∴．∴．應(yīng)用：（1）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，，圖形如圖所示．（2）：以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，圖形如圖所示．根據(jù)作圖可得：，又，∴，∴.一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，用圓規(guī)和直尺作圖，不能把分成兩個(gè)等腰三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，角平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡分辨尺規(guī)作圖是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)等尺規(guī)作圖的作法，逐個(gè)分析即可．【詳解】A．尺規(guī)作圖作的的角平分線(xiàn)，由圖可知，，，，，，和為等腰三角形，能把分成兩個(gè)等腰三角形，故A不符合題意；B．尺規(guī)作圖作的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，由圖可知，，，，和為等腰三角形，能把分成兩個(gè)等腰三角形，故B不符合題意；C．，，，，有尺規(guī)作圖可得，，和為等腰三角形，能把分成兩個(gè)等腰三角形，故C不符合題意；D．，，但不能說(shuō)明為等腰三角形，不能把分成兩個(gè)等腰三角形，故D符合題意；故選：D．二、解答題2．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）中，，．D，E是直線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿方向運(yùn)動(dòng)，且．連接，作直線(xiàn)，垂足為F，交于點(diǎn)G，直線(xiàn)交（或延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E在線(xiàn)段上時(shí)．①過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)P；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）②求證：；③猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E在直線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，（1）③中你猜想的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①圖見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③猜想：，證明見(jiàn)解析(2)（1）③中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖—基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵．（1）①作出，即可得解；②由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)同角的余角相等即可得證；③先證明，得出，再證明得出．最后證明出，再由等角對(duì)等邊即可得證；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．先證明得出，，再證明得出，從而得出，即可得解．【詳解】（1）解：①作圖如圖所示．（作法不唯一）②證明：，．又，．，．③猜想：．證明：在和中，．．，．，在和中，．．．，，．．（2）解：（1）③中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．．，．．在和中，．，．在和中，．．．．3．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）綜合與實(shí)踐學(xué)習(xí)了平行線(xiàn)后，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組甲、乙兩同學(xué)分別探究出了“過(guò)一點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的新的方法．【動(dòng)手操作】甲同學(xué)用的是尺規(guī)作圖的方法（P是直線(xiàn)a外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作．）具體作圖步驟如圖1所示．乙同學(xué)用的是折紙的方法（P是直線(xiàn)a外一點(diǎn)，直線(xiàn)a與正方形的相鄰兩邊分別相交于A，B，過(guò)點(diǎn)P折出）．具體折紙步驟如圖2所示．【探究發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．(1)甲同學(xué)作圖中，的依據(jù)是______；(2)寫(xiě)出乙同學(xué)每一步的具體做法及的依據(jù)．第一步，______；第二步，______；第三步，______．的依據(jù)是______．【答案】(1)同位角相等，兩直線(xiàn)平行(2)沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在直線(xiàn)a上，折痕為；把紙片展平，繼續(xù)沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在折痕上，此時(shí)折痕為；把紙片展平，沿折痕畫(huà)直線(xiàn)；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行【分析】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定，尺規(guī)作圖：（1）由作法得：，，再根據(jù)“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”，即可求解；（2）根據(jù)題中的折疊方法，寫(xiě)出步驟，即可．【詳解】（1）解：由作法得：，∴（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）；故答案為：同位角相等，兩直線(xiàn)平行（2）解：第一步，沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在直線(xiàn)a上，折痕為；第二步，把紙片展平，繼續(xù)沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在折痕上，此時(shí)折痕為；第三步，把紙片展平，沿折痕畫(huà)直線(xiàn)；則．依據(jù)是：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．故答案為：沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在直線(xiàn)a上，折痕為；把紙片展平，繼續(xù)沿點(diǎn)P所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在折痕上，此時(shí)折痕為；把紙片展平，沿折痕畫(huà)直線(xiàn)；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行4．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）教科書(shū)第39頁(yè)有下面一段文字：思考：如圖1，把一長(zhǎng)一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出．固定住長(zhǎng)木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木棍，得到．這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么？圖1中的與滿(mǎn)足兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，即，，，但與不全等．這說(shuō)明，有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．小明通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的再思考，提出：兩邊和其中一邊的對(duì)角（這個(gè)角是鈍角）分別相等的兩個(gè)三角形全等．即在和中，若，，（，為鈍角），則．對(duì)于小明的結(jié)論，阿強(qiáng)和阿芳分別提出了驗(yàn)證方案．(1)阿強(qiáng)的驗(yàn)證方案：根據(jù)教科書(shū)中探究三角形全等判定方法的經(jīng)驗(yàn)，利用尺規(guī)作圖驗(yàn)證小明提出的結(jié)論．即先畫(huà)一個(gè)，使為鈍角，如圖2，再畫(huà)一個(gè)，使，，．把畫(huà)好的剪下來(lái)，放到上，看它們是否重合．請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出符合條件的（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡）；(2)阿芳的驗(yàn)證方案：利用三角形全等的判定方法證明小明提出的結(jié)論．即：在和中，已知，，（，為鈍角），如圖3．求證：．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）作，作，即可；（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，證明得，證明得，最后利用即可得證；解題的關(guān)鍵是掌握五個(gè)基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】（1）解：如圖，則即為所作；（2）證明：過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴．5．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）相傳很久以前，為了顯示誰(shuí)的邏輯思維能力更強(qiáng)，古希臘人限制了幾何作圖的工具，結(jié)果一些普通的畫(huà)圖題，卻讓數(shù)學(xué)家們苦苦思索了兩千年．可見(jiàn)，尺規(guī)作圖有它特有的魅力，使無(wú)數(shù)人沉湎其中，在幾何作圖中，我們把用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)完成的作圖，叫做尺規(guī)作圖．請(qǐng)完成以下作圖，不用寫(xiě)作法，保留合理的作圖痕跡．已知線(xiàn)段、，求作：，使、．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)作圖方法．作，在上截取，在上截取，連接即可．【詳解】解：作出，在上截取，在上截取，連接，∴為所求三角形．6．（24-25七年級(jí)上·山東泰安·期中）在下圖的每個(gè)三角形中，分別按要求作（畫(huà)）圖：(1)在圖①中用尺規(guī)作出中線(xiàn)AD；(2)在圖②中用尺規(guī)作出角平分線(xiàn)AD；(3)在圖③中畫(huà)出高線(xiàn)AD；(4)在圖①中，若，（C表示周長(zhǎng)）且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)3【分析】（1）作線(xiàn)段CB的垂直平分線(xiàn)，交CB于D，連接AD即為所求；（2）先以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，交、于兩點(diǎn)，然后再以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)間距離的一半為半徑作弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接此點(diǎn)和點(diǎn)A，即可得解．（3）由于是鈍角三角形，因此高線(xiàn)AD在的外部，過(guò)A點(diǎn)作高交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，即可得到高線(xiàn)；（4）先根據(jù)中線(xiàn)得到，然后根據(jù)周長(zhǎng)差得到，即可解題．本題主要考查了三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)的作法，熟練掌握尺規(guī)作圖的基本作法，是解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，AD即為所作；（2）如圖，AD即為所作；（3）如圖，AD即為所作；（4）解：∵AD是的中線(xiàn)，∴，∴，又∵，∴．7．（23-24八年級(jí)下·山東青島·期末）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．在公園中有一塊四邊形的空地，需要規(guī)劃栽種不同品種的植物，空地圖紙如圖所示，已知四邊形，，在邊上求作一點(diǎn)M，在邊CD上求作一點(diǎn)N，使得、、的面積都相等．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知需要，且三條高相等，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等和即可求解．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求．

