控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述是線性系統(tǒng)理論乃至

13.1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間描述是線性系統(tǒng)理論，乃至現(xiàn)代控制理論中，最基本又最重要的內(nèi)容之一。本章只重點(diǎn)介紹和討論建立單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的一些主要方法及相關(guān)問題，一是因?yàn)樗懻摰姆椒ň哂写硇?，二是這類系統(tǒng)在工業(yè)中目前仍占有很大比例。2

本章主要內(nèi)容第一節(jié)狀態(tài)空間描述的基本定義及一般形式第二節(jié)根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式第三節(jié)由系統(tǒng)微分方程式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式第四節(jié)由系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間表達(dá)式第五節(jié)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式第六節(jié)由狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)描述第七節(jié)離散控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3第一節(jié)狀態(tài)空間描述的基本定義及一般形式

一、基本定義與概念1.狀態(tài)

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)，較嚴(yán)格和完整的定義，是指能完全描述或確定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的個(gè)數(shù)最少的一組變量。

定義中的“完全描述或確定”的含義是指，如果給出了這組變量的各初值和時(shí)的系統(tǒng)輸入量，那么，系統(tǒng)在時(shí)的任何瞬間的行為都能被完全確定。

定義中“個(gè)數(shù)最少”的含義是指，對(duì)于所選定的一組變量，若減少了其中的一個(gè)，則無法確定系統(tǒng)的行為，若再增加一個(gè)又沒有必要。因此，要選擇線性無關(guān)的變量作為狀態(tài)。2.狀態(tài)變量

構(gòu)成系統(tǒng)狀態(tài)中的每一個(gè)變量。常用表示。狀態(tài)變量可以是物理量，或是一些物理量的組合；可以是能測(cè)量的，也可以是不能量測(cè)的。但是，從工程角度，狀態(tài)變量應(yīng)選擇容易測(cè)量的物理量為好，這對(duì)系統(tǒng)的分析和實(shí)施控制都會(huì)比較方便。43、狀態(tài)矢量

又稱狀態(tài)向量，把狀態(tài)變量，視為向量的分量，則稱為狀態(tài)矢量。常簡(jiǎn)寫為，即4.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量

為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的維空間。維空間是一個(gè)抽象的概念，但可以從《幾何學(xué)》上的二維空間是一個(gè)平面、三維空間是一個(gè)立方體地推廣和聯(lián)想。5.狀態(tài)方程

狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和輸入量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散系統(tǒng)）。56、輸出方程

系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量和輸入量之間關(guān)系的代數(shù)方程。輸出量常用英文小寫字母“”表示。7、狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，或稱為動(dòng)態(tài)方程式，它構(gòu)成了對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的完整描述。8、狀態(tài)變量圖

反映系統(tǒng)中各狀態(tài)變量之間傳遞關(guān)系的圖形。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，是通過“狀態(tài)空間表達(dá)式”或（和）“狀態(tài)變量圖”來表示的。

6由定義可知，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，應(yīng)包含兩個(gè)方程，一是狀態(tài)方程，1、單輸入--單輸出線性系統(tǒng)

一單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)u為輸入量，y為輸出量。若系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量，則根據(jù)狀態(tài)方程的定義，它是由n個(gè)一階微分方程式組成，一般形式為二、狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式二是輸出方程。（1）定常連續(xù)系統(tǒng)7輸出方程表達(dá)式或一般形式為式（1-1）和式（1-2）構(gòu)成了描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。寫成向量矩陣式為（1-1）（1-2）+

8簡(jiǎn)寫成式中；=

=

C

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的類同，只是定常（2）定常離散系統(tǒng)..狀態(tài)方程

…

輸出方程

離散系統(tǒng)由向量差分方程組成而巳，簡(jiǎn)寫形式如下9（3）時(shí)變系統(tǒng)2、多輸入--多輸出線性系統(tǒng)（1）線性定常系統(tǒng)一多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)，設(shè)有r個(gè)輸入量，個(gè)輸出量若有n個(gè)狀態(tài)變量，則其狀態(tài)方程的一般表達(dá)式為10輸出方程的一般表達(dá)式為（2）線性時(shí)變系統(tǒng)113、非線性系統(tǒng)

