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四川省南充市2025屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試(二診)數(shù)學(xué)
試題
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
一、單選題
<o|,B-[y\y-x!
1.若集合/=,則/riB=()
[x-3JL>
A.(2,3)B.[0,3]c.[0,2)D.(2,3]
2.已知復(fù)數(shù)z=i+i。,則匕,i|=()
A.0B.41C.2D.2V2
3.在遞增的等比數(shù)列{%}中,%%=8,%+%=9,則數(shù)列{%}的公比為()
A.1B.2C.3D.4
Jra
4.已知V/5C的內(nèi)角/,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若4=彳,sinC=2sin8.則一=
3b
()
A.2B.3C.V2D.V3
5.已知非零向量入B滿足彼=(2,o),若?貝!u在B方向上的投影向量坐標(biāo)為()
A.(1,0)B.(2,0)C.(V2,0)D.(0,2)
6.若直線/:y=x+〃z與曲線C:x=3-"77有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()
A.(-3,272-1]B.[-272-1,-3]
C.|^—3,2-\/2—1JD.|^—2^/2—1,2-72--1J
2兀
7.已知正三棱錐/-BCD底面邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切球的表面積為三,則二面角的
余弦值為()
A.-B.—C.—D.—
3332
8.已知函數(shù)/(無)=/(無)=上有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,從小到大依次為
|lnx|,(x>0)
試卷第1頁,共4頁
X],x2,X3,x4,xs,則一J的取值范圍為()
X4X5
A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-4,0)
二、多選題
9.如圖所示為函數(shù)/(x)=sin(s+0)(。>0,0<。<無)的部分圖象,則下列說法正確的
B./(x)在區(qū)間向用上單調(diào)遞增
C.將f(x)的圖象向右平移自個(gè)單位可以得到g(x)=cos2x的圖象
D.方程〃x)=0在(0㈤上有三個(gè)根
10.數(shù)學(xué)家波利亞說過:為了得到一個(gè)方程,我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出
來,即將一個(gè)量算兩次,從而建立相等關(guān)系.根據(jù)波利亞的思想,由恒等式
(1+x)"'+=(l+x)"""(切,〃eN*)左右兩邊展開式/(其中reN*,r<n,r<m)
系數(shù)相同,可得恒等式c:c:+c:c;「+…+c;c:=c1,,我們稱之為范德蒙德恒等式,下列
關(guān)于范德蒙德恒等式說法正確的是()
A.C:C:=CXB.C;葭+C;C;+…+C;C;=C'
C.C?oc;o+c;C°+…+c:°c;;=c;。D.(cJ+?)2+…+(c:)2=G,_1
11.已知拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為凡過X軸下方一點(diǎn)尸(%,%)作拋物線c的兩條切線,
切點(diǎn)為N,B,直線P8分別交x軸于N兩點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是()
A.當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(O,T)時(shí),則直線方程為了=1
B.若直線48過點(diǎn)尸,則四邊形尸為矩形
試卷第2頁,共4頁
C.當(dāng)片+/-2%-8=0時(shí),\AF\-\BF\=3
D.|/a=4時(shí),面積的最大值為4
三、填空題
12.某班從含有3名男生和2名女生的5名候選人中選出兩名同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng),則
至少選到1名女生的概率.
13.已知4,4為雙曲線C:三-3=1的左、右頂點(diǎn),直線y='(x-a)與雙曲線C的左
支相交于一點(diǎn)滿足/砌44=4/324,則雙曲線c的離心率的值為.
14.若函數(shù)〃x)=e'+(a+l)x+6(其中0>0),方程/(/(x))=x在上有解,則/+〃
的最小值為.
四、解答題
15.某公司在年終總結(jié)大會(huì)上開展了一次趣味抽獎(jiǎng)活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則為:先在一個(gè)密閉不透光
的箱子中裝入6個(gè)標(biāo)有一定金額的球(除標(biāo)注金額不同外,其余均相同),其中標(biāo)注金額為
10元、20元、50元的球分別有3個(gè)、2個(gè)、1個(gè).若員工甲每次從箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球,
記下摸出的球上的金額數(shù),摸機(jī)次.規(guī)定:摸出的球上所標(biāo)注的金額之和為其所獲得的抽獎(jiǎng)
獎(jiǎng)金總金額.
(1)若加=1,設(shè)員工甲獲得的金額2求J的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若m=2,采用有放回方式摸球,設(shè)事件X="員工甲獲得的總金額不低于40元”,求尸(X).
