2023-2024學(xué)年上海市閔行區(qū)六校聯(lián)考高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.是第_____________象限角.【答案】三【解析】易知，因此與的終邊相同，因為在第三象限，所以是第三象限角.故答案為：三.2.函數(shù)的最小正周期是_____________.【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期.故答案為：.3.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad，則扇形的弧長是______cm．【答案】10【解析】由題意，弧長是cm.故答案為：10.4.已知點，，若，則點的坐標是______．【答案】【解析】設(shè)，則，，因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.5.已知無窮數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因為，，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)的前項和為，則，所以.故答案為：.6.若，則__________.【答案】【解析】，，，，，，.故答案為：.7.己知等差數(shù)列，若，則______．【答案】【解析】因為等差數(shù)列，，，則.故答案為：.8.已知，，在上的投影向量的坐標為________．【答案】【解析】由，得，所以在上的投影向量.故答案為：.9.已知，且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.【答案】【解析】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是.故答案為：.10.若復(fù)數(shù)，滿足．且（i為虛數(shù)單位），則______．【答案】【解析】設(shè)，，，，又，所以，，，，.故答案為：.11.已知函數(shù)，將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則______．【答案】【解析】設(shè)，其中為的最小正周期，根據(jù)得：，解得，因為是由圖像上的點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，所以的解析式為，故，即.故答案：.12.已知關(guān)于的方程有四個互不相等的根，若這四個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，即，解得，設(shè)所對應(yīng)的兩點分別為、，則、，設(shè)的解所對應(yīng)的兩點分別為、，記為，，當(dāng)，即，解得，即時，因為、關(guān)于軸對稱，且，關(guān)于軸對稱，則以、、、為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以、、、四點共圓；當(dāng)，即或時，此時，，且，，故此圓的圓心為，半徑，又圓心到的距離，解得，綜上可得.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知等差數(shù)列，，……，則該數(shù)列的前n項和（）A.無最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.有最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值【答案】A【解析】易得該等差數(shù)列首項為負，公差為正，故該數(shù)列的前n項和，故當(dāng)或時取得最小值，無最大值.故選：A.14.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)n＝k時，有不等式，當(dāng)n＝k+1時，不等式為，將上面兩式左邊相減可得，由n＝k到n＝k+1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是.故選：D.15.對于函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的對稱軸是，；③若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為；④函數(shù)在的值域為.其中正確的命題個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因為，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故①正確；令，解得，所以函數(shù)的對稱軸是，，故②正確；因為為偶函數(shù)，所以，解得，所以的最小值為，故③正確；當(dāng)，則，當(dāng)，即時，故④錯誤.故選：D.16.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，若點P是其內(nèi)部任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由八卦圖的對稱性可得，故，，設(shè)到的距離為，則，解得，又，又即在上的投影，其最大值為，最小值為，故，即.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)k的值．解：（1）因為，，，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，解得.18.設(shè)復(fù)數(shù)，．（1）若在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第一象限，求a的取值范圍；（2）若為純虛數(shù)，求．解：（1）由題意可知，因為，所以，所以，又因為在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）因為為純虛數(shù)，所以，即，所以，故.19.如圖，某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路以平均時速20km/h，送快件到C處，已知，，，，．（1）求的面積．（2）快遞小哥出發(fā)25分鐘后，公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時速50km/h，問汽車能否先到達C處？解：（1）因為，，，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因為，所以，，故汽車所需時間為h，因為，由余弦定理得，故，故，快遞小哥出發(fā)25分鐘，騎行路程為，剩余路程為，到達C處所需時間為，其中，故，所以汽車先到達C處.20.已知，，記.（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間；（3）若，恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍和的值．解：（1）由題意可知，，則函數(shù)函數(shù)的值域為.（2）由，因為，所以，令，解得，函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間.（3），因為，所以，根據(jù)條件在恰有2個零點，則有兩個根，即有兩個根，則，解得，實數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)在恰有2個零點，即有兩個根，因為，令，解得，所以關(guān)于對稱，則．21.已知數(shù)列，若為等比數(shù)列，則稱具有性質(zhì)P.（1）若數(shù)列具有性質(zhì)P，且，，求的值；（2）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)P；（3）設(shè)，數(shù)列具有性質(zhì)P，其中，，，若，求正整數(shù)m的取值范圍.解：（1）由題意可知成等比數(shù)列，則，即，，解得.（2）證明：；，，，數(shù)列是以6為首項，以2為公比的等比數(shù)列故數(shù)列具有性質(zhì).