輸出方程的一般表達(dá)式為狀態(tài)方程，是用n個(gè)一階非線性微分方程式來表示12三、狀態(tài)變量圖的一般形式

線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述也可用狀態(tài)變量圖表示。狀態(tài)變量圖由積分器、比例器、加(減)法器和信號(hào)線組成。其中，積分器是用一個(gè)方框，方框內(nèi)畫一個(gè)積分符號(hào)“”或積分的拉氏變換“，比例器也用一個(gè)方框，方框內(nèi)寫入其比例系數(shù)值；加(減)法器用小園圈如圖（1-1）所示?！?3根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程容易繪制出其圖形。例如，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

…………….狀態(tài)方程

…………….輸出方程其狀態(tài)變量圖，如圖(1-2)所示。14依據(jù)狀態(tài)方程容易畫出正向傳輸通道和反饋通道；依據(jù)輸出方程可畫出直接傳輸通道圖中，雙線箭頭表示信號(hào)傳遞的是向量信號(hào)，但為了繪圖方便，今后都簡(jiǎn)化為單線箭頭表示。具體的繪制方法和步驟，將在后面的章節(jié)中結(jié)合實(shí)際的系統(tǒng)詳細(xì)介紹。15

第二節(jié)根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式一般的控制系統(tǒng)可根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)所遵循的物理或化學(xué)定理或規(guī)律，去建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。具體步驟如下：(1)確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；(2)根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)所遵循的機(jī)理或物理、化學(xué)定律，列寫出描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的微分方程；(3)選擇狀態(tài)變量，把微分方程化為含狀態(tài)變量的一階微分方程組；（4）表示成向量-矩陣方程形式。下面通過例子說明，機(jī)理方法建立環(huán)節(jié)(或系統(tǒng))狀態(tài)空間表達(dá)式的方法和過程。16例

1-1

R-L-C電路如圖1-3所示，試求其

狀態(tài)空間表達(dá)式并繪制其狀態(tài)變量圖。

解(1)輸入量為，設(shè)輸出量為電容電壓(2)根據(jù)《電路》理論中的相關(guān)定律有(1-13)(1-14)17(3)電路中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，電感和電容。選取電流和電容電壓為狀態(tài)變量，即將式(1-13)改寫成為狀態(tài)變量的一階微分方程式（1-15）將式(1-14)改寫為狀態(tài)變量的一階微分方程式（1-16）18式(1-15)和(1-16)，便組成了圖1-3所示的R-L-C電路的狀態(tài)分程

(1-17)輸出量用表示，由狀態(tài)變量可知，輸出方程為==

(1-18)式（1-17）和式（1-18），構(gòu)成了圖（1-3.電路的狀態(tài)空間表達(dá)式。19(4)用向量-矩陣方程式表示或簡(jiǎn)寫成20

；

A=

b=；

C=狀態(tài)變量圖的繪制方法和步驟是，

首先畫出二個(gè)積分器（積分器的個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)），并把它們畫在適當(dāng)?shù)奈恢蒙?；把每個(gè)積分器的輸出表示為某個(gè)狀態(tài)變量；然后,根據(jù)狀態(tài)方程式（1-17）和輸出方程式（1-18），畫出相應(yīng)的比例器和加法器；最后用帶箭頭的信號(hào)線按信號(hào)的流通方向?qū)⑦@些元件連接起來。其狀態(tài)變量圖，如圖1-4所示。2122對(duì)于例1-1的R-L-C電路，若選取電流和電流的積分為狀態(tài)變量，即由式(1-14)，有(1-21)上式代入式(1-13)，消去中間變量后，式(1-13)可改寫為（1-22）23寫成矩陣方程：

(1-26)24比較式(1-19)和式(1-26)，狀態(tài)空間表達(dá)式是不同的。

要指出的是，下面章節(jié)將證明，環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)、表征動(dòng)態(tài)性能的特征根都是相同的。1-2電樞控制的直流電機(jī)如圖1-5所示，建立其動(dòng)態(tài)方程。.例25解

