重難點(diǎn)17 中考數(shù)學(xué) 幾何最值問(wèn)題 費(fèi)馬點(diǎn) 瓜豆模型

重難點(diǎn)17幾何壓軸突破四幾何最值問(wèn)題費(fèi)馬點(diǎn)與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對(duì)訓(xùn)練）【題型匯總】類(lèi)型一費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿(mǎn)足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn).結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；2)對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，得出最短長(zhǎng)度.【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見(jiàn)的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線(xiàn)的交點(diǎn)；⑤點(diǎn)P是△ABC各邊的中線(xiàn)的交點(diǎn)；⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)；⑦△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.直角三角形①△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最?。虎凇螦PB=∠BPC=∠APC=120°【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線(xiàn)段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類(lèi)題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【模型拓展】類(lèi)型一單系數(shù)類(lèi)當(dāng)只有一條線(xiàn)段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比類(lèi)型二多系數(shù)類(lèi)其實(shí)當(dāng)三條線(xiàn)段的三個(gè)系數(shù)滿(mǎn)足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線(xiàn)段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC問(wèn)題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC求PA+PB+2PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求PA+PB+3PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求2PA+PB+3PC最小值思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,則PF=32PC;2)12PB利用三角形中位線(xiàn)來(lái)處理；3）P過(guò)程：△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+求2PA+4PB+23PC過(guò)程：△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.題型01普通費(fèi)馬點(diǎn)模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為（A．4 B．2 C．2+23 D．2．（21-22九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值為3．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點(diǎn)C為圓心，15CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧分別交BC、AC、CD于點(diǎn)M、H、N，點(diǎn)P是HN上方△ACD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是HN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問(wèn)題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長(zhǎng)，材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題．費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最?。▽W(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出x2

題型02加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱(chēng)為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線(xiàn)向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/7．（23-24八年級(jí)下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線(xiàn)段DF(1)如圖1，線(xiàn)段AC與線(xiàn)段BD的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接EF，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度；(2)如圖2，點(diǎn)G為DC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，使得GC=EC，連接FG交AD于點(diǎn)H，求證：2AH=CD(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時(shí)，求8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，

(1)求證：△ABG∽△ACF；(2)當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí)，①求BG的長(zhǎng)度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求題型03加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-多系數(shù)9．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+510．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

11．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求2212．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點(diǎn)D和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接AD和CD，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,AC=4，P為2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）問(wèn)題背景如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為_(kāi)__________三角形，故PP'=PC，又P（2）問(wèn)題解決如圖3，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；（3）問(wèn)題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線(xiàn)向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C4．（2024·福建廈門(mén)·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費(fèi)馬點(diǎn)的思考問(wèn)題背景17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材1解決這種問(wèn)題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA，如圖：把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'

素材2圖中所示的是一個(gè)正方形的廠(chǎng)區(qū)，其中頂點(diǎn)A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長(zhǎng)為2km，準(zhǔn)備在廠(chǎng)區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線(xiàn)型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C

任務(wù)一感悟證明定理請(qǐng)你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線(xiàn)段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+P任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請(qǐng)問(wèn)研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．△ABC內(nèi)的區(qū)域B．△ACD內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問(wèn)該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠(chǎng)區(qū)的什么地方，才能使得花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為多少？5．（21-22八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA、PB知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線(xiàn)通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，且邊長(zhǎng)AB=2；求AE+BE+CE的最小值．6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接B（2）【問(wèn)題探究】如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線(xiàn)段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q①求證：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)S△PAD=2S△PBC，Q為類(lèi)型二瓜豆模型型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”，即：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),分別叫做“主動(dòng)點(diǎn)”與“從動(dòng)點(diǎn)”，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似。出自成語(yǔ)“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線(xiàn)得線(xiàn),種國(guó)得圓”.【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿(mǎn)足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線(xiàn)組成的夾角是定角;③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.1)本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.2)在線(xiàn)段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線(xiàn)段最值.3)部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得.【模型一】點(diǎn)在直線(xiàn)上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線(xiàn)，OBOA=OB’OA’=【模型二】點(diǎn)在圓上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA=k圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線(xiàn)，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA2)當(dāng)α≠0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA③主從動(dòng)圓的圓心與定點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成的夾角為α（定值）.【總結(jié)】1）在線(xiàn)段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線(xiàn)段最值；2）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得題型01點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線(xiàn)段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線(xiàn)段DQ的最小值為（