16.如圖,三棱柱/8C-4耳。中,側(cè)棱底面且各棱長(zhǎng)均為2.及尸分別為
棱/5,5C,4q的中點(diǎn).
(1)證明:E產(chǎn)〃平面4。;
試卷第3頁,共4頁
(2)求直線8g與平面4。所成角的正弦值.
17.已知°>0,函數(shù)/(x)=ax2-4x,g(x)=lnx.
(1)若a=;,求函數(shù)>=/(x)+3g(x)的極值;
(2)設(shè)6>0,/'(X)是/(x)的導(dǎo)數(shù),g")是g(x)的導(dǎo)數(shù),Mx)=/(x)+@(x)+4,〃(x)圖
像的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),對(duì)于任意正實(shí)數(shù)天,x2,且再+%=1,〃(無1)〃仁)2加恒成立.求
實(shí)數(shù)m的最大值.
18.已知F、尸分別是橢圓C:]+/=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓C上,
3
且ANFF'的面積為
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)7(4,0)的直線/與線段/9相交于S,與橢圓交于P、。兩點(diǎn).
(I)證明:NPFS=NQFS;
(II)若S塘QS=SAPFS,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).
19.對(duì)于無窮數(shù)列{%}和函數(shù)/(X),若x“+i=/(%*€N*),則稱/■(%)是數(shù)列{%}的生成
函數(shù).
⑴定義在R上的函數(shù)g(x)滿足:對(duì)任意”eN*,都有8(2角)=28(2")+2",且g(2)=l;
又?jǐn)?shù)列{%}滿足%=g(2").
(I)求證:/(x)=x+;是數(shù)列]畀的生成函數(shù);
(II)求數(shù)列{與}的前〃項(xiàng)和s..
(2)已知/(x)="空獸是數(shù)列也}的生成函數(shù),且,=2.若數(shù)列”]的前〃項(xiàng)和為7;,
x+2026IA+2J
求證:25(1-0.99")<7;<250(1-0.999")(〃eN*,?>2).
試卷第4頁,共4頁
《四川省南充市2025屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試(二診)數(shù)學(xué)試題》參考答案
題號(hào)12345678910
答案ACBDBCADACBCD
題號(hào)11
答案ABD
1.A
【分析】解分式不等式、求二次函數(shù)的值域確定集合45,再由集合的交集運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】由/=]X|£|<O|={X[(X-2)(X-3)<O}={X[2<X<3}=(2,3),
B={y\y=x2^={y|y>0}=[0,+co),
所以/ng=(2,3).
故選:A.
2.C
【分析】通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z,進(jìn)而根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)閦=i+i=2i,
所以z-i=2i-i=-2,所以匕/|=卜2|=2.
故選:C.
3.B
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有的3=的4=8,易知%是方程*-9x+8=0的兩個(gè)根,再
由已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求公比.
【詳解】由題設(shè)%%=4%=8,易知為”是方程Y-9x+8=0的兩個(gè)根,
又{%}為遞增的等比數(shù)列,所以q=1,%=8,故公比g=('=2.
故選:B
4.D
【分析】根據(jù)已知條件,利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì),利用兩角差的正弦公式求得角3,進(jìn)而
利用正弦定理得解.
【詳解】由于三角形的內(nèi)角和為兀,即:/+B+Cf已知/=(,所以:B+C卷,
代入C=至l」sinC=2sinB中,得至九:sin仁一4=2sinB,
答案第1頁,共15頁
2712兀.............巧]
展開并化簡(jiǎn):sincosB-cossinB=2sinB,即——cosB+—sinB=2sinB,
3322
整理得到:YaCOSB=-^-sinB,即V^cos8=3sin8,tanB=^>8=.
2
absi.n—兀
3
根據(jù)正弦定理:.兀「7,即巴=
sin—Sm.兀
36bsin—
62
故選:D.
5.B
【分析】根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影向量的公式計(jì)算.
【詳解】首先,向量B的坐標(biāo)為(2,0),其模長(zhǎng)為2,因此|而2=22=4,
根據(jù)條件?-q丁,即它們的數(shù)量積為零:(b-a\b=Q
展開數(shù)量積:3.3-沆1=0,即:b2-a-b=0
因此:萬石=|訐=4,代入已知條件:
而a-b扃b=第B=B=(2,0)
因此,方在B方向上的投影向量坐標(biāo)為(2,0),
故選:B.