電樞控制的直流電機(jī)，可視為是單輸入（電樞電壓）單輸出（速度）的部件，但要同時(shí)考慮電樞電壓和負(fù)載干擾時(shí)的數(shù)學(xué)模型，可視為雙輸入單輸出的部件。(1)輸入量為電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩，輸出量為電動(dòng)機(jī)軸上的角速度(2)列寫微分方程由《電機(jī)學(xué)》和《電機(jī)拖動(dòng)》，（1-28）(1-29)26(1-30)(1-31)(3)選擇狀態(tài)變量

有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，一是電樞電感二是電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

選儲(chǔ)能元件上的物理量，電樞電流和電動(dòng)機(jī)軸上的角速度為狀態(tài)變量27式(1-28)中

，是中間變量。式(1-29)代入式(1-28)，

消去式(1-28)中的中間變量并改寫成電樞電流為狀態(tài)變量的一階微分方程式，(1-32)式

(1-31)代入式(1-30)，消去式(1-30)的中間變量后，

并改寫為角速度為狀態(tài)變量的一階微分方程式，有(1-33)28式(1-32)和式(1-33)，組成了電樞控制的直流電機(jī)的狀態(tài)方程(1-34)輸出量為，用表示，輸出方程為(1-35)式（1-34）和式（1-35）構(gòu)成了電樞控制的直流電機(jī)的狀態(tài)空間表達(dá)式

29第三節(jié)由系統(tǒng)微分方程式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)描述系統(tǒng)的n階微分方程式為（1-39）由第一節(jié)可知，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式用矢量-矩陣方程表示時(shí)為（1-40）

可見，要將微分方程式轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間表達(dá)式的關(guān)鍵問題，一是如何選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量，二是怎樣由微分方程系數(shù)確定出矩陣、c及d中的元素值。下面分兩種情況討論。30

一、輸入信號(hào)不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況系統(tǒng)的微分方程為(1-41)(1)選擇狀態(tài)變量選取輸出及其各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，即…..(1-42)31（2）狀態(tài)方程對(duì)式（1-42）的狀態(tài)變量求導(dǎo)數(shù)，并考慮式（1-41），可得（1-43）32式(1-43)的狀態(tài)方程組可用向量矩陣方程表示（1-44）(3)輸出方程由狀態(tài)變量式(1-42)可知，系統(tǒng)的輸出方程為

（1-45）33用矩陣方程表示(1-46)（4）狀態(tài)空間表達(dá)式式(1-43)和式(1-45)，構(gòu)成了描述系統(tǒng)微分程式(1-41)的狀態(tài)空間表達(dá)式。式(1-44)和式(1-46)，構(gòu)成了矢量-矩陣方程表達(dá)式。狀態(tài)空間表達(dá)式簡(jiǎn)寫成（1-47）34

；；；35（5）狀態(tài)變量圖36例1-3

設(shè)一控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程用微分方程表示為試列寫狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)變量圖。解

選取狀態(tài)變量，，，則由式（1-43）得狀態(tài)方程為

37寫成矩陣形式系統(tǒng)的輸出方程為寫矩陣形式38狀態(tài)變量圖注意：系統(tǒng)微分方程式（1-41），若選取另一組狀態(tài)變量，則具有另一種狀態(tài)空間的表達(dá)式39

系統(tǒng)微分方程式（1-41），若選取另一組狀態(tài)變量，則具有另一種狀態(tài)空間的表達(dá)式。例如，若選狀態(tài)變量為………….40則狀態(tài)方程為(1-49)41輸出方程，由狀態(tài)變量式（1-48），有式(1-49)的狀態(tài)方程和式(1-50)的輸?shù)姆匠蹋M成了另一種狀態(tài)空間表達(dá)式。(1-50)42寫成矩陣方程形式4344二、輸入信號(hào)含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況

這種情況時(shí)，不能采用上面的方法選狀態(tài)變量。通常把狀態(tài)變量取為輸出和輸入導(dǎo)數(shù)的某種適當(dāng)?shù)慕M合。1）、狀態(tài)變量

為避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可選如下一組狀態(tài)變量

……….（1-53）45式中，，，…….，由微分方程中的系數(shù)按下式計(jì)算；；（1-54）

…………..46（2）、狀態(tài)方程對(duì)狀態(tài)變量式（1-53）求導(dǎo)數(shù)，可推演出其狀態(tài)方程式如下（1-55）47（3）輸出方程