A．52 B．52 C．52．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF=，連接DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是．5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，D是BC中點(diǎn)，E在AD上運(yùn)動(dòng)，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長(zhǎng)的最小值為．6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線(xiàn)l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線(xiàn)l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C，直角邊MN恒過(guò)點(diǎn)H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_(kāi)______．題型02點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線(xiàn)段AB=4，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線(xiàn)段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PC，連接AC，則線(xiàn)段AC長(zhǎng)度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PCA．103 B．31010 C．133．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM

A．3 B．62?4 C．24．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段PF，連接OF，則線(xiàn)段OF長(zhǎng)的最小值是．

6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線(xiàn)段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)y=34x?3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，

9．（21-22九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點(diǎn)F在直線(xiàn)BC的上方，且滿(mǎn)足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的值為．點(diǎn)E在⊙B上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BF10．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O外的一個(gè)定點(diǎn)，OA=4．點(diǎn)P在⊙O上，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PA、AQ．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問(wèn)題；如圖②，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過(guò)證明△OAP≌△MAQ，可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ．1°當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OA外時(shí)，證明過(guò)程缺失2°當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OA上時(shí)，易知OP=MQ=2．綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，連接EF，點(diǎn)O是EF中點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段OF上的任意一點(diǎn)，AB=4，BC=8．點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=2，連接AP．作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接（1）當(dāng)點(diǎn)M是線(xiàn)段OF中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______________．（2）當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接EQ．設(shè)線(xiàn)段EQ長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點(diǎn)，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CGA．5 B．52 C．3 D．2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（

）.A．4 B．415 C．421 3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊DC上，連接AE，過(guò)D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為．5．（21-22九年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線(xiàn)y=12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P-1,0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q'6．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）【問(wèn)題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問(wèn)題：四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接BF，DG．(1)如圖1，求點(diǎn)G到CD的距離，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；【類(lèi)比分析】愛(ài)動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過(guò)程中，也提出了一個(gè)問(wèn)題：(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求DG的長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說(shuō)：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：(3)求代數(shù)式2DG+BF解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點(diǎn)C由∠ACF=∠DCG，ACDC=CF由∠F1CF=∠ACE，C請(qǐng)完成“……”部分的解答過(guò)程．7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A8,0的動(dòng)直線(xiàn)a，b，其夾角∠OBA=30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則AM的最小值是（

A．4 B．23+2 C．438（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度的最大值為．9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，將線(xiàn)段AP以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．10．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線(xiàn)段OQ的最大值為．12．（2017·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，線(xiàn)段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°并縮短到原來(lái)的一半，得到線(xiàn)段DF，連接AF，則AF的最小值是．

14．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）【提出問(wèn)題】如圖1，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)Q是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O外一點(diǎn)，連接PQ，取PQ中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．【解決問(wèn)題】（1）小帥同學(xué)進(jìn)行了探究，他連接線(xiàn)段OP，取其中點(diǎn)N，他猜想點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請(qǐng)你幫小帥同學(xué)完成證明過(guò)程．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取BC中點(diǎn)記為O，以O(shè)為圓心，BC長(zhǎng)為直徑作圓O，點(diǎn)E為圓O上一點(diǎn)，連接AE取其中點(diǎn)F，求線(xiàn)段DF的最小值．【靈活運(yùn)用】（3）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F在以A為圓心22長(zhǎng)為半徑的圓上，連接CF，取其中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)N，則∠ANB最大為°15．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+（2）問(wèn)題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．（3）問(wèn)題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運(yùn)會(huì)，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對(duì)一正方形區(qū)域ABCD進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，方使大家鍛煉運(yùn)動(dòng)．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計(jì)等腰直角△CEF為健身運(yùn)動(dòng)區(qū)域，直角頂點(diǎn)E設(shè)計(jì)在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計(jì)鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價(jià)鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價(jià)為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價(jià)為每米100元，請(qǐng)求出鋪設(shè)CF和DF

