2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)考點(diǎn)突破：平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例

6.4.1&6.4.2平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例

【考點(diǎn)梳理】

/題型一：用向量解決夾角問題

/題型二：用向量解決線段的長(zhǎng)度問題

/題型三：向量在物理中的應(yīng)用

/題型四：向量與幾何最值問題

/題型五：用向量證明線段垂直問題

/題型六：向量與幾何的綜合問題

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一向量方法解決平面幾何問題的步驟

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻建”成幾何關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二向量方法解決物理問題的步驟

用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：

(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.

(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.

技巧：(1)用向量法求長(zhǎng)度的策略

①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式1a|2=a2求解.

②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a=(x,y),則|a|=Jx2+y2.

(2)用向量法解決平面幾何問題的兩種思想

①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法

則、運(yùn)算律或性質(zhì)求解.

②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

【題型歸納】

題型一：用向量解決夾角問題

____________.1_.

1.(2022?四川南充?三模)在RtZX/BC中，乙4=90。，AB=2,/C=3,AM=2MC，AN=-AB,CN與BM交

于點(diǎn)P,貝UcosNAPN的值為()

A.正B.一至

55

45n26

rL?---------JU?---------

55

【答案】D

【分析】將三角形放到直角坐標(biāo)系當(dāng)中，利用坐標(biāo)法求向量夾角，即可求解.

【詳解】解:建立如圖直角坐標(biāo)系,則8(0,2),N(0,l),C(3,0),M(2,0),

得函=(-3,1)廂=(-2,2),

麗.標(biāo)8275

所以cosZBPN

加|.|詞710-2^/2"I-

故選：D.

—?2—、1—、

2.(20-21高一下?福建三明?期末)△4BC中，若4B=4C=5,8c=6,點(diǎn)E滿足CE=^C4+gC8,直線CE與

直線48相交于點(diǎn)。，則cos/4DE=()

畫「3710

--------LJ.-------------

1010

【答案】A

【分析】本題首先可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出5(0,0)、。(6,0)、/(3,4),然后根據(jù)A、B、。三點(diǎn)共線以

__.2—?3—?——?（2481—?/、

及C、E、D三點(diǎn)共線得出再然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則得出OC=［彳,-7、山=（3,4）,最后

BADC

根據(jù)cosN4DE=網(wǎng)函即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，以3點(diǎn)為原點(diǎn)，2c為x軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?8=/C=5,BC=6,所以2(0,0),C(6,0),4(3,4),

^CD=xCA+yCB,

因?yàn)锳、B、。三點(diǎn)共線，所以x>0,y>0,x+y=l,

—?2—?1—?———

因?yàn)镃E=--CA+—CB,C、E、D二點(diǎn)共線，所以15_5，

155---

Xy

21

聯(lián)立二二■；，解得兀=CD=：CA*B,

Ay5555

x+y=1

因?yàn)槎?(-6,0),C2=(-3,4),所以麗=5C=^,-|

因?yàn)榈?(3,4),

所以cos//DE

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的幾何應(yīng)用，可借助平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解題，考查應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求夾

角，考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是難題.

3.（2021?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知菱形中，AC=26,BD=2,點(diǎn)￡為。上一點(diǎn)，且CE=2ED,則N/E8的

余弦值為（）

A2A/5口y/5?nV3

5523

【答案】D

【分析】設(shè)NC與3。交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,8。所在的直線分別為x,丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，利

用向量的夾角公式可得答案.

【詳解】設(shè)/C與8。交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,2。所在的直線分別為X,?軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖

所示，則點(diǎn)/（啦,0）,5（0,1）,E,

???一5（亍4A/22、小一反（65則、'/…同EA-向EB=武2773'

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立平面直角坐標(biāo)系,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.

