高等數(shù)學(xué)-空間解析幾何

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程第1頁一、向量概念二、向量線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量線性運(yùn)算五、向量模、方向角、投影§8.1向量及其運(yùn)算第2頁表示法:向量模:向量大小,一、向量概念向量:(又稱矢量).現(xiàn)有大小,又有方向量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)向量.單位向量:模為1向量,零向量:模為0向量,有向線段

第3頁要求:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

模相同,但方向相反向量稱為a

負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面

.記作－a;第4頁二、向量線性運(yùn)算1.向量加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.第5頁第6頁2.向量減法三角不等式第7頁3.向量與數(shù)乘法

是一個(gè)數(shù),

與a

乘積是一個(gè)新向量,記作尤其:第8頁結(jié)合律運(yùn)算律:分配律所以第9頁定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))a∥b．．OiPxx點(diǎn)P實(shí)數(shù)x軸上點(diǎn)P坐標(biāo)為x充分必要條件是

直線上點(diǎn)坐標(biāo)平面上點(diǎn)坐標(biāo)OQpMxyij點(diǎn)M向量

平面上點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）充分必要條件是

向量第10頁證實(shí):

假設(shè)存在唯一實(shí)數(shù),使得由向量與數(shù)乘法定義可知與平行.與平行假設(shè)與同向，取若則與同向，與同向.從而而,故第11頁下面證唯一性：假設(shè)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)與反向，取若則與反向，與同向.從而而,故使以上兩式相減，得故第12頁定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))a∥b．．OiPxx點(diǎn)P實(shí)數(shù)x軸上點(diǎn)P坐標(biāo)為x充分必要條件是

直線上點(diǎn)坐標(biāo)平面上點(diǎn)坐標(biāo)OQpMxyij點(diǎn)M向量

平面上點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）充分必要條件是

向量第13頁ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條相互垂直數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)O,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系基本概念Ⅰ第14頁向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)坐標(biāo):有序數(shù)組稱有序數(shù)組為點(diǎn)M坐標(biāo),記為

M原點(diǎn)O(0,0,0);第15頁坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:第16頁2.向量坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分向量.坐標(biāo)為此式稱為向量

r

坐標(biāo)分解式

,任意向量r可用向徑OM表示.第17頁四、利用坐標(biāo)作向量線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成百分比:第18頁例2.求解以向量為未知元線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得第19頁例3.

已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:

設(shè)M

坐標(biāo)為如圖所表示及實(shí)數(shù)得即故第20頁說明:

由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:第21頁五、向量模、方向角、投影

1.向量模與兩點(diǎn)間距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與第22頁例4.

求證以證:即為等腰直角三角形.三角形是等腰直角三角形.為頂點(diǎn)第23頁例5.

在z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思索:(1)怎樣求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)軌跡方程?(2)怎樣求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)軌跡方程?離點(diǎn).第24頁提醒:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.

已知兩點(diǎn)和解:求第25頁2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

夾角.

類似可定義向量與軸,

軸與軸夾角.與三坐標(biāo)軸夾角

,

,

為其方向角.方向角余弦稱為其方向余弦.

記作第26頁方向余弦性質(zhì):第27頁例7.

已知兩點(diǎn)和模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量第28頁例8.

設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,解:

已知角依次為求點(diǎn)A

坐標(biāo).則因點(diǎn)A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)A

坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸，y軸夾第29頁3.向量投影概念空間一點(diǎn)在軸上投影第30頁過點(diǎn)

作一平面與軸垂直，該平面與軸交于一點(diǎn)，則稱為向量在

軸上分向量，設(shè)

則稱數(shù)為在軸上投影，記作

或向量在軸上投影：