由狀態(tài)變量式（1-53）的第一行，可得輸出方程

（1-56）（4）狀態(tài)空間表達(dá)式

（1-57）48簡(jiǎn)寫為說明：若輸入量中僅含有次導(dǎo)數(shù)，而，則可以把高于次輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)當(dāng)作零來處理，上面公式仍適用。49例1-4

設(shè)系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解

對(duì)應(yīng)微分方程式（1-52）可知，系統(tǒng)階數(shù)=3，=640

=192；18；

=640，=160，=0，。50狀態(tài)變量，由式（1-53）可得系數(shù)，由式（1-54）可得51參照式（1-55），其狀態(tài)方程為參照式（1-56），輸出方程為52第四節(jié)由系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間表達(dá)式

當(dāng)線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用傳遞函數(shù)表示時(shí)，主要有兩種表達(dá)形式，

一種是其分子分母均為s的多項(xiàng)式；另一種是零-極點(diǎn)型式。本節(jié)介紹和討論把它們轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間表達(dá)式的方法。一、系統(tǒng)傳遞函數(shù)為s的多項(xiàng)式設(shè)n階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(1-59)

、53由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式的問題是，選擇系統(tǒng)的某一組確定狀態(tài)空間表達(dá)式（1-60）中的矩陣

、和

中的元素值。

狀態(tài)變量，再由傳遞函數(shù)中的系數(shù)54下面分兩種情況討論。1、當(dāng)即分子和分母多項(xiàng)式的最高次數(shù)值相等時(shí)，式（1-59）表示為（1-61）由于傳遞函數(shù)不是一個(gè)嚴(yán)格的有理真分式。首先把其化為具有嚴(yán)格有理真分式的表達(dá)式。為此，可用長(zhǎng)除法使其變成（1-62）55式（1-62）中，是商，也是分子最高次

的系數(shù)值，而（1-63）是一個(gè)嚴(yán)格有理真分式，分子項(xiàng)系數(shù)、、、由下式求出

（1-64）56由式(1-62)可得到系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式(1-65)對(duì)上式作拉氏反變換后，并與狀態(tài)空間表達(dá)式（1-60）中的輸出方程相比較，可得輸出方程中的直接傳輸系數(shù)值為

（1-66）狀態(tài)空間表達(dá)式（1-60）中矩陣、

、的元素值，

則由式(1-63)中的分母系數(shù)和分子系數(shù)值求取。

為此，在式(1-63)中引入一個(gè)中間變量(1-67)57上式可寫成=

=

或?qū)懗桑?-68）(1-69)58對(duì)式(1-69)兩邊取拉氏反變換后的微分方程為（1-70）上式是一個(gè)不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階微分方程，式中，是的拉氏反變換。

若選取一組狀態(tài)變量參照上一節(jié)式（1-47），其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程寫成矩陣形式為59（1-71）輸出方程，可通過對(duì)式（1-68）取拉氏反變換后得到，即輸出方程為（1-72）60式（1-71）和式（1-72），構(gòu)成了傳遞函數(shù)具有嚴(yán)格有理真分式（1-63）時(shí)表達(dá)式，用矩陣方程式表示為的狀態(tài)空間（1-73）式中61綜合式（1-66）和式（1-73），當(dāng)時(shí)，式（1-61）對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為622、當(dāng)時(shí)，傳遞函數(shù)式（1-59）為（1-75）上式的傳遞函數(shù)己經(jīng)是一個(gè)嚴(yán)格的有理真分式。它與嚴(yán)格的有理真分式（1-63）相對(duì)比，只是分子項(xiàng)的字母表達(dá)不同而巳參照式（1-73）為（1-76）63式中，64例1-5

己知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述式。解

方法一因?yàn)?、?yīng)用公式（1-78），狀態(tài)空間描述式為65其中對(duì)照傳遞函數(shù)式(1-77)，各項(xiàng)系數(shù)為；、、。按式（1-79），計(jì)算、66相關(guān)參數(shù)值代入矩陣方程，狀態(tài)空間表達(dá)式為方法二先用長(zhǎng)除法，傳遞函數(shù)變?yōu)?7是一嚴(yán)格有理真分式，對(duì)照式(1-80)；，；