題型二：用向量解決線段的長(zhǎng)度問題

4.（22-23高一下?福建?期中）在△48C中，點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，ZBAC=nO°,43=3,AD=—,則NC的值

2

為（）

A.5B.6C.V31D.V33

【答案】A

【分析】由平面向量的數(shù)量積與模的關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，由題意可得：

布=:（荏+死）=赤2=；（次2+就a+?在就）=?,

o131Q

即'+_/02_3/°=二，解之得/C=5.

4444

故選：A

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量焉.就=6，線段5C的中點(diǎn)為M,且卜應(yīng)卜6,則國(guó)=()

A.2回B.3回C.2>/26D.3^/26

【答案】A

【分析】用平面向量基底｛刀，就｝表示而，就，找到口應(yīng)|,忸1的關(guān)系求解即可.

【詳解】^AB=a,AC=b,

I--------?|21/—2-,—?—,,2\I------>|2-?2一——2

由+2a?b+bj,|5C|=a-2a,b+b,

得4P不-圜2=4公石，又已知方.衣=晨9=6，且|刃可=6,

則有|就『=4|而『一4））=4（36—6）=120,

故園=2而.

故選：A.

___—??2

6.（20-21高一下?江西九江?期中）在△45。中，Z5=/C=2,點(diǎn)M滿足兩+207k=0,若5。/河=§,則

的值為（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【分析】取8c中點(diǎn)。，由已知可確定兩=2荻，利用向量的運(yùn)算和長(zhǎng)度關(guān)系將數(shù).而轉(zhuǎn)化為:數(shù)『，由此構(gòu)

造方程求得獲=2.

【詳解】取BC中點(diǎn)。，連接“。,

■.■BM+2CM=0,即廂7=2標(biāo)，為8c邊上靠近C的三等分點(diǎn),

\-^C-AM=~BC-{AV+OM^=BC-AV+BC-OM,

AB=AC,:.AOLBC,：,BCAO^O,

又血=:左，,前.而=能.而=：網(wǎng)=|,.?.園=2.

故選：C

題型三：向量在物理中的應(yīng)用

7.（23-24高一下?河北保定?期中）平面上三個(gè)力耳，耳，耳作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，同=1N,同=圓，耳

與耳的夾角為45。，則園的大小為（）

A.V3NB.5NC.V5ND.近N

【答案】C

【分析】根據(jù)平衡狀態(tài)得居=-（瓦+瓦），結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.

【詳解】由題意得，可=-（耳+月），

所以園=卜（耳+司=，（耳+瓦）2=［尸+2不瓦+瓦2=Vl+2+2=V5N,

故選：C.

8.（23-24高一下?安徽?期中）平面上三個(gè)力瓦及而作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài).同=1N,同=亞4,耳與耳的

夾角為150。，則同=（）

A.INB.V3NC.V5ND.V7N

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，推得瓦=-（耳+E），再將兩邊同時(shí)平方，即可求解.

【詳解】平面上三個(gè)力瓦瓦，瓦作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，則瓦=-（瓦+瓦），

|瓦|=1N,|瓦卜石N,耳與瓦的夾角為150。，

故同=折+月2+2后?月=V1+3+2X1XV3XCOS150°=1.

故選：A.

9.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）有一條東西向的小河，一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河.小船航行速度的

大小為15km/h,方向?yàn)楸逼?0。，河水的速度為向東7.5km/h,求小船實(shí)際航行速度的大小與方向（）.

A.3■百km/h正北B.?■百km/h與水流方向夾角為63.4。

C.，近km/h與水流方向夾角為41。D.g限m/h垂直于河岸

【答案】A

【分析】作出示意圖，將船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，與水流速度對(duì)比即可得到合速度（實(shí)際速度）.

【詳解】如圖，方為河水速度，就為小船航行速度，設(shè)而為小船實(shí)際航行速度.

設(shè)E為渡口A在對(duì)岸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則/4EC=90。，NCAE=30°,

在A/CE中，TNC=|/C|=15,C￡=；/C=7.5=*q,

：.E和D重合，|詬卜=J/'_即:='152-7.52=（km/h）.