重難點(diǎn)17幾何壓軸突破四幾何最值問(wèn)題費(fèi)馬點(diǎn)與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對(duì)訓(xùn)練）【題型匯總】類(lèi)型一費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿(mǎn)足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn).結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；2)對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，得出最短長(zhǎng)度.【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見(jiàn)的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線(xiàn)的交點(diǎn)；⑤點(diǎn)P是△ABC各邊的中線(xiàn)的交點(diǎn)；⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)；⑦△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.直角三角形①△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最??；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線(xiàn)段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類(lèi)題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【模型拓展】類(lèi)型一單系數(shù)類(lèi)當(dāng)只有一條線(xiàn)段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比類(lèi)型二多系數(shù)類(lèi)其實(shí)當(dāng)三條線(xiàn)段的三個(gè)系數(shù)滿(mǎn)足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線(xiàn)段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC問(wèn)題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=求PA+PB+PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰直角三角形，即PE=PC因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=求PA+PB+PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=PC，因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=求2PA+PB+PC最小值思路：原式=2（PA+PB+PC）

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,則PF=PC;2)PB利用三角形中位線(xiàn)來(lái)處理；3）PA前的系數(shù)是1，不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.過(guò)程：△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=PB，則當(dāng)A、P、F、G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=,原式=2（PA+PB+PC）=求2PA+4PB+PC最小值過(guò)程：△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=AP，則當(dāng)B、P、F、G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=,原式=4（PA+PB+PC）=備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.題型01普通費(fèi)馬點(diǎn)模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖，在中，，，則的費(fèi)馬點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)分別作，則，證明，所以點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，再通過(guò)解直角三角形即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)分別作，∵是等腰三角形，∴，∴，∴點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，∵，，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即的費(fèi)馬點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離之和為，故選：．2．（21-22九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為．【答案】【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線(xiàn)段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線(xiàn)上．3．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為．【答案】【分析】將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，則MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共線(xiàn)時(shí)最短；由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝DG＋GE的值；【詳解】解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，∴D′M、MM′、ME共線(xiàn)時(shí)最短，由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝D′G＋GE＝∴MA＋MD＋ME的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造等邊三角形解決問(wèn)題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在中，，連接，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧分別交、、于點(diǎn)、、，點(diǎn)是上方內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為．【答案】/【分析】如圖，把繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，證明為等邊三角形，為等邊三角形，可得，，當(dāng)，，，，共線(xiàn)時(shí)，，此時(shí)最小，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：如圖，把繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，∴，，，∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴，，當(dāng)，，，，共線(xiàn)時(shí)，，此時(shí)最小，∵，∴，而，，∴，，，∴，，∵，∴，∴的最小值為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問(wèn)題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如可看做是圖一中的長(zhǎng)，可看做是的長(zhǎng)．材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題．費(fèi)馬點(diǎn)即在中有一點(diǎn)使得的值最?。▽W(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：將繞點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)得到，并連接易得是等邊三角形、，則，則，所以的值最小為．請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出的最小值

【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造直角三角形，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)為，進(jìn)而得到，，，將繞點(diǎn)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并做，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式可看做下圖中的，其中為則，，將繞點(diǎn)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并做，，，，，，為等邊三角形，，，，又，∵，∴，∴的最小值為；的最小值為．