參照式（1-81），其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為輸出方程中的元素值對(duì)照式(1-81)，

并考慮到直接傳輸系數(shù)值結(jié)果相同！68例1-6

己知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解因?yàn)閷?duì)照傳遞函數(shù)式(1-80)，各項(xiàng)系數(shù)為、、；、其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述式，根據(jù)式(1-81)有6970二、傳遞函數(shù)為因子相乘由于實(shí)際的控制系統(tǒng)通常分母的階數(shù)都大于分子的階數(shù)，下面只討論的情況。

當(dāng)時(shí)，可先用長(zhǎng)除法處理后再按情況分析和處理。

1、特征方程根互異設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(1-82)式中，為n個(gè)互不相同的特征根，且分子分母無因子相約。71將式(1-82)化為部分分式的形式(1-83)式中，

，，…….，

為待定常數(shù)(留數(shù))，其值可按下式計(jì)算系統(tǒng)輸出的拉氏變換式，由式（1-83）可得72（1-85）若選狀態(tài)變量的拉氏變換式為(1-86)上式又可寫成73(1-87)對(duì)上式取拉氏反變換，可得狀態(tài)方程（1-88）74輸出量的拉氏變換式，可由狀態(tài)變量拉氏變換式（1-86）代入式（1-85）得到對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，可得輸出方程（1-90）由式（1-88）和式（1-90），組成了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。寫成矩陣形式75例1-7

設(shè)一控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試求狀態(tài)空間描述。解對(duì)傳遞函數(shù)作部分分式展開76對(duì)照式（1-91），系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為772、特征方程有重根設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中有q個(gè)重根，其余均為互異根，即(1-92)式中，為重根，有q個(gè)；為互異根。

傳遞函數(shù)部分分式展開(1-93)（78對(duì)于重極點(diǎn)的留數(shù)（），按下式計(jì)算（1-94）對(duì)于單極點(diǎn)的留數(shù)按下式計(jì)算（1-95）輸出的拉氏變換式，由式（1-93）可得（1-96）79選擇狀態(tài)變量（1-97）80上式又可寫成（1-98）81上式去分母及移項(xiàng)后有（1-99）82對(duì)上式取拉氏反變換，可得狀態(tài)方程為（1-100）...83狀態(tài)方程寫成矩陣形式（1-101）84輸出方程

對(duì)式(1-96)取拉氏反變換，可得(1-102)式（1-101）和式（1-102），組成了系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣表達(dá)式

85狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖86例1-8

己知系統(tǒng)傳遞函數(shù)試求狀態(tài)空間表達(dá)式。解

系統(tǒng)有兩個(gè)重根，-1；一個(gè)根為-2。系統(tǒng)傳遞函數(shù)化為部分分式參考式(1-103)，狀態(tài)空間表達(dá)式為8788

第五節(jié)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式

由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖通常都是由一些典型結(jié)構(gòu)組成，下面先介紹一些常見的典型結(jié)構(gòu)圖相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖以及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。一、典型結(jié)構(gòu)圖的狀態(tài)變換圖及狀態(tài)空間表達(dá)式1、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖和對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖，如圖1-9所示。

圖1-9積分器的結(jié)構(gòu)圖及狀態(tài)變量圖

a)結(jié)構(gòu)圖b)狀態(tài)變量圖89

令積分器的輸出端為狀態(tài)變量，則積分器的輸入端為狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，由此可寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式（1-104）2、一階環(huán)節(jié)最基本、最常見的一階環(huán)節(jié)，如圖1-10a)所示。實(shí)際上是一個(gè)慣性部件，或者就是一階系統(tǒng)模型。轉(zhuǎn)換成狀態(tài)變量圖時(shí)，先把放大系數(shù)和時(shí)間常數(shù)提出，視為一個(gè)比例器，再與一個(gè)正向通的負(fù)反饋環(huán)節(jié)相串聯(lián)，如圖1-10b所示。道為積分，反饋系數(shù)為90