???小船實(shí)際航行速度的大小為二限m/h,方向?yàn)檎狈较?

2

故選：A.

題型四：向量與幾何最值問題

10.（23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí)）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊

長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中,

已知/3=2,尸為弧NC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則而?定的范圍為（）

A.[0,2]B.[0,273]C.[1,2]D.[0,4]

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合忸亍卜[1,百]即可求解.

【詳解】取BC中點(diǎn)為。，連接尸O,顯然|所

A

P

^\P^^=(PO+OB)(Pd+OC>)=(Pd+OBy(Pd-OB)

------,■2>,2?2

=PO-OB=PO-16[0,2].

故選：A.

11.（23-24高一下?重慶?期末）如圖，已知正方形N8C。的邊長(zhǎng)為2,若動(dòng)點(diǎn)尸在以為直徑的半圓上（正方形/BCD

內(nèi)部，含邊界），則正?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[0,3]D.[0,1]

【答案】B

【分析】取CD中點(diǎn)E,連接PE,求出閥的取值范圍，再根據(jù)定?麗=（西+就）?悻+而）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)

算律求解即可.

【詳解】取C。中點(diǎn)E,連接PE,

因?yàn)?BCZ）是邊長(zhǎng)為2的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以42為直徑的半圓上,

所以當(dāng)尸在A點(diǎn)或3點(diǎn)時(shí)，|麗|取得最大值6，

當(dāng)P在弧N8中點(diǎn)時(shí)，|而|取得最小值1,

|而|的取值范圍為[1,6],

—?—?1—?

又因?yàn)槎?麗=（而+反而+而）,EC=-ED=-DC,=2,

2

所以定?麗=而2一而?反+反?而一反2

|2

=|兩I,

因?yàn)閳D的取值范圍為[1,⑸,

所以附2的取值范圍為[1,5],定.而的取值范圍為[0,4],

故選：B

12.（23-24高一下?上海閔行?期末）中國(guó)文化中的太極八卦圖蘊(yùn)含了現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，如圖1是八

卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形斯GH,其中。2=1,若點(diǎn)P是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則

方?萬+萬?力的取值范圍是（

A.卜\2^^+1)B.卜枝,2)

【答案】C

,。到N2的距離4=也±2但，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合

【分析】先根據(jù)向量模長(zhǎng)可得恒同=亞二71

2

平面向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.

9jrjr

【詳解】由八卦圖的對(duì)稱性可得"

------?2------?------?

OB-2.OA-OB

\AB\=

]jr1

設(shè)。到43的距離為d,則%B=50司°即叫=#郎，

6

解得d=

y,OA-AP+OFAP^OA-AP+BO-AP=(OA+BO\-AP^BA-AP

=網(wǎng)網(wǎng)、（一cosNP/3）.

又網(wǎng)x（-cosNP/B）即萬在面上的投影,

其最大值為乙網(wǎng)=&+后_也一0,

222

最小值為d哈一事一厘.

也_￡

~2-

即-14麗方4血-1.

故選：C

題型五：用向量證明線段垂直問題

13.（22-23高一下?湖南常德?階段練習(xí)）如圖，正方形ASCZ）的邊長(zhǎng)為6,E是的中點(diǎn)，尸是5c邊上靠近點(diǎn)8的

三等分點(diǎn)，4F與DE交于點(diǎn)、M.

⑴求/EMF的余弦值.

（2）若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在這個(gè)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得跖，"P?若存在,

求出龍。的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴"

10

（2）存在|MP|=￥M

【分析】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于NEMF就是萬及萬^勺夾角，從而利用向量夾

角的坐標(biāo)表示即可求解;

（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解分點(diǎn)尸在上、點(diǎn)尸在8C上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示

即可求解.

【詳解】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.

則0（0,6）,E（3,0）,4（0,0）,尸（6,2）,.?.詼=（3,-6）,萬=（6,2）.

由于NEMF就是9,N的夾角.