題型02加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱(chēng)為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線(xiàn)向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設(shè)成本，通過(guò)將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．又∵已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；③；④．（2）將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值為，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設(shè)成本（元）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級(jí)下·重慶銅梁·期中）在中，，連接，已知，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，將線(xiàn)段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為線(xiàn)段．(1)如圖1，線(xiàn)段與線(xiàn)段的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，點(diǎn)G為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，使得，連接交于點(diǎn)H，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）作，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到，，在中，應(yīng)用勾股定理，求出的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，即可求解，（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到，，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的判定得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)度，即可求解，（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，得到，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)取得最小值，作，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到，在中，應(yīng)用勾股定理得到，，，，由，得到，在中，得到，在中，得到，，根據(jù)，即可求解，本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，，，∵，∴，在中，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：，（2）解：連接，，∵，，∴，，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，（3）解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，∴，∴，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)取得最小值，延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∵，∴，，∴，在中，，，，∵，即：，解得：，在中，，在中，，∴，∴，故答案為：．8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)度最大，并畫(huà)出圖形，在中求出的長(zhǎng)，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過(guò)P作于S，過(guò)點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)度最大，如圖所示：

此時(shí)，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過(guò)P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，由題意，，，，，過(guò)點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)是解答的關(guān)鍵.題型03加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-多系數(shù)9．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線(xiàn)，使得，使得，連接，，．先證明，可得，再證明，可得：，從而得到，計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線(xiàn)，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，利用相似構(gòu)造與，根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，在內(nèi)有一點(diǎn)，連接，，，若的最小值為，則的值為．

【答案】【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法，掌握?qǐng)D象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大倍，得，連接，根據(jù)邊的關(guān)系可得，，由此可得，作直角，根據(jù)可得的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大倍，得，連接，

∴，，，∴在中，，∴，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，∴在中，，∵的最小值為，，∴，在中，，∴，∵，∴，延長(zhǎng)，作點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∴，且，在中，，∴，，∴，∴在中，，∴，解得，，故答案為：．11．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值【答案】【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線(xiàn)段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線(xiàn)的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．12．（2024·重慶·二模）已知中，點(diǎn)和點(diǎn)是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接，和，．(1)如圖1，若，，，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接和，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接和，若，求證：；(3)若，，當(dāng)取得最小值，且取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得出，再證明，得出，進(jìn)而即可得證；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)，當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，進(jìn)而確定的位置，根據(jù)點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)取得最大值時(shí)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，進(jìn)而解直角三角形，求得的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵中，∴，，∵，，∴，．又∵，∴∴∴；（2）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，又∵是，，∴，∵∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，在中，∴∴∴即又∵即，∴∴∵∴∴（3）解：∵中，，∴是等邊三角形，如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)得到，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，，則是等邊三角形，是等邊三角形，∵取的中點(diǎn)，則，∵是的中點(diǎn)，，，∴∴當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小此時(shí)如圖所示，∴∵，∴，∴是直角三角形，∴是直角三角形，∴∵∴∴設(shè)，則，，在中，∵是等邊三角形，∴，在中，∴∴解得：∴，取的中點(diǎn)，連接，∵∴點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角；熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則．【答案】5【分析】①作出圖形，過(guò)分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，P為的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共線(xiàn)，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過(guò)作，垂足為,過(guò)分別作,則,P為的費(fèi)馬點(diǎn)5②如圖：.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費(fèi)馬點(diǎn)即四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，=故答案為：①5，②【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最小．在中，，，過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，然后求出，的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過(guò)點(diǎn)C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最?。谥?，，，過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線(xiàn)，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線(xiàn)段的和最小．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）問(wèn)題背景如圖1，P為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由，，可知為_(kāi)__________三角形，故，又，故，由___________可知，當(dāng)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（2）問(wèn)題解決如圖3，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，，，求的最小值；（3）問(wèn)題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，且，，．現(xiàn)欲在內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線(xiàn)向三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊的鋪設(shè)成本分別為元，元，萬(wàn)元，是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若存在請(qǐng)求出成本的最小值．【答案】（1）等邊；兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短（2）5（3）【分析】（1）根據(jù)推論過(guò)程填寫(xiě)根據(jù)即可；（2）根據(jù)（1）的方法將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，即可得出可知當(dāng)、、、在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，再根據(jù)可證明，根據(jù)勾股定理即可求出；（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，得到等腰△，推出，即可得出當(dāng)、、、在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值為的長(zhǎng)，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1），，為等邊三角形，由幾何公理：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得：，當(dāng)，，，在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值．故答案為：等邊，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短．（2）如圖4，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，由（1）可知當(dāng)、、、在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，，，又，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，即的最小值為5；（3）總鋪設(shè)成本萬(wàn)元，當(dāng)最小時(shí)，總鋪設(shè)成本最低，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，如圖：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，在中，，，當(dāng)、、、在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值，其最小值為的長(zhǎng)度，，，，，，，的最小值為，總鋪設(shè)成本最小值為：（元．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．4．（2024·福建廈門(mén)·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費(fèi)馬點(diǎn)的思考問(wèn)題背景17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材1解決這種問(wèn)題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段行轉(zhuǎn)化：如圖：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，這樣就把確定的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了．當(dāng)，四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為所求的最小值，容易證明，此時(shí)點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材2圖中所示的是一個(gè)正方形的廠(chǎng)區(qū)，其中頂點(diǎn)A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長(zhǎng)為，準(zhǔn)備在廠(chǎng)區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線(xiàn)型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一感悟證明定理請(qǐng)你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線(xiàn)段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請(qǐng)問(wèn)研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．內(nèi)的區(qū)域B．內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問(wèn)該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠(chǎng)區(qū)的什么地方，才能使得花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為多少？【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：A；任務(wù)三：研發(fā)區(qū)E應(yīng)建在內(nèi)部，且滿(mǎn)足時(shí)花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為元【分析】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將待求線(xiàn)段的和通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段來(lái)求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．任務(wù)一：證明是等邊三角形即可證明結(jié)論；任務(wù)二：結(jié)合任務(wù)一結(jié)論選擇即可；任務(wù)三：把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，為等邊三角形，證出，當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)，的值為最小，為，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，求出最小值，即可求出結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)一：如圖，由旋轉(zhuǎn)得：，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；