圖1-10慣性環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖及狀態(tài)變量圖

a)結(jié)構(gòu)圖b)狀態(tài)變量圖

令積分器的輸出端為狀態(tài)變量，則積分器的輸入端為狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，由此可寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式913、帶零點(diǎn)-極點(diǎn)環(huán)節(jié)帶零點(diǎn)-極點(diǎn)環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖如圖1-11a所示。92由上式可畫出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖，如圖1-11b)所示。改為狀態(tài)變量圖時(shí)，把傳遞函數(shù)化為93振蕩環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖和狀態(tài)變量圖，如圖1-12所示。4、振蕩環(huán)節(jié)

圖1-12二階振蕩環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖和狀態(tài)變量圖a)結(jié)構(gòu)圖

b）狀態(tài)變量圖94由狀態(tài)變量圖可寫出其狀態(tài)方程

和輸出方程為

95圖1-13二'階環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖、狀態(tài)變量圖a)結(jié)構(gòu)圖b)狀態(tài)變量圖4、一般二階環(huán)節(jié)典型二'階環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖及其對(duì)應(yīng)的一種狀態(tài)變量圖，如圖1-13所示96根據(jù)狀態(tài)變量圖容易寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式為要注意的是，上面環(huán)節(jié)的狀態(tài)變量圖并不是唯一的形式。97二、由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式

把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的各個(gè)環(huán)節(jié)，按上面的方法分別改畫成對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖后便組成了系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖；然后把含有積分器的輸出端作為系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)變量，積分器的輸入端為該狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)；最后，根據(jù)系統(tǒng)變量圖的信號(hào)傳遞關(guān)系能容易地寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。例1-9巳知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-14所示，求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。98解

該系統(tǒng)由4個(gè)環(huán)節(jié)組成。分別是2個(gè)慣性，1個(gè)積分和一個(gè)比例。按上面的方法把每個(gè)環(huán)節(jié)分別畫出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖后得到原系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖，如圖1-15所示。993個(gè)積分器的輸出端設(shè)定為狀態(tài)變量，積分器的輸入端為該狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖列寫出如下狀態(tài)方程輸出方程100寫成矩陣形式

若系統(tǒng)中包含的環(huán)節(jié)不多而且較簡(jiǎn)單時(shí)，也可以直接令各個(gè)環(huán)節(jié)的輸出為狀態(tài)變量的拉氏變換，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)圖列出相關(guān)方程，最后再經(jīng)拉氏反變換的方法，也能容易地求出狀態(tài)空間表達(dá)式。下面通過例說明其求解過程。101例1-10

已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-16所示，試求狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)變量圖102解

在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的相關(guān)環(huán)節(jié)后（或前）分別標(biāo)注出狀態(tài)變量的拉氏變換式如圖所示。由結(jié)構(gòu)圖可列出如下方程103對(duì)上面的前兩個(gè)方程去分母及移項(xiàng)對(duì)上面方程取拉氏反變換有104由上述三式，可得狀態(tài)空間表達(dá)式如下：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖，如圖1-17所示。105圖1-17例1-10系統(tǒng)狀態(tài)變量圖106

第六節(jié)由狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)描述、單輸入-單輸出系統(tǒng)設(shè)

階的單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為(1-111)在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得(1-112)107上式作移項(xiàng)、合并和整理后，可得狀態(tài)變量的拉氏變換式式中，是維的單位矩陣。上式代入式(1-113)，可得輸出量的拉氏變換式根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，由式(1-115)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(1-115)(1-116)108若直接傳輸系數(shù)為零，則傳遞函數(shù)為(1-117)式中，

稱為特征矩陣；

為特征矩陣的逆陣；稱為特征矩陣的伴隨矩陣；

也寫成是特征矩陣的行列式，又稱為系統(tǒng)矩陣

的特征多項(xiàng)式。

109例1-11

某系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解先求110所以系統(tǒng)傳遞函數(shù)為111二、多輸入-多輸出系統(tǒng)多輸入-多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的形式與單輸入單輸出系統(tǒng)的形式相同只是表達(dá)式中的、和都是矩陣，在單輸入單輸出系統(tǒng)中，它們都是向量。由狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)的方法和過程，都和單輸入單輸出系統(tǒng)的一樣，也是先對(duì)式(1-118)取拉氏變換、移項(xiàng)、代入及整理，公式的形式也相同，即112(1-119)由于、、和都是矩陣，因此，式(1-119)中的也是矩陣。