DF18-12的余弦值為東

cosZEMF=,__.1NEMF

\DE\\AF\V9+36-V36+410

(2)設(shè)M(x,>),DM=(x,y-6),;DM//DE,3(y-6)+6尤=0,r.2x+y-6=0

,/AM=(^x,y^,AF=(6,2),AF2x-6y=0,.,.x=3y9:.7y=6,:.y=三

775-

由題得麗=（3,2）.

①當(dāng)點(diǎn)尸在42上時(shí)，設(shè)P（x,0）,（0W

22

馬上上0,.'.x=

77自小7。

②當(dāng)點(diǎn)尸在2C上時(shí),

72c12八30..

:.—+2y--=y,舍去.

22

綜上，存在P|,oj,|w|=|7i3.

7

14.（22-23高一下?山東?期中）如圖，48為半圓。的直徑，|/陰=2,C為就上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

⑵若。是標(biāo)上更靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，。為北上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求諼?麗的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵！

【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可證;

（2）利用坐標(biāo)表示出訪?瓦，然后由三角函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.

(方法一)由題意可知?jiǎng)?chuàng)=1,設(shè)NCOB』a,則ae(O,兀),

^(-1,0),8(1,0),C(cosa,sina),得ZC=(cosa+l,sina),BC二(cosa-l,sina),

所以就?前^cos%-l+sin2a=1-1=0,故就_L庇，即NC_L8C.

(方法二)由題意可知|。4=1,4(-1,0),5(1,0),設(shè)C(a,6),

則|。創(chuàng)=[0C|=Ja？+62=1,^a2+b2=1,得NC=(a+l,6),8c=(a—1,6),

所以就?瑟=/-1+62=1-1=0，故就_L前，即/C_L2C.

(2)由題意得NCOB=g,則c1,g)，設(shè)4QOB=/3,則尸0(cos?,sin0,

—?―?—>(1百、-.

由(1)得C8=O8-OC=|5，-^-,%=(-l-cos四-sin〃)，

所以Q/.C5=一，一工cos/d——-sin/?=sinf>0--^-—,

一222I6J2

當(dāng)即力=尋時(shí)，@.西2

由4兀得一個(gè)

0623'，max2

故7的最大值為

15.（22-23高一下?陜西西安?期末）已知在△/BC中，點(diǎn)/是2C邊上靠近點(diǎn)3的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N為N8中點(diǎn)，設(shè)

與CN相交于點(diǎn)尸.

⑴請(qǐng)用就表示向量而；

⑵設(shè)冠和就的夾角為6，若cosO=；,且因=2囤，求證：ov±2g.

【答案】⑴而

44

(2)證明見解析.

【分析】(1)結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得.

(2)以方、就為基底表示出向量函，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可證得函1.荏.

____?1,131

【詳解】(I)AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

4444

(2)CN=AN-AC=-AB-AC,

2

K.次='而一就］.劉=；宿一赤.％|同2一阿,同cos。；畫2-畫.2畫.：

珂-畫.2網(wǎng)；=0,.-.CN1AB.

題型六：向量與幾何的綜合問題

16.(23-24高一下?四川瀘州?期中)如圖所示，A/BC的頂點(diǎn)是我國(guó)在南海的三個(gè)戰(zhàn)略島嶼，各島嶼之間建有資源

2

補(bǔ)給站在圖中的。，E,尸上，島嶼A到補(bǔ)給站。的距離為島嶼A到B的島嶼A和島嶼C到補(bǔ)給站E的距離相

等，補(bǔ)給站尸在靠近島嶼。的BC的三等分點(diǎn)上，設(shè)=而=3.

⑴用用B表示彷，函;

⑵從島嶼C望島嶼A和島嶼B成60。的視角，4C=20海里，且求島嶼A到島嶼8的距離|萬|.