8．（24-25九年級(jí)上·山東青島·期中）對(duì)于幾何圖形，我們通常是從它的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用等方面進(jìn)行研究，并且都是從組成圖形的元素及相關(guān)元素之間的關(guān)系進(jìn)行探究．觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、猜想、證明等是我們常用的探究方法．【定義】如圖①，在四邊形中，，，我們把這種有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線(xiàn)段叫做它的對(duì)角線(xiàn)，線(xiàn)段就是它的一條對(duì)角線(xiàn)．【性質(zhì)】請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出箏形具有的性質(zhì)．（任意寫(xiě)出2條你認(rèn)為正確的即可）例如：∵四邊形是箏形

∴，性質(zhì)1：______；性質(zhì)2：______．【判定】下列條件能夠判定四邊形是箏形的有______．（將所有正確的序號(hào)填在橫線(xiàn)上）①且；②；③且；④．【應(yīng)用】如圖②，在箏形中，，，請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在箏形內(nèi)部找一點(diǎn)，連接，，使折線(xiàn)恰好將箏形的面積分為相等的兩部分．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】[性質(zhì)]見(jiàn)解析；[判定]①③；[應(yīng)用]見(jiàn)解析【分析】[性質(zhì)]根據(jù)定義結(jié)合圖形，從邊，角，對(duì)角線(xiàn)分析即可得出結(jié)論；[判定]根據(jù)箏形定義分析即可求解；[應(yīng)用]利用三角形的一條中線(xiàn)將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形即可作出圖形．【詳解】解：[性質(zhì)]性質(zhì)1：∵四邊形是箏形

∴性質(zhì)2：∵四邊形是箏形

∴且；[判定]解：①根據(jù)箏形定義可得且；故①正確②和④不能判定四邊形是箏形

③且；理由如下：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)、均在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，∴垂直平分，即且；故答案為：①③．[應(yīng)用]解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．作出的中點(diǎn)，連接、，折線(xiàn)將箏形面積等分．理由：∴在中，為邊中點(diǎn)，，，同理：，，，即四邊形的面積四邊形的面積，折線(xiàn)將箏形面積等分．【點(diǎn)睛】本題考查了“箏形”的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)、作垂線(xiàn)；熟練掌握“箏形”的定義，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東青島·一模）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°；求作：一個(gè)面積最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜邊CE在邊BC上．【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】當(dāng)B點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，等腰直角△CDE面積最大．由此即可作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)與BC交于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，與線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)D（或），最后連接CD（或）、BD（或）即可．【詳解】如圖，（或）即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—等腰直角三角形，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．掌握作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方法和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023·山東德州·一模）如圖，外有一點(diǎn)P﹒(1)請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法作出的兩條切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)；（保留作圖痕跡，無(wú)需寫(xiě)作法）(2)點(diǎn)C是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若的半徑長(zhǎng)為，求圖中線(xiàn)段、和劣弧所圍成的封閉圖形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)【分析】（1）連接，以線(xiàn)段為直徑作圓，交于點(diǎn)A，B，作直線(xiàn)，，則直線(xiàn)，即為所求；（2）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到，連接、，利用圓周角定理求得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求解；（3）連接，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理求得，解直角三角形求得，根據(jù)陰影部分的面積計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：如圖，直線(xiàn)，即為所作，；（2）解：如圖，連接、，、是切線(xiàn)，，，，，，，，；（3）解