6.C
【分析】確定曲線是半圓,作出曲線C,由圖形可得直線/與曲線有公共點(diǎn)時(shí)參數(shù)范圍.
【詳解】由x二3——y2得(x—3)2+(歹—2)2=4(x<3),
因此曲線C是圓(x-3y+(y-2)2=4的左半部分(直線x=3左側(cè)),
加=一3,
|3-2+m|
當(dāng)直線/:>=x+機(jī)與圓相切時(shí),=2,加=+2^/2—1,
V2
答案第2頁,共15頁
由圖知當(dāng)直線/:v=x+,w與曲線。相切時(shí),機(jī)=2行-1,
所以機(jī)的范圍是[-3,21],
故選:C.
7.A
【分析】先根據(jù)內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球半徑,再利用等體積法求出正三棱錐的高,最后
找出二面角/-的平面角,進(jìn)而求出其余弦值.
【詳解】已知內(nèi)切球表面積S=4口2=:,則/=:,解得”巫.
366
設(shè)正棱錐/-BCD的頂點(diǎn)A在底面8C。上的射影為。,取8C中點(diǎn)£,連接
AE,OE,AO.
因?yàn)檎忮F的性質(zhì),ZO_L平面BCD,0E_L3C,根據(jù)三垂線定理可得NE_L3C,所以NNE。
就是二面角的平面角.
底面△BCD是邊長(zhǎng)為a=2的正三角形,則OE=lx2xL也
233
設(shè)正棱錐/-BCD的體積為K,表面積為S表.
底面ABCD的面積,皿=中。2=字x22=^.
側(cè)面V/BC中,BC=2,AE=yjAO2+OE2=,則側(cè)面面積
s皿=gxBCx4E=;x2*
3
正棱錐A-BCD的表面積S表=S.BCD+凡ABC=6+3002+1
■AO,即:(用3小02+;)關(guān)=gCxAO
根據(jù)等體積法廠==
3
Cx/0,即*乎2
化簡(jiǎn)AO+^=43XAO,
=島。-
兩邊平方:整理得至IJ-|NO2+CNO=O,即/0(一|/0+")=0,解得40=0(舍去)或
AO-巫
3
OE_________
在RtA4E0中,cosZAEO=—,AE=^AO-+OE2=
AE+3
答案第3頁,共15頁
V3
所以//kcOE石1.
cosZAEO=——==-
AEC3
二面角N-8C-。的余弦值為:.
故選:A.
8.D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在(-8,0]上的單調(diào)性及極值,作出函數(shù)的圖象,由圖象可得
0<斤<4,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得匕%=1,結(jié)合4,x2,£是方程9+6工2+外:+后=0的三
個(gè)根,可得不馬馬=-左,即可求得答案.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)x40時(shí),/(x)=-x(x+3y=-9-6f-9x,
所以/,(X)=-3X2-12X-9=-3(X+3)(x+1),
所以當(dāng)xe(-甩-3)時(shí),r(x)<0,7(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)xe(-3,-1)時(shí),r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增;
當(dāng)xe(-1,0)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x)單調(diào)遞減;
所以/(x)極小值=/(-3)=0,所以〃x)極大值=/(-1)=4,
-lux,0<x<1
當(dāng)X>0時(shí),/(x)=|lnx|=
lnx,x>1
所以函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,
作出函數(shù)的圖象,如圖所示:
答案第4頁,共15頁
當(dāng)x?0時(shí),令一%(尤+3)2=4,解得%=T或、=一1,
所以一4<玉<-3<x2<-1<x3<0<x4<1<x5vg,
又因?yàn)閨皿|=|皿|,
所以lnx4+lnx5=lnx4x5=0,
所以工落=1;
由題意可得為,x2,/是方程左=-丁-6%2一9、,即d+6/+9%+后=0的三個(gè)根,
所以d+6x2+9x-k=(x-)(x-%)(x
3232
BPx+6x+9x+k=x-(xj+x2+x3)x+(xrr2+x1x3+x2r3)x-x1¥2r3,
所以左二-1也芻,
即x1x2x3=-k&(-4,0),
所以^^_=%/2/=一左£(—4,0).
*415
故選:D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵點(diǎn)是畫出圖象,根據(jù)根的個(gè)數(shù)確定解的范圍,再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性
質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù),得到五%=1,即可解題.
9.AC
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象,利用五點(diǎn)法作圖求出函數(shù)解析式,再逐項(xiàng)求解判斷.