—?1一1一一?2—3一

【答案】⑴￡/二不-CD=-b+-a

⑵|布卜104

【分析】(1)利用向量的加減法法則，結(jié)合圖形即可得解；

(2)利用向量垂直的向量表示與數(shù)量積運(yùn)算法則求得忖，從而再次利用數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.

【詳解】(1)依題意，得益=:萬，點(diǎn)E為ZC中點(diǎn)，CF=^CB,

又赤=g，CA=a>

所以麗=反+方=」而+1醞=匕-L￡,

2332

0___O____°__o__0&

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CB+-CA=-b+-a.

55、75555

(2)依題意，得忖=|才|=4C=20,

-"-?(2-3-2—23—2

所以CQ.環(huán)+、門一］一'=即-^a=0,

所以||彳一■*202=0,則W=30,

…一f1

又Z.ACB=60°,所以。包=20x30x—=300,

2

所以罰=屈一而=加一￡,

所以|次卜.一4=Jb2+a2-2a-b=V302+202-2x300=1077.

17.(23-24高一下?四川德陽?期末)如圖，四邊形48co的三邊/8=4￡)=C￡>=2,48，/。,//DC=120°,對(duì)角線

AC交BD于O.

C

⑴若就=九1§+〃通，求九+〃的值；

（2）求NC8的余弦值.

【答案】（1）2±如

2

0、y[6—y/2

-4-

【分析】（1）通過建系，求出就，血,1萬的坐標(biāo)，代入等式列出方程組求解即得;

（2）將NC8理解為K,而，利用兩向量夾角的坐標(biāo)公式即可求得cos就，麗.

【詳解】（1）

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48為x軸，為了軸建立直角坐標(biāo)系,

由題意，易得8(2,0),。(0,2),過點(diǎn)。作?！?，天軸于點(diǎn)”,

則/。。8=60。,故?！?；。。=1,。"二6,

故得，2X=g\2//=3,解得，A=^-ju=—

22

故之+〃=2±烏

(2)由圖知，ZCOD=AC,BD

?.?麗=(-2,2),衣=(點(diǎn)3),

的=2百，阿卜20

__.__.~AC>^r)

cosZCOD=cosAC,BD=1k___ll^l

=6匹=與=正也.即NCOD的余弦值為在二立.

2V3X2V22V244

18.(23-24高一下?山東德州?階段練習(xí))如圖，在△NBC中，已知=2,/C=4,/A4c=60。,其尸分別為4C,5c

—?1—?—■1—.

上的點(diǎn)，且，￡=]",防=§8C.

(2)求證：AFLBE；

(3)若線段BE上一動(dòng)點(diǎn)尸滿足2方+2+定=0,試確定點(diǎn)P的位置.

【答案】⑴手

(2)證明見解析

(3)尸是線段BE的中點(diǎn)

【分析】(1)記石=￡,就=幾利用向量的線性運(yùn)算將刀表示為Z］的關(guān)系式，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得

解；

(2)將礪表示為21的關(guān)系式，從而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算方.而即可得證;

(3)利用向量的中點(diǎn)性質(zhì)與共線定理即可得解.

【詳解】(1)依題意，記方=￡,就=幾

因?yàn)?8=2,/C=4,4/C=60。，所以忖=咽=4,￡%=2x4cos60。=4，

—?1—?

因?yàn)?/=§3C,

_1____1____)__1__01

所以萬=方+而=方+］就衣一珂=§刀+§就=/+/,

mil|-7^12(2f1工)4-24^717244116

貝!J4川=—a+—b=—a+—a?b+—b=—x4+—x4+—xl6=——，

II1^33J9999993

故網(wǎng)乎

(2)因?yàn)檐蟆龅?，所以礪=方+,％=_方+■/=_)+工2,

2222

—?—?(2-1，f1一'2-21-221

所以//?§￡=_Q+—6?—Q+_6=——a+-b=x4+-xl6=0,

(33JI2)3636

則/，屁，即AFLBE.

