2025年高考復(fù)習(xí)二輪專題突破（四） 力學(xué)中的追及相遇模型（解析版）

專題解析：（四）力學(xué)中的追及相遇模型1．如圖所示的位移—時(shí)間(x-t)圖像和速度—時(shí)間(v-t)圖像中給出四條圖線，甲、乙、丙、丁分別代表四輛汽車由同一地點(diǎn)向同一方向運(yùn)動(dòng)的情況，則下列說法正確的是()A．甲車做直線運(yùn)動(dòng)，乙車做曲線運(yùn)動(dòng)B．0～t1，甲車通過的路程大于乙車通過的路程C．0～t2，丙、丁兩車在t2時(shí)刻相距最遠(yuǎn)D．0～t2，丙、丁兩車的平均速度相等解析：選Cx-t圖像表示的是做直線運(yùn)動(dòng)的汽車的位移隨時(shí)間的變化情況，而不是汽車運(yùn)動(dòng)的軌跡，由于甲、乙兩車在0～t1做單向的直線運(yùn)動(dòng)，故在這段時(shí)間內(nèi)兩車通過的位移和路程均相等，A、B選項(xiàng)均錯(cuò)；在v-t圖像中，t2時(shí)刻丙、丁速度相等，t2時(shí)刻之前v丁一直大于v丙，且丙、丁由同一地點(diǎn)沿同一方向運(yùn)動(dòng)，故t2時(shí)刻兩者相距最遠(yuǎn)，C選項(xiàng)正確；由v-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移可知，0～t2丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。2．火車以速率v1向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)在前方同一軌道上距車頭s處有另一列火車，它正沿相同的方向以較小的速度v2做勻速運(yùn)動(dòng)，于是司機(jī)立即使火車做勻減速運(yùn)動(dòng)，該加速度大小為a，則要使兩車不相撞，加速度a應(yīng)滿足的關(guān)系為()A．a(chǎn)>eq\f(v12－v22,2s) B．a(chǎn)>eq\f(v12,2s)C．a(chǎn)>eq\f(v22,2s) D．a(chǎn)>eq\f(v1－v22,2s)解析：選D設(shè)經(jīng)過時(shí)間t兩車相遇，則有v2t＋s＝v1t－eq\f(1,2)at2，整理得at2＋2(v2－v1)t＋2s＝0，要使兩車不相撞，則上述方程無(wú)解，即Δ＝4(v2－v1)2－8as<0，解得a>eq\f(v1－v22,2s)，即選項(xiàng)D正確。3．無(wú)線藍(lán)牙耳機(jī)擺脫了線材束縛，可以在一定距離內(nèi)與手機(jī)等設(shè)備實(shí)現(xiàn)無(wú)線連接。為了研究在運(yùn)動(dòng)過程中無(wú)線連接的最遠(yuǎn)距離，甲和乙兩位同學(xué)做了一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)。乙佩戴無(wú)線藍(lán)牙耳機(jī)，甲攜帶手機(jī)檢測(cè)，乙在甲正前方14m處，二人同時(shí)沿同一直線向正前方運(yùn)動(dòng)，各自運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示，結(jié)果手機(jī)檢測(cè)到藍(lán)牙耳機(jī)能被連接的時(shí)間為4s。則最遠(yuǎn)連接距離為()A．10.5mB．11.5mC．12.5m D．13.5m解析：選B由圖像可知，t＝3s時(shí)，甲、乙速度相同，距離最近，由于耳機(jī)與手機(jī)正常連接時(shí)間為4s，所以耳機(jī)與手機(jī)正常連接的時(shí)間是從1s至5s。當(dāng)t＝1s時(shí)，由圖像可知，甲的速度為5m/s，在0～1s，位移之差為Δx＝eq\f(2＋3,2)×1＝2.5m，因t＝0時(shí)乙在甲正前方14m處，則t＝1s時(shí)甲、乙之間的距離為s＝14m－2.5m＝11.5m，因此最遠(yuǎn)連接距離為11.5m，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。4．(多選)如圖所示，在體育課上進(jìn)行籃球訓(xùn)練時(shí)，甲、乙兩同學(xué)將兩個(gè)籃球分別水平拋出后兩籃球在空中的P點(diǎn)相遇，已知甲同學(xué)拋出點(diǎn)的高度h1比乙同學(xué)拋出點(diǎn)的高度h2大，不計(jì)空氣阻力，籃球可看成質(zhì)點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．甲同學(xué)比乙同學(xué)先將籃球拋出B．兩籃球相遇前，乙同學(xué)拋出的籃球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短C．若甲、乙同學(xué)拋球速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則相遇點(diǎn)一定在P點(diǎn)正上方D．