7TTT27r
【詳解】觀察圖象,得/(X)的最小正周期7=4弓-(-力]=三,解得。=2,
612。
由/(一;^)=1,得2x(—與+0=5+2巧I,左£Z,而0<。<兀,解得0=;-,
12z3
對(duì)于A,/(X)=sin(2x+韋,A正確;
rr-r-、r,廣兀r—27T5?T871..2715兀ari11兀>
對(duì)于B,當(dāng)—,兀]時(shí),2xH---G[—,—],當(dāng)2XH----=—,即%=---時(shí),
23333212
JT
“X)取得最大值,因此/(尤)在區(qū)間向無]上不單調(diào),B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,/(x—^")=sin[2(x—=sin(2+—)=cos2x,C正確;
對(duì)于D,當(dāng)%6(0,兀)時(shí),2x+—7TTe2,71871由/(幻=0,得2x+2臼71=?;?x+2二7c=2兀,
33333
因此方程/(幻=0在(0,兀)上有2個(gè)根,D錯(cuò)誤.
故選:AC
10.BCD
答案第5頁,共15頁
【分析】依據(jù)范德蒙德恒等式C:C:+C;CT+…+C?=C'(機(jī),〃cN*,reN\r<n,
r<m},適當(dāng)對(duì)賦值來判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性.
【詳解】根據(jù)范德蒙德恒等式C:C?+C;C;1+.??+&《=C;+,“,而不是C;C;“=C::〉
例如〃=2,〃z=3/=1時(shí),左邊C;C;=6,右邊C;=5,此時(shí)C;C;產(chǎn)C:二,A錯(cuò)誤.
對(duì)于《建+C;C:+---+C泣,這里〃=5,加=6/=6.
根據(jù)范德蒙德恒等式,此時(shí)〃+加=5+6=11,r=6.
所以《建+c;c;+???+c沮=CMy,B正確.
對(duì)于C:oC;0+C;。。+…+C:°C;;,這里〃=10,機(jī)=10b=9.
由范德蒙德恒等式,n+m=10+10=20,r—9.
所以C?0C;0+//+??.+Cc;?=c:0Hoy,c正確.
對(duì)于?>+?)2+.??+?》,可以看作c:cL+QcF+…+c:c;(因?yàn)閏:=c:?).
這里〃=加,r=n,根據(jù)范德蒙德恒等式C:C:+C;C:T+…+C:C=C:+〃=CM而C:C:=1.
所以?y+?)2+...+(C:)2=就“YC;=就“-1,D正確.
故選:BCD.
II.ABD
【分析】設(shè)/(國(guó),%),5(%,%),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線P4,尸3的方程,進(jìn)而可得直
線的方程,把尸(O,T)代入即可判斷A;再由直線NB與拋物線方程聯(lián)立得韋達(dá)定理,利
用韋達(dá)定理即可判斷B;取P滿足的軌跡上的特殊點(diǎn)即可判斷C;由弦長(zhǎng)公式得天和為滿足
的方程,再求出P到直線N8的距離,代入三角形面積公式,結(jié)合不等式即可判斷D.
r2
【詳解】方程變形為y=—,則y=5.設(shè)/(西,%),8(%,%),
42
直線4的方程:一兀=方”玉),即>
同理可得直線形的方程乙:y=^-x-^~,
點(diǎn)尸在直線尸8和尸B上,.'.為二五%-%,%=工%-9,
024024
答案第6頁,共15頁
AB的方程為y=g汽產(chǎn)-,
.J._
聯(lián)立,得Y一2x0x+4為=0①,
x1=4y
由韋達(dá)定理得,x,+x2=2x0,出=4%②.
對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)尸為(0,-1)時(shí),y=l,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,若直線N8過點(diǎn)歹(0,1)時(shí),為=-1,即尸
X"=f,尤"三,利用韋達(dá)定理,則心知=%一=「心=“"
22~2~X°u-2-
:.PM//FN,同理心
由②得X1%=4%=-4,FN-FM=^-+1=0,;.四邊形/WN為矩形,故B正確;
4
對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)需+了:-2%-8=0時(shí),取尸(0,-2),方程①變?yōu)椋?8,
即得4卜2亞,2),5(2后,2),|">可=(乂+1)(%+1)=9,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)|AB|=4時(shí),由弦長(zhǎng)公式得|/回=「^.也焉-16典=4,
即(4+x;)(x;-4%)=16,
4yoi
點(diǎn)尸到直線48的距離為4=+4>0,:.d<2,
Jx;+4
:.S=^\AB\d=2d<A,當(dāng)x0=0取等號(hào),故D正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:
一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;
二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基
本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.