任務(wù)二：在素材2中，由題意得：要找一點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)距離和最小，研發(fā)區(qū)E建在內(nèi)的區(qū)域比較合適，故選：A；（3）如圖，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，則，連接，為等邊三角形，，繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，，，，當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)，的值為最小，為，此時(shí)，點(diǎn)E在內(nèi)部，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，在中，，，，在中，，最小值為，此時(shí)費(fèi)用為元．

5．（21-22八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線(xiàn)通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見(jiàn)詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；（2）證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，四點(diǎn)共線(xiàn)，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，四點(diǎn)共線(xiàn)，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在中，若將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接；求；（2）【問(wèn)題探究】如圖②，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，以為邊向外作等邊三角形，P為內(nèi)一點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q．①求證：；②求的最小值；（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形中，，是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②12；（3）存在，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明全等即可；②連接，得到是等邊三角形，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得，求出即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，設(shè)交于點(diǎn)G，由可得，進(jìn)而求得，當(dāng)時(shí)，有最小值，運(yùn)用勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，故答案為：；（2）①證明：∵是等邊三角形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，在和中，，∴；②連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、Q、D在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，為的值，延長(zhǎng)，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，即取最小值為12．（3）存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得有最小值，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，設(shè)交于點(diǎn)G，如圖所示：由（2）知，當(dāng)在同一直線(xiàn)上時(shí)，有最小值，最小值為，在矩形中，，∴，，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)P在上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理．類(lèi)型二瓜豆模型型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”，即：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),分別叫做“主動(dòng)點(diǎn)”與“從動(dòng)點(diǎn)”，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似。出自成語(yǔ)“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線(xiàn)得線(xiàn),種國(guó)得圓”.【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿(mǎn)足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線(xiàn)組成的夾角是定角;③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.1)本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.2)在線(xiàn)段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線(xiàn)段最值.3)部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得.【模型一】點(diǎn)在直線(xiàn)上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α（α≠0）且，如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)圖示：結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線(xiàn)，，直線(xiàn)BB′與直線(xiàn)AA′的夾角為α【模型二】點(diǎn)在圓上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且，A點(diǎn)在⊙O1上運(yùn)動(dòng)圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線(xiàn)，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為.2)當(dāng)α≠0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)