若甲同學(xué)拋球時(shí)與乙同學(xué)高度相同，且同時(shí)拋出，則落地前不一定能相遇解析：選ABD根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知，平拋運(yùn)動(dòng)的高度決定時(shí)間，甲同學(xué)拋出點(diǎn)的高度比乙同學(xué)拋出點(diǎn)的高度大，兩籃球在空中的P點(diǎn)相遇，可知甲同學(xué)比乙同學(xué)先將籃球拋出，即甲同學(xué)拋出的籃球運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，乙同學(xué)拋出的籃球運(yùn)動(dòng)時(shí)間短，故A、B正確；設(shè)兩拋出點(diǎn)的水平距離為x，且保持不變，則eq\f(x甲,x乙)＝eq\f(v1t1,v2t2)，若拋球的速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則eq\f(x甲′,x乙′)＝eq\f(2v1t1′,2v2t2′)＝eq\f(v1t1′,v2t2′)，且x甲＋x乙＝x甲′＋x乙′＝x，說明兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短，且時(shí)間差減小，即eq\f(t1,t2)>eq\f(t1′,t2′)，則eq\f(x甲,x乙)>eq\f(x甲′,x乙′)，說明相遇點(diǎn)在P點(diǎn)左上方，故C錯(cuò)誤；兩球拋出的高度和初速度未知，所以兩球可能不會(huì)相遇，故D正確。5．如圖所示，三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中b、c在地球的同步(靜止)軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時(shí)a、b恰好相距最近。已知地球質(zhì)量為M、半徑為R，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，則()A．衛(wèi)星a和b下一次相距最近還需經(jīng)過的時(shí)間為eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)B．衛(wèi)星c的機(jī)械能等于b的機(jī)械能C．若要衛(wèi)星c與b實(shí)現(xiàn)對(duì)接，可讓c加速D．發(fā)射某衛(wèi)星至b所在軌道所需的能量小于至a所在軌道解析：選Ab為地球同步(靜止軌道)衛(wèi)星，其角速度等于地球自轉(zhuǎn)角速度，對(duì)a有Geq\f(Mma,2R2)＝maωa2·2R，設(shè)衛(wèi)星a和b下一次相距最近還需經(jīng)過的時(shí)間為Δt，則有ωaΔt－ωΔt＝2π，解得Δt＝eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)，A正確；b、c在地球的同步(靜止)軌道上，由于衛(wèi)星b、c質(zhì)量關(guān)系不確定，則衛(wèi)星c的機(jī)械能與b的機(jī)械能關(guān)系也不確定，B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知軌道半徑越大，圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越小，當(dāng)衛(wèi)星c在地球同步軌道上加速后，其將變軌到高軌道，在高軌道穩(wěn)定運(yùn)行的線速度將小于衛(wèi)星b的線速度，兩者間距隨后將逐漸增大，不能實(shí)現(xiàn)對(duì)接，C錯(cuò)誤；同一衛(wèi)星在高軌道的機(jī)械能大于其在低軌道上的機(jī)械能，可知發(fā)射某衛(wèi)星至b所在軌道所需的能量大于至a所在軌道，D錯(cuò)誤。6．如圖所示，某同學(xué)用玩具槍練習(xí)射擊，用電磁鐵吸住一小球作為“靶子”，在玩具槍沿水平方向?qū)χ鞍凶印鄙涑鲆磺蛐巍白訌棥钡耐瑫r(shí)，電磁鐵釋放“靶子”小球。已知兩小球完全相同，空氣阻力與速度成正比，則下列說法中正確的是()A．只要h足夠大，“子彈”一定能擊中“靶子”B．由于空氣阻力，“子彈”不可能擊中“靶子”C．“子彈”和“靶子”運(yùn)動(dòng)過程中在同一水平線上D．“子彈”落地速度可能小于“靶子”落地速度解析：選C若“子彈”的初速度較小，水平速度減為零時(shí)的水平位移小于d，則不能擊中“靶子”，故A錯(cuò)誤；豎直方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力情況是完全一樣的，因此豎直方向位移相同，“子彈”和“靶子”運(yùn)動(dòng)過程中在同一水平線上，只要在條件允許情況下，“子彈”有可能擊中“靶子”，故B錯(cuò)誤，C正確；“子彈”落地前水平方向分速度減為0時(shí)落地速度最小，而“子彈”和“靶子”在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，即“子彈”落地速度肯定不小于“靶子”落地速度，故D錯(cuò)誤。7．某人乘坐上海到北京的動(dòng)車a，某時(shí)刻動(dòng)車a后面追上一列動(dòng)車b，兩動(dòng)車互相追趕，如圖(a)所示。