(3)因?yàn)檐?；就，所以￡是NC的中點(diǎn)，故方+無=2而，

因?yàn)?方+方+定=6，所以2而+2方=6，即麗=一而，

所以尸是線段BE的中點(diǎn).

【高分演練】

一、單選題

19.(23-24高一下?陜西渭南?期中)己知一個(gè)物體在三個(gè)力耳=(O,l),K=(-l,-3),用的作用下，處于靜止?fàn)顟B(tài),

則冗=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

【答案】B

【分析】由靜止得到居=-(耳+及)，由向量的加法得到耳+耳，進(jìn)而得到月.

【詳解】因?yàn)樵撐矬w靜止，所以耳+及+兄=6,所以耳=-(耳+可)，

又因?yàn)?+E=(0,l)+(T,-3)=(T-2),所以瓦=一(1+月)=(1,2),

故選：B.

20.(23-24高一下?河南南陽?期中)小娟，小明兩個(gè)人共提一桶水勻速前進(jìn)，已知水和水桶總重力為不，兩人手臂

上的拉力分別為耳，耳，且同=|司，耳與耳的夾角為。，下列結(jié)論中正確的是()

A.e越小越費(fèi)力，e越大越省力B.始終有同

C.當(dāng)"暫時(shí)，同=同D.當(dāng)6=]時(shí)，同=同

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由向量的平行四邊形法則可得kHg卜’9，由此分析選項(xiàng)，即可得答案.

2cos—

2

【詳解】根據(jù)題意，由于耳+月=日,又由園=1同，

則有向量耳，及為鄰邊的四邊形為菱形，

則有同=園=為瓦0e[O,7i],

2cos—

2

對(duì)于A,由于同不變，則e越小越省力，e越大越費(fèi)力，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由的H斗鳥,B錯(cuò)誤；

2cos—

2

對(duì)于C,當(dāng)。=斗時(shí)，同=1瓦卜一水=同，C正確；

32cos—

3

對(duì)于D,當(dāng)。=3時(shí)，同骨瓦卜以丁?同，D錯(cuò)誤.

22cos—

4

故選：C.

21.（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知在四邊形4BCD中，AB=a+2b，BC^-4a-b，CD-5a-3b，則四邊

形/BCD為（）

A.梯形B.正方形C.平行四邊形D.矩形

【答案】A

【分析】利用向量的運(yùn)算得到詬=2而，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榉?@+23，BC=-4a-b，CD^-5a-3b，

所以通=在+元+麗=,+23）+（—4@-3）+卜5方一33）=一8m—23.

所以疝5=2反二

所以NO//8C且5萬卜|就

所以四邊形N2C。為梯形..

故選：A.

22.（23-24高一下?黑龍江大慶?期中）已知平面上A,B,C三點(diǎn)不共線，。是不同于A,B,。的任意一點(diǎn)，且

（存-就）?（而+X）=0,貝必NBC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】由（布-X）?（萬+元）=0,可得|同=|就即可判斷ZUBC的形狀.

【詳解】因?yàn)椋ǔ?就）?（布+就）=0,即而一%2=0,即時(shí)=就二

所以畫=|阿，所以△48C是等腰三角形.

故選：A.

、，、__.BAJC0而

23.（23-24高一下?甘肅臨夏?期末）在四邊形/BCD中，^（0,0）,8（1,2）,AB=DC，i=|+I=|=|—|,則四

\DA\LDCniJ

邊形/BCD的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)荔=皮=（1,2）,得到四邊形/BCD是平行四邊形，再由魯+需=黑可得四邊形N3CD是矩

形也為菱形即為正方形即可求解.

【詳解】如圖所示，

?.?存=皮=（1,2）,.,.四邊形A8CO是平行四邊形，

昔蒜，濡1分別表示阪數(shù)項(xiàng)的單位向量，

...與+至=坦絲平方可得1+1+2函.前=2,

\BA\\BC\\BD\

BA-BC=0,.'.ABIBC,，四邊形48。是矩形，

又8。平分/4BC,??.四邊形4BCD是菱形，

，四邊形/BCD是正方形，且43=追，，此四邊形的面積等于5,

故選：D.