例如，一個(gè)階系統(tǒng)，若有個(gè)輸入量，個(gè)輸出量，則

是兩個(gè)向量的比，其一般的形式為113為此，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，稱為傳遞矩陣。

它的元素，

通常都是s的有理分式，表示系統(tǒng)的第個(gè)輸入量對(duì)第個(gè)輸出量的拉氏變換的比。例1-12己知一多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式中，，求其傳遞矩陣。114解由傳遞函數(shù)公式(1-119)，并代入、、和的值，其中=0，有115根據(jù)矩陣求逆公式116于是，傳遞函數(shù)陣為==117

第二節(jié)曾指出，對(duì)一系統(tǒng)或環(huán)節(jié)而言，其狀態(tài)變量的選取是不唯一的，因此，它的狀態(tài)空間表達(dá)式也是不同的，但是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或傳遞（函數(shù)矩陣）一定是相同的。例1-13圖1-3所示的電路，輸入量為，輸出量為電容。

電壓已知，當(dāng)選取電流和電容電壓為狀態(tài)變量

，

時(shí)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為118式中，A=b=

C=當(dāng)選取電流和電流的積分為狀態(tài)變量

其狀態(tài)空間表達(dá)式中系數(shù)A=

b=；

C=119試證明，兩種不同狀態(tài)變量下的電路傳遞函數(shù)是相同的。解

當(dāng)選取電流和電容電壓為狀態(tài)變量(

，時(shí)，電路傳遞函數(shù))先求120所以，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為121當(dāng)選取電流和電流的積分為狀態(tài)變量(

，電路傳遞函數(shù))時(shí)，先求122所以，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

可見，選取不同的兩組狀態(tài)變量，得到兩種不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，但電路的傳遞函數(shù)卻是完全相同的。123三、組合系統(tǒng)組合系統(tǒng)是指由若干個(gè)子系統(tǒng)分別按串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接而成的系統(tǒng)。為了討論方便，下面僅討論由兩個(gè)子系統(tǒng)主要按串聯(lián)、并聯(lián)組成的組合系統(tǒng)。1、串聯(lián)連接兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)連接，如圖1-19所示。設(shè)子系統(tǒng)一的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)分別為124(1-120)子系統(tǒng)二的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)分別為(1-121)125設(shè)組合系統(tǒng)的輸入量為輸出量為。由圖1-19可知，第一個(gè)子，系統(tǒng)的輸入量為組合系統(tǒng)的輸入量；第一個(gè)子系統(tǒng)的輸出量是第二個(gè)子系統(tǒng)的輸入量，；第二個(gè)子系統(tǒng)的輸出量，作為組合系統(tǒng)的輸出量，。上述關(guān)系分別代入兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，有(1-122)(1-123)126組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，寫成矩陣方程為(1-124)因?yàn)?27

上式表明，當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)相串聯(lián)時(shí)，組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是兩個(gè)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積。

這一結(jié)論也可推廣到n個(gè)子系統(tǒng)相串聯(lián)，即n個(gè)子系統(tǒng)相串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為n個(gè)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之乘積。2、并聯(lián)連接兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)連接，如圖1-20所示。128設(shè)組合系統(tǒng)的輸入量為，輸出量為由圖1-20可知，組合系統(tǒng)的輸入量與第一個(gè)和第二個(gè)子系統(tǒng)的輸入量是相同的，；組合系統(tǒng)的輸出量是二個(gè)子系統(tǒng)的輸出量之和，即

上述關(guān)系分別代入兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，并作一定處理后容易得到組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式129由式1-119，組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣）容易求得

上式表明，當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)相并聯(lián)時(shí)，組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是兩個(gè)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)之和。這一結(jié)論也可推廣到n個(gè)子系統(tǒng)相并聯(lián)，即n個(gè)子系統(tǒng)相并聯(lián)后的傳遞函數(shù)為n個(gè)子系統(tǒng)