兩動(dòng)車運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖(b)所示，t＝0時(shí)刻兩動(dòng)車車頭剛好并排行駛，下列說法正確的是()A．前30s兩動(dòng)車平均速度相等B．圖(b)中動(dòng)車a的最大速度為80.8m/sC．0～36s，兩車頭相距最遠(yuǎn)為65.6mD．兩車頭在36s末再次并排行駛解析：選Bv-t圖像與時(shí)間軸圍成的面積表示位移，由題圖(b)可知，在前30s內(nèi)動(dòng)車b的位移大于動(dòng)車a的位移，故動(dòng)車b的平均速度大于動(dòng)車a的平均速度，故A錯(cuò)誤；動(dòng)車a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(76－60,30－10)m/s2＝0.8m/s2，由題圖(b)可知，在36s時(shí)刻動(dòng)車a的速度最大，則有vm＝v0＋at＝60m/s＋0.8×(36－10)m/s＝80.8m/s，故B正確；0～36s，當(dāng)兩動(dòng)車的速度相等時(shí)，即在t＝30s時(shí)刻，兩車頭相距最遠(yuǎn)，由題圖(b)可知兩車頭最遠(yuǎn)的距離Δxm＝eq\f(1,2)×16×10m＝80m，故C錯(cuò)誤；由題圖(b)可知，0～30s動(dòng)車b比動(dòng)車a多走的位移Δx1＝Δxm＝80m，30s～36s動(dòng)車a比動(dòng)車b多走的位移Δx2＝eq\f(1,2)×(80.8－76)×6m＝14.4m，說明在0～36s動(dòng)車b比動(dòng)車a多走的位移Δx＝Δx1－Δx2＝65.6m，即兩車頭在36s末沒有并排行駛，故D錯(cuò)誤。8．(多選)如圖所示，在水平地面上M點(diǎn)的正上方h高度處，將小球S1以速度大小為v水平向右拋出，同時(shí)在地面上N點(diǎn)處將小球S2以速度大小為v豎直向上拋出。在S2球上升到最高點(diǎn)時(shí)恰與S1球相遇，不計(jì)空氣阻力。則在這段過程中，以下說法正確的是()A．兩球的速度變化相同B．相遇時(shí)小球S1的速度方向與水平方向夾角為30°C．兩球的相遇點(diǎn)在N點(diǎn)上方eq\f(h,2)處D．M、N間的距離為h解析：選ACD由于兩個(gè)球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，兩球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則速度的變化相同，故A正確；兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝eq\f(v,g)，相遇時(shí)小球S1豎直分速度為vy＝gt＝v，因此速度方向與水平方向夾角為45°，故B錯(cuò)誤；兩球相遇時(shí)，小球S1豎直位移h1＝eq\f(1,2)gt2，小球S2豎直位移h2＝vt－eq\f(1,2)gt2，h1＋h2＝h，聯(lián)立解得h1＝h2＝eq\f(h,2)，兩球的相遇點(diǎn)在N點(diǎn)上方eq\f(h,2)處，故C正確；M、N間的距離為x＝vt＝gt2＝h，故D正確。9．(多選)如圖，火星與地球近似在同一平面內(nèi)繞太陽(yáng)沿同一方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測(cè)者在大多數(shù)的時(shí)間內(nèi)觀測(cè)到火星相對(duì)于恒星背景由西向東運(yùn)動(dòng)，稱為順行；有時(shí)觀測(cè)到火星由東向西運(yùn)動(dòng)，稱為逆行。當(dāng)火星、地球、太陽(yáng)三者在同一直線上，且太陽(yáng)和火星位于地球兩側(cè)時(shí)，稱為火星沖日。忽略地球自轉(zhuǎn)，只考慮太陽(yáng)對(duì)行星的引力，下列說法正確的是()A．火星的公轉(zhuǎn)周期大約是地球的eq\r(\f(8,27))倍B．在沖日處，地球上的觀測(cè)者觀測(cè)到火星的運(yùn)動(dòng)為順行C．在沖日處，地球上的觀測(cè)者觀測(cè)到火星的運(yùn)動(dòng)為逆行D．在沖日處，火星相對(duì)于地球的速度最小解析：選CD由題意根據(jù)開普勒第三定律可知eq\f(r地3,T地2)＝eq\f(r火3,T火2)，火星軌道半徑大約是地球軌道半徑的1.5倍，則可得T火＝eq\r(\f(27,8))T地，故A錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于火星軌道半徑大于地球軌道半徑，故火星運(yùn)行線速度小于地球運(yùn)行線速度，所以在沖日處火星相對(duì)于地球由東向西運(yùn)動(dòng)，為逆行，故B錯(cuò)誤，C正確；由于火星和地球運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，在沖日處火星和地球速度方向相同，故相對(duì)速度最小，故D正確。10．如圖(a)，我國(guó)某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖(b)所示，其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點(diǎn)均為O，且軌跡交于P點(diǎn)，拋出時(shí)谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B．