（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗，，由，解得，則，由數(shù)列具有性質(zhì)，則為等比數(shù)列，，故數(shù)列為以2為首項以2為公比的等比數(shù)列，則，于是，即，由，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則，，化簡可得，①若為偶數(shù)，則，即；②若為奇數(shù)，則，即；綜上可得，的取值范圍是且.上海市閔行區(qū)六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.是第_____________象限角.【答案】三【解析】易知，因此與的終邊相同，因為在第三象限，所以是第三象限角.故答案為：三.2.函數(shù)的最小正周期是_____________.【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期.故答案為：.3.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad，則扇形的弧長是______cm．【答案】10【解析】由題意，弧長是cm.故答案為：10.4.已知點，，若，則點的坐標是______．【答案】【解析】設(shè)，則，，因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.5.已知無窮數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因為，，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)的前項和為，則，所以.故答案為：.6.若，則__________.【答案】【解析】，，，，，，.故答案為：.7.己知等差數(shù)列，若，則______．【答案】【解析】因為等差數(shù)列，，，則.故答案為：.8.已知，，在上的投影向量的坐標為________．【答案】【解析】由，得，所以在上的投影向量.故答案為：.9.已知，且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.【答案】【解析】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是.故答案為：.10.若復(fù)數(shù)，滿足．且（i為虛數(shù)單位），則______．【答案】【解析】設(shè)，，，，又，所以，，，，.故答案為：.11.已知函數(shù)，將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則______．【答案】【解析】設(shè)，其中為的最小正周期，根據(jù)得：，解得，因為是由圖像上的點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，所以的解析式為，故，即.故答案：.12.已知關(guān)于的方程有四個互不相等的根，若這四個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，即，解得，設(shè)所對應(yīng)的兩點分別為、，則、，設(shè)的解所對應(yīng)的兩點分別為、，記為，，當(dāng)，即，解得，即時，因為、關(guān)于軸對稱，且，關(guān)于軸對稱，則以、、、為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以、、、四點共圓；當(dāng)，即或時，此時，，且，，故此圓的圓心為，半徑，又圓心到的距離，解得，綜上可得.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知等差數(shù)列，，……，則該數(shù)列的前n項和（）A.無最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.有最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值【答案】A【解析】易得該等差數(shù)列首項為負，公差為正，故該數(shù)列的前n項和，故當(dāng)或時取得最小值，無最大值.故選：A.14.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)n＝k時，有不等式，當(dāng)n＝k+1時，不等式為，將上面兩式左邊相減可得，由n＝k到n＝k+1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是.故選：D.15.對于函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的對稱軸是，；③若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為；④函數(shù)在的值域為.其中正確的命題個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因為，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故①正確；令，解得，所以函數(shù)的對稱軸是，，故②正確；因為為偶函數(shù)，所以，解得，所以的最小值為，故③正確；當(dāng)，則，當(dāng)，即時，故④錯誤.故選：D.16.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，若點P是其內(nèi)部任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由八卦圖的對稱性可得，故，，設(shè)到的距離為，則，解得，又，又即在上的投影，其最大值為，最小值為，故，即.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)k的值．解：（1）因為，，，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，解得.18.設(shè)復(fù)數(shù)，．（1）若在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第一象限，求a的取值范圍；（2）若為純虛數(shù)，求．解：（1）由題意可知，因為，所以，所以，又因為在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）因為為純虛數(shù)，所以，即，所以，故.19.如圖，某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路以平均時速20km/h，送快件到C處，已知，，，，．（1）求的面積．（2）快遞小哥出發(fā)25分鐘后，公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時速50km/h，問汽車能否先到達C處？解：（1）因為，，，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因為，所以，，故汽車所需時間為h，因為，由余弦定理得，故，故，快遞小哥出發(fā)25分鐘，騎行路程為，剩余路程為，到達C處所需時間為，其中，故，所以汽車先到達C處.20.已知，，記.（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間；（3）若，恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍和的值．解：（1）由題意可知，，則函數(shù)函數(shù)的值域為.（2）由，因為，所以，令，解得，函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間.（3），因為，所以，根據(jù)條件在恰有2個零點，則有兩個根，即有兩個根，則，解得，實數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)在恰有2個零點，即有兩個根，因為，令，解得，所以關(guān)于對稱，則．21.已知數(shù)列，若為等比數(shù)列，則稱具有