24—湖南常德.期中）在口中已知需+鬲"°,且磊磊三則△為（）

A.等腰AB.直角AC.等邊AD.三邊均不相等的A

【答案】c

7T

【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運(yùn)算律得8=C,再根據(jù)數(shù)量積的定義求得/=三，即可判斷三角形的形狀.

【詳解】因?yàn)镮+卜8。=0,變形-■+■=0,

\AC\]又\AB\\AC\

當(dāng)H^Ss明西H時(shí)<°sc=o=c°sC,則….

\AB\\AC\

~ABIAC1—?—?1—?—?

因?yàn)镕K=7，即/瓦/。=卓/8卜4口，

|AB7|\AC\22

.”》1.-----?1TT

即|4BH4C|COS/=/MBH4C|，化簡(jiǎn)得到COS/=],則/=§.

則三角形為等邊三角形.

故選：C.

25.（2024?四川成都?三模）在矩形中，AB=5,AD=4,點(diǎn)E滿足2存=3而，在平面/BCD中，動(dòng)點(diǎn)尸滿

足而.麗=0，則麗.衣的最大值為（）

A.V41+4B.741-6C.2713+4D.2后-6

【答案】A

【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)（。是8E中點(diǎn)），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵诰匦蜛BC。中，AB=5,AD=4,2衣=3麗，PE-PB=0,

所以動(dòng)點(diǎn)尸在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)P（cos6,sine）,

則/（0,4）,Z＞（4,4）,C（4,-l）,

DP-AC=（cos6-4,sin6-4）?（4,-5）=4（cos^-4）-5（sin6l-4）=V41008（61+^＞）+4,

其中銳角。滿足tane=j,故麗.就的最大值為兩+4,

26.（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）在直角梯形/BCD中，AD//BC,ZASC=90°,AD=2AB=2BC=2,點(diǎn)尸

為梯形/BCD四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則刀.麗的取值范圍是（）

A.——,4B.C.11，4]D.

【答案】D

【分析】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.

【詳解】如圖中，。為中點(diǎn)，

PA＞PB=（PO+OA）＞（PO+OB）=（PO+OA）＞（PO-OA）=PO2-OA2（極化恒等式）

共起點(diǎn)的數(shù)量積問題可以使用.

PAPB=PO2-OA2=PO2-^-,要求方.而取值范圍，只需要求尸最大，最小即可.

4

17_?_?1

由圖，可知PO?最大時(shí)，夕在。點(diǎn)，即尸。2=。。2=/。2+/。2=_,止匕時(shí)莎.麗=尸。2――=4,

44

--------,11

尸最小時(shí)，P在。點(diǎn)，即尸。2=0,止匕時(shí)p4PB=尸。2一=一

44

綜上所得，莎.麗取值范圍為：-;,4.

故選：D.

二、多選題

27.（22-23高一下?河南?期中）三名學(xué)生拉同一個(gè)可移動(dòng)物體，當(dāng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，所用的力分別用瓦瓦，耳表示.

若園=30N,園=10西N,瓦E的夾角是弓，則下列說法正確的是（）

A.同=5行TN

B.同=10萬N

C.瓦員夾角的余弦值為一筆I

D.瓦丹夾角的余弦值為得一乎

【答案】BC

【分析】根據(jù)-月=6+月，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律及模的運(yùn)算公式求解歸1=10扃N,再由-居=片+月及數(shù)量

積的運(yùn)算公式求解即可.

【詳解】由已知可知：一耳=耳+瓦,

所以弗M+2園園。吟園2=900+2x30x1073x^+300=10V21N

設(shè)片，片的夾角為，，由-g=與+8，得闖=’閭+2閭閭cos6+閭，

所以300=900+2x30xl0VHxcose+2100，得解cos”-卑.