谷粒2在最高點(diǎn)的速度小于v1C．兩谷粒從O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等D．兩谷粒從O到P的平均速度相等解析：選B拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重力加速度，A錯(cuò)誤；谷粒2做斜向上拋運(yùn)動(dòng)，谷粒1做平拋運(yùn)動(dòng)，均從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，故位移相同，在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，谷粒1做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直方向上位移相同，故谷粒2運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；谷粒2做斜拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上為勻速直線運(yùn)動(dòng)，故運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度即為水平方向上的分速度，相同水平位移谷粒2用時(shí)較長(zhǎng)，故谷粒2在水平方向上的分速度較小，即最高點(diǎn)的速度小于v1，B正確；兩谷粒從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的位移相同，谷粒1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于谷粒2的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D錯(cuò)誤。11.如圖所示，質(zhì)量分別為m1、m2的小球A和B，用兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛在同一點(diǎn)O上?，F(xiàn)讓A、B在水平面內(nèi)繞同一方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心分別為O1、O2。O1、O2到O點(diǎn)的距離分別為h1＝0.25L、h2＝0.64L，重力加速度為g。求：(1)小球A和B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大??；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中小球A和B間的距離會(huì)不斷改變，則A和B的間距從最小值變化到最大值所需的最短時(shí)間。解析：(1)設(shè)細(xì)繩與豎直方向夾角為θ，如圖所示，則有mgtanθ＝mω2Lsinθ解得ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))＝eq\r(\f(g,h))代入h1＝0.25L，h2＝0.64L可得ω1＝2eq\r(\f(g,L))，ω2＝eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))。(2)最短時(shí)間內(nèi)間距從最小值到最大值滿足(ω1－ω2)t＝π解得t＝eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))。答案：(1)2eq\r(\f(g,L))eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))(2)eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))12.如圖所示，光滑斜面固定，傾角θ＝37°，斜面上P點(diǎn)與斜面底端B點(diǎn)間的距離為d，D點(diǎn)位于B點(diǎn)的正上方?，F(xiàn)在將小物塊從斜面的頂端A點(diǎn)由靜止釋放的同時(shí)，將小球從D點(diǎn)以某一初速度水平向左拋出，小球與物塊在P點(diǎn)相遇，相遇時(shí)小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小為g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物塊與小球均視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。求：(1)小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t及其拋出時(shí)距B點(diǎn)的高度h；(2)斜面的長(zhǎng)度L。解析：(1)小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過程做平拋運(yùn)動(dòng)，如圖所示有dcosθ＝v0t