7
12.—/0.7
10
【分析】根據(jù)題意,首先分析從5人中選出2人,再分析可得若選出的2人中至少有1名女
生,即包括1男1女和2女分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)兩種情況,分別計(jì)算其情況數(shù)目,由等可能
答案第7頁,共15頁
事件的概率公式,計(jì)算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意,從3名男生和2名女生中選出2名學(xué)生,有A;=20種選法,
若選出的2人中至少有1名女生,即包括1男1女和2女兩種情況,
147
共有C;C;A;+A:=14種選法,則選出的2人中至少有1名女生的概率為尸=^=77.
2010
故答案為:木7
13.V2
【分析】由直線方程可得=30°,貝匕4刖4=30°,所以|"|=2a,過〃作尤
軸于點(diǎn)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo),代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可求出離心率.
【詳解】由直線了=,口一°),可知直線的斜率為理,且過點(diǎn)4(“,0),
所以NK&4=30°,
因?yàn)?4ZMA2At,所以乙044=120°,
所以乙州八=30。,所以=闋=2%
過M作W_Lx軸于點(diǎn)〃,
則NM4"=60。,14M=a,\MH\=^4a2-a2=^3a,
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2a,-Ga),
22
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C:=-==l上,
ab
所以喉一£=1,得/=/,
a2b2
所以02=“2+°2=2屋,所以c=0q,
所以離心率e=£=&.
a
故答案為:V2
答案第8頁,共15頁
14—
2e2
【分析】根據(jù)題意,將/+*的最小值為原點(diǎn)到直線_0+6+1=0的距離的平方,從而求解.
e
【詳解】令/(%)=£,則要〃I(x))=x,BP/(O=x,兩式相加得/⑴+%
令g(x)=/(%)+X,貝(1g(x)=g(0,
又因?yàn)間'(x)=/'(%)+1=寸+a+2>0,所以為X)單調(diào)遞增,
所以x=%,即/(x)=x,
即/z(x)=/(x)—x=e*+ax+b=0在[—1,2]上有解.
/z(-l)<0
hf(x)=exa>0,所以〃(%)在[-1,2]上單調(diào)遞增,所以要
+A(2)>0
—a+b<0
即《e
e2+2a+b>0
11
則a2+b2的最小值為原點(diǎn)到直線-a+b+—=0的距離的平方,即=_£.
eW"2?
故答案為:.
15.(1)分布列見解析,20;
⑵令.
12
【分析】(1)由題設(shè)有J的可能取值為10、20、50并求出對(duì)應(yīng)概率值,即可得分布列,進(jìn)
而求期望;
(2)根據(jù)題設(shè),分析事件X所含的基本事件組成,再應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加
法求概率.
3191
【詳解】(1)4的可能取值為10、20、50,其中尸傳=10)=7==,P(^=20)=-=-,
6263
尸仁=50)=:.
O
故《的分布列如下:
自102050
P
~236
則數(shù)學(xué)期望為E(g)=10x」+20XL50x-=20.
236
答案第9頁,共15頁
(2)采用有放回方式摸球,
每次摸到10元的概率為
每次摸到20元的概率為&=;,
每次摸到50元的概率為P3=J.
事件X包含4種情況:
兩次均摸到20元;
一次摸到10元,一次摸到50元;
■次摸到20元,■次摸到50元;
兩次均摸到50元.
5
故尸(X)=C;x
12
16.(1)證明見解析
(2)身
【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明即可;
(2)取線段4月的中點(diǎn)為“,連接。以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分
別為坐標(biāo)軸建立空間的直角坐標(biāo)系。-中z,求出直線24的方向向量與平面4co的法向量,
利用空間向量法求解即可.
【詳解】(1)在三棱柱NBC-44G中,/C//4G,且/c=4G,
連結(jié)ED,在三角形/3C中,因?yàn)?,£分別為“3,3。的中點(diǎn),
所以=且。E//NC,
2
又因?yàn)槭瑸?G的中點(diǎn),可得4尸=DE,且4尸//。£,
答案第10頁,共15頁
即四邊形AfiEF為平行四邊形,所以&DHEF,
又斯,平面4cD,D&U平面4°,所以跖//平面4°.
(2)取線段的中點(diǎn)為連接DM,因?yàn)閭?cè)棱底面43C,且各棱長(zhǎng)均相等,
所以直線。兩兩垂直.
