人教版九年級數(shù)學(xué)：24.1.2 垂直于弦的直徑（教案）

24.1.2垂直于弦的直徑

【知識與技能】

1.通過觀察實驗，使學(xué)生理解圓的軸對稱性.

2.掌握垂徑定理及其推論.理解其證明，并會用它解決有關(guān)的證明與計算問

題.

【過程與方法】

通過探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種

方法.

【情感態(tài)度】

1.結(jié)合本課特點，向?qū)W生進行愛國主義教育和美育滲透.

2.激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望.

【教學(xué)重點】

垂徑定理及其推論，會運用垂徑定理等結(jié)論解決一些有關(guān)證明，計算和作圖

問題.

【教學(xué)難點】

垂徑定理及其推論.

一、情境導(dǎo)入，初步認識

你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人

民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為

37.4m，拱高（弧的中心點到弦的距離）為7.2m.你能求出主橋拱的半徑嗎？（圖：

課本第82頁圖24.1-7）

【教學(xué)說明】趙州橋問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系，了解我國古代

人民的勤勞與智慧，要解決此問題需要用到這節(jié)課的知識，這樣較好地調(diào)動了學(xué)

生的積極性，開啟了學(xué)生的思維，成功地引入新課.

二、思考探究，獲取新知

1.圓的軸對稱性

問題1用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了

什么？由此你能得到什么結(jié)論？

【教學(xué)說明】學(xué)生通過自己動手操作，歸納出圓是軸對稱圖形，任何一條直

徑所在直線都是它的對稱軸.

2.垂徑定理及其推論

問題2請同學(xué)們完成下列問題：

如右圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD.使CD⊥AB，垂足為E.

（1）右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么呢？

（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說說理由.

【教學(xué)說明】問題（1）是對圓的軸對稱性這一結(jié)論的復(fù)習(xí)與應(yīng)用，也是為

問題（2）作下鋪墊，垂徑定理是根據(jù)圓的軸對稱性得出來的.問題（2）可由問

題（1）得到，問題（2）由學(xué)生合作交流完成，培養(yǎng)他們合作交流和主動參與的

意識.

【歸納結(jié)論】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧

（優(yōu)弧、劣?。?

數(shù)學(xué)語言：如上圖，在⊙O中，AB是弦，直徑CD垂直于弦AB.

∴AE=BE.ACBC.ADBD。

問（1）一條直線滿足：①過圓心.②垂直于弦，則可得到什么結(jié)論？

【教學(xué)說明】本問題是幫助學(xué)生進一步分析定理的題設(shè)和結(jié)論，這樣可以加

深學(xué)生對定理的理解.

問（2）已知直徑AB，弦CD且CE=DE（點E在CD上），那么可得到結(jié)論

有哪些？（可要學(xué)生自己畫圖）

提示：分E點為“圓心”和“不是圓心”來討論.即：CD是直徑或CD是除

直徑外的弦來討論.

結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

問（3）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧，為

什么不是直徑的弦？

【教學(xué)說明】問題（2）是為了推出垂徑定理的推論而設(shè)立的，通過學(xué)生動

手畫圖，觀察思考，得出結(jié)論.問題（3）是對推論進行強調(diào)，使學(xué)生抓住實質(zhì)，

注意條件，加深印象.

3.利用垂徑定理及推論解決實際問題

問題3如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R，經(jīng)

過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點C，根據(jù)垂徑定理，

D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，則

AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，

OD=OC-CD=R-7.2.

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.

即：R2=18.72+(R-7.2)2

解得R≈27.9(m)

∴趙州橋主橋拱半徑約為27.9m.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后

畫出圖形進行解答.并且在解答過程中，讓學(xué)生意識到勾股定理在這節(jié)課中的充

分運用，以及圓的半徑、弦、圓心到弦的距離和拱形高之間存在一定的聯(lián)系.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，根據(jù)圓的軸對稱性可得：

CE=______，BC=______；AC=______.

2.如圖，在⊙O中，MN為直徑，若MN⊥AB，則______，______，______，

若AC=BC，AB不是直徑，則______，______，______.

3.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。▓D中AB），點O是這段弧的圓心，

C是AB上一點，OC⊥AB，垂足為D.AB=300m，CD=50m，則這段彎路的半徑

是____m.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生當(dāng)堂完成，第1、2題是對垂徑定理及其推論的鞏固.

第3題是對垂徑定理的應(yīng)用，需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

【答案】1.DEBDAD

2.AC=BCAB=BMAN=BNMN⊥ABAM=BMAN=BN

3.250

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會？

【教學(xué)說明】教師應(yīng)讓學(xué)生交流總結(jié)，然后補充說明，強調(diào)定理及其推論的

應(yīng)用.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.

1.這節(jié)課的教學(xué)從利用垂徑定理來解決趙州橋橋拱半徑問題開始，引入課題

從實驗入手，得到圓的軸對稱性，進而推出垂徑定理及推論.教學(xué)設(shè)計中