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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市順義區(qū)牛欄山一中板橋中學高二(下)3月月考數(shù)學試卷一、單選題:本題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列3,5,A.第20項 B.第21項 C.第22項 D.第23項2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=1,aA.7 B.8 C.9 D.103.函數(shù)f(x)=lnx?12x2A.(0,1] B.(?1,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)4.數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1A.0 B.12 C.23 5.函數(shù)f(x)=ex?x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[?1,1]上的最小值是A.1+1e B.1 C.e+1 6.已知函數(shù)f(x)=x3?2ax2+aA.0或?1 B.?3或?1 C.?1 D.?37.在等比數(shù)列{an}中,已知a3=32,A.32 B.?12 C.32或6 8.若a=ln22,b=ln33,c=1e,則aA.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c9.函數(shù)f(x)=?2cosxex,x∈[?π,π]的圖象大致為A.B.C.D.10.已知函數(shù)f(x)=lnx+x3?ax,當x∈(0,1)時f(x)≤0恒成立,則a的取值范圍是A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。11.已知數(shù)列?2,a1,a2,?8成等差數(shù)列,?2,b1,b2,b3,?812.函數(shù)f(x)=lnx圖像上一點到直線y=x的最短距離是______.13.若函數(shù)f(x)=x2+ax的圖象在點P(1,f(1))處的切線方程為y=mx+m(m∈R),則實數(shù)14.已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<x,且f(2)=1,則不等式f(x)<12x2?115.表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”,其特點是每行每列都成等差數(shù)列,記第i行第j列的數(shù)為ai,j,則a7,8=
,表中的數(shù)2021共出現(xiàn)234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……三、解答題:本題共6小題,共75分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,a2是a1和a4的等比中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{17.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=13x3?4x+1.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求18.(本小題12分)
A,B,C三人參加知識闖關(guān)比賽,三人闖關(guān)成功與否相互獨立.已知A闖關(guān)成功的概率是23,A,B,C三人闖關(guān)都成功的概率是16,A,B,C三人闖關(guān)都不成功的概率是112.
(1)求B,C兩人各自闖關(guān)成功的概率;
(2)求A,B,C19.(本小題13分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為矩形,且AB=3,AD=2,側(cè)面PAD是等腰三角形,且PA=PD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求證:AP⊥平面PCD;
(Ⅱ)求側(cè)面PBC與底面ABCD20.(本小題13分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=l(a>b>0)的離心率e=32,且圓x2+y2=2過橢圓C的上、下頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線1的斜率為12,且直線1與橢圓C相交于P,Q兩點,點P關(guān)于原點的對稱點為21.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=x3?3ax2+3.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)是否存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]參考答案1.D
2.C
3.A
4.B
5.B
6.D
7.C
8.A
9.A
10.B
11.1212.213.1
14.(2,+∞)
15.57;12
16.解:(1)數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,a2是a1和a4的等比中項.
故a22=a1?a4,整理得(a1+d)2=a1(17.解:(1)由f(x)=13x3?4x+1得,f′(x)=x2?4,
∴f(0)=1,f′(0)=?4,
∴曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程y?1=?4(x?0),即4x+y?1=0;
(2)令f′(x)>0可得x>2或x<?2,令f′(x)<0可得?2<x<2,
∴函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減,18.解:(1)記A,B,C三人各自闖關(guān)成功分別為事件D,E,F(xiàn),
三人闖關(guān)成功與否得相互獨立,且滿足P(D)=23P(D)P(E)P(F)=16[1?P(D)][1?P(E)][1?P(F)]=112,
則P(F)=12,P(E)=12,
所以B,C兩人各自闖關(guān)成功的概率都是12.
(2)設(shè)A,B,19.(Ⅰ)證明:在△APD中,AD=2,PA=PD=2,
∴AD2=AP2+DP2,∴AP⊥DP,
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,
AD⊥CD,CD?平面ABCD,∴CD⊥平面APD,∴CD⊥AP,
∵CD∩DP=D,∴AP⊥平面PCD;
(Ⅱ)解:取AD的中點為M,連接PM,∵PA=PD,所以PM⊥AD,
又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PM⊥平面ABCD,過點M作MG⊥BC,垂足為G,連接PG,
∴BC⊥平面PMG,∴∠PGM為側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角,
在直角△PMG中,PM=12AD=1,MG=3,∴PG=20.解:(1)由題意可得b=2,e=ca=1?b2a2=32,
所以a2=8,
所以橢圓C的方程為:x28+y22=1;
(2)證明:設(shè)直線l的方程為x=2y+t,設(shè)P(x1,y1),21.解:(1)由題意可得f′(x)=3x2?6ax,
當a=0時,f′(x)=3x2≥0恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增;
當a<0時,2a<0,
令f′(x)=3x(x?2a)>0,解得x>0或x<2a,令f′(x)<0,解得2a<x<0,
所以f(x)在(?∞,2a),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(2a,0)上單調(diào)遞減;
當a>0時,2a>0,
令f′(x)>0,解得x>2a或x<0,令f′(x)<0解得0<x<2a,
所以f(x)在(?∞,0),(2a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,2a)上單調(diào)遞減.
(2)存在正實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為?1.
由(1)知,當a>0時,函數(shù)f(x)在(
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