以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),DM,DA,DC所在的直線分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示空間的直角坐標(biāo)系
D-xyz,
由于/8=2,則。(0,0,0),4(2,1,0),C(0,0,^3),5,(2,-1,0),5(0,-1,0),
所以期1=(2,0,0),=(2,1,0),DC=(0,0,6),
r/、-DA,=0
設(shè)平面45的法向量〃=(x,y,z),則」,
nDC=0
2%+y=0T/\
所以■,設(shè)X=l,貝獨(dú)=一2,所以〃=(1,一2,0),
A/3Z=0
I/一?竭?方2x1J5
設(shè)直線5片與平面45所成角為凡則sin6=cos(即㈤=_=——,
1\Zl|幽?同2X"+(_2『5
所以直線3月與平面4CD所成角的正弦值為孝.
715
17.(1)極大值-鼻,極小值31n3—
⑵等.
【分析】(1)求出時(shí)的函數(shù)解析式,再求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得
函數(shù)的極值;
(2)利用基本不等式結(jié)合已知條件可得“,6的值,從而可得〃(x)的解析式,化簡(jiǎn)
答案第11頁,共15頁
〃=〃(%)〃(%),利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值,從而可得用的取值范圍,進(jìn)而可得加的最大值.
【詳解】(1)當(dāng)。=:時(shí),/(x)+3g(x)—4x+31nx,
,.3X2-4X+3(X-1)(X-3)
V=x-4+—=--------=----△----乙,x>0,
xxx
當(dāng)l<x<3時(shí),?'<0,當(dāng)x〉3或0cx<1時(shí),歹’>0,
所以>=/(x)+3g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,(1,3)單調(diào)遞減,(3,+。)單調(diào)遞增.
7
y=f(x)+3g(x)在x=l處取得極大值/(l)+3g(l)=
y=f(x)+3g(x)在x=3處取得極小值〃3)+3g⑶=31n3-g.
(2)由題意,得〃(x)=2ax+",則〃(x)=2ax+"2,
當(dāng)且僅當(dāng)x—隹時(shí),等號(hào)成立.
\2a
IS2[1
'V2a,解得'2,
2y/2^b=4[方=4
所以〃(x)=x+上又力(毛)力卜2)2機(jī)恒成立,
、
+也+4土+三
xrx2再,
16.x?+x;
=-----F4------
再入2中2
2
16,(x,+x)-2X.X2
—-----F4*------2--------
x{x2xrx2
200
所以〃=XxX2H-----8.
XxX2
^t=XxX2,則[=再/]]再;"2
u=(/)^=t+———8,
因?yàn)?“⑴=1寸20<0,
所以〃=%+:—8在方金[。,]上單調(diào)遞減.
答案第12頁,共15頁
289
所以〃2〃
4
289
所以最大的實(shí)數(shù)〃,=亍
22
瓜嗚+>
3]甫
(2)(i)證明見解析;(n)小或
【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上及三角形面積公式求橢圓參數(shù),即可得方程;
(2)設(shè)。(再,%),/:尤=勿+4,聯(lián)立橢圓方程,并寫出對(duì)應(yīng)韋達(dá)公式,(I)根
ASPS
據(jù)勺尸+與9=0,即可證;(II)由三角形面積相等有,進(jìn)而得至
QS
3
再確定P為線段4尸的中垂線》=:與橢圓的交點(diǎn),即可求P的坐標(biāo).
4
3133
【詳解】⑴由的面積為:,得已2"5=不解得。=1,所以/=1①,
又點(diǎn)不I,3在橢圓c上,所以F_]②,
/+H-
f—422
聯(lián)立①②解得,2二,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=L
\b2=343
x=W+4
2
(2)設(shè)。(再,弘),P(x2,y2),l:x=ty+4,聯(lián)立方程,x?y,
143
消X得:”+4產(chǎn)+247+36=0,直線/與線段/少交于S點(diǎn),則t<-2,
所以iF,36
MR,
必?%%,y2物%+3(%+%)
(I)因?yàn)?尸+左PF=-------------1-------------------------------1----------2------
再一1x2-lWi+3仇+3(%+3)(仇+3)
所以/PFS=NQFS,
你1+3)(仇+3)
答案第13頁,共15頁
(Il)由%2s=2明得:|0S||/S|=|尸葉網(wǎng)|,即*=不,又NASP=NFSQ.
所以A4
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