故選：BC

28.（23-24高一下?江蘇泰州?期中）長(zhǎng)江某處的南北兩岸平行，江面寬度為2km,一艘船從江南岸邊的A處出發(fā)到

江北岸.已知如圖，船在靜水中的速度,的大小為同=10km/h,水流方向自西向東，且速度E的大小為

E|=6km/h.設(shè)元和E的夾角為。（0<6<兀），北岸的點(diǎn)H在A的正北方向，貝|（）

2

A.當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，cos^=--

B.當(dāng)船的航行時(shí)間最短時(shí)，0=^7T

2兀

C.當(dāng)。=胃時(shí)，船航行到達(dá)北岸的位置在H的左側(cè)

D.當(dāng)時(shí)，船的航行距離為生巨km.

315

【答案】BD

一一d1

【分析】對(duì)A,當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，*+元的方向與河岸垂直，由此即可驗(yàn)算；對(duì)B,‘=印"==方，只

要si"最大即可判斷；對(duì)C,當(dāng)*等時(shí)，游船水平方向的速度大小為同cos（兀-，，同=7（km/h）然后確定方

向即可；對(duì)D,由題意］=I+W=（F+E）f，根據(jù)向量模的運(yùn)算公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可驗(yàn)算.

,__,.v263

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，％+v2的方向與河岸垂直，從而cos，=-cos（兀-0）=-==-壽=二，

故A錯(cuò)誤;

d1

對(duì)于B,船的航行時(shí)間為'=陳荷=高而（h）,若要船的航行時(shí)間最短時(shí)，貝Usin。最大，

7T

也就是說當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)，船的航行時(shí)間最短時(shí)，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)e=g時(shí)，游船水平方向的速度大小為同cos卜-If-問=T（km/h）,方向水平向右,

故最終到達(dá)北岸時(shí)游船在點(diǎn)H的右側(cè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由題意設(shè)位移分量為1=正后=口，位移為上

4757

(km/h),故D正確.

15

故選：BD.

29.（23-24高一下?福建廈門?期中）在正方形/BCD中，BC=1,點(diǎn)￡滿足詼=/次（0</<1）,則下列說法不正確

的是（）

A.當(dāng)'=§時(shí)，4E=34B+4DB.當(dāng)/=§時(shí)，cos〈AE,BE）=

C.存在f,使得荏J.麗D.|/+礪|的最小值為2

【答案】BC

【分析】根據(jù)給定的正方形及其邊長(zhǎng)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷即可.

【詳解】由題可以N為原點(diǎn)，AB、分別為x和了軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則由題意幺（0,0）,3（1,0）,C”）,0（0,1）,故在=（1,0）,力=（0,1）,

對(duì)于A,當(dāng)f=g時(shí)，則由方=/配可知￡心』

所以荏=&1］,又而+g岳(O,l)+*O)D

7V130

130

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由詼=/比(0<"1)可得￡?,1),故荏^=(f-l,l-0)=(Z-l,l),

貝U而麗=(⑴”1,1)=(_1)+以1=/7+1=,_；］+|>o,

故不存在;，使得彘工品,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由C得荏+而=?,1)+("1,1)=⑵T2),

故何+闞=|(2/-1,2)|=^(2?-1)2+22=

又故當(dāng)f=1?時(shí)，］荏+礪|取得最小值為4=2，故D正確.

故選：BC.

30.(23-24高一下?湖南永州?期末)已知點(diǎn)尸在△4BC所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是()

A.若P為ZUBC的垂心，且萬.就=3，則N-就=3

B.若9+2方+3斤=0，則△NBC的面積與“AP的面積之比為3:1

(、(\

—11—11—

C.若力尸=言j——+-AB+=——+-AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過A/BC的外心

UBcos52UCcosC2

D.若E,F,G分別為42,BC,NC的中點(diǎn)，且/C=3G=2,PA.PC=Q,則而.而的最大值為二

4

【答案】ACD

【分析】A將后轉(zhuǎn)化為方+而