2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的角度問(wèn)題（含答案）

2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)中的角度問(wèn)題

919

1.如圖，拋物線y=一苦生+2與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C.

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)M為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為小過(guò)點(diǎn)M作MDLBC于點(diǎn)。，當(dāng)

線段最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，連接在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使NPBA=2NMBA?若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.已知點(diǎn)B(5,0),點(diǎn)C(4,3)都在拋物線y=-j^+bx+c上，其中點(diǎn)A是拋物線與x

軸的交點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，連接A。，CD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求NACD的度數(shù)；

(3)點(diǎn)尸是拋物線在無(wú)軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、二一？/"1——廠，+z(m>0)與尤軸交于A(-

1,0),BGn,0)兩點(diǎn)，與y軸父于點(diǎn)C,并且。。=2。4,連接BC.

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得△POC的面積等于△

面積的二？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)過(guò)點(diǎn)C作〃尤軸交拋物線于點(diǎn)。，在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得/必B=2/DAB?

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x2+bx+c與無(wú)軸交于A,B(4,0)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。(3,4)在拋物線上，點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)連接BC,若BC上方拋物線上有一點(diǎn)P,且P到直線BC的距離為2&,求點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；

(3)如圖，連接AC,BC,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NCBP+NACO=45°?若存在,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

-

5.如圖1,直線y=3+4分別與y軸，x軸交于A,B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)y=o?+6x+18

在第二象限交于點(diǎn)C.已知A為BC中點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸為直線尤=1,點(diǎn)。為點(diǎn)A關(guān)于

x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BD

(1)求拋物線的解析式：

(2)如圖2,點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)且位于第一象限，連接AP和BP,E為y軸上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE和PE,當(dāng)SMBP=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及IPE-CE|的最大值;

(3)如圖3,點(diǎn)N直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接。N,若2/4\。+乙42。=90°,請(qǐng)直接寫

出所有符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo).

~o~O

DD

6.如圖，拋物線y=-/+6x+4交無(wú)軸于A(-1,0),8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,P為拋物

線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為爪-￡

(1)直接寫出拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若相＞3,當(dāng)拋物線在點(diǎn)尸和點(diǎn)A之間的部分(包括尸、A兩點(diǎn))的最高點(diǎn)與最低

點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為7"+1時(shí)，求相的值；

(3)在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NPBC+NACO=45°,若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

7.如圖，已知二次函數(shù)y=ad+2x+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在直線BC上方的拋物線上存在點(diǎn)。使得NQCB=2NABC,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

8.如圖1,拋物線y=/+6x-3經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,P

為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作9，彳軸于點(diǎn)連接AC,AP,AP與y軸交于

點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)△CPB的面積為S,求S的最大值；

(3)當(dāng)NME4=2NB4c時(shí)，求直線A尸的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

圖1圖2

9.如圖1,拋物線ynaf+fec+dQW0)與x軸，y軸分別交于A(-1,0),B(4,0),C

三點(diǎn).

(1)試求拋物線的解析式；

(2)若P點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接PC、PB,當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的

坐標(biāo).

(3)點(diǎn)、D(3,m)在第一象限的拋物線上，連接BC,BD試問(wèn)，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物

線上是否存在一點(diǎn)P,滿足/PBC=NDBC?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1備用圖

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+fcc+3與x軸交于A(-1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是直線3c上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線PE交直

線8C于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的平行線尸尸交直線BC于點(diǎn)R求△2所面積的最大值及

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接AC,BC,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使NCBQ+NACO=45°?若存在，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，已知拋物線y=-/+如+m-2的頂點(diǎn)為A,且通過(guò)點(diǎn)8(3,-3).

(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)C為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△ABC面積的最大值；

(3)在拋物線上存在一點(diǎn)P,使得/B4B=45°,求點(diǎn)尸坐標(biāo).

12.如圖，拋物線y=a/+6x-3經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,P為

第四象限內(nèi)拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸于點(diǎn)連接AC,AP,AP與y軸交

于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求四邊形。M2尸面積的最大值；

(3)當(dāng)4c時(shí)，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)尸的坐標(biāo).

13.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/-2x+c與x軸交于A(-3,0)和

B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連接BC,。為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，點(diǎn)3為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)H的兩條直線Z1與/2分別與

拋物線y=-*/均有唯一的公共點(diǎn)石和尸(點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè))，直線所與y軸交于

點(diǎn)G,M為線段EF的中點(diǎn)，連接HG、HM,當(dāng)/MHG=30°時(shí)，求〃的值.

14.如圖，已知拋物線y卷x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-6,0),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PE〃尤軸，交直線AC于點(diǎn)E,作P尸〃y軸.交

直線AC于點(diǎn)E求跖的最大值；

②若/PCB=3/OCB,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

15.如圖，已知拋物線＞=0?+如-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為近

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE〃尤軸，交直線AC于點(diǎn)E,作PP〃y軸.交

直線AC于點(diǎn)R求PE+PF的最大值；

②若NPCB=3NOCB,求相的值.

參考答案

212

1.【解答】解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，-%2x+2=0,

解得Xl=l,X2=5.

???點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)，

???A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0),B(5,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2).

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為

y

c

oA、

M

把8(5,0),C(0,2)代入y=fcc+6,得｛￡匕1匕=°，

解得k=一|,

5=2

，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=—+2.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作軸交8C于點(diǎn)E,

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),

，OB=5,0c=2.

在RtZ\OBC中，根據(jù)勾股定理可得BC=回.

為直線8C下方拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為mMELx軸交BC于點(diǎn)E,

91?9

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(ZH,耳血2一_g_7n+2),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(771,一百根+2),

22122y4

/.ME=—+2—(^m2——g-m+2)=-^m2+2m.0、

〈ME〃》軸，\\、/

：.ZDEM=ZBCO,N'、、/

??BO_5/^\a/、/

??sinZ_5CO一sinNDEM=石BC方=_o2n9.°\KNVf^-J____?"

在Rt△。匹M中，/MDE=90°,sin乙DEM=瑞色,M\

?A4rl.5129/22?n\2/29,5、2.25^^29

..DM=ME,sin乙DEM=(~Em2+2m)=^Q—(m—^)2HFQ—，

L9tQJ。乙7乙DO

?,?當(dāng)?n=?時(shí)，線段M￡)最長(zhǎng)，

qQ

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為G,-2)

(3)存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,令或(0,-令.

如圖，作M2的垂直平分線交無(wú)軸于點(diǎn)R連接則加尸=2/，過(guò)點(diǎn)M作尤軸

于點(diǎn)N,

?：MF=BF,

：.ZBMF=ZMBF,

'：/MFA=NBMF+NMBF,

：.ZMFA=2ZMBA,

設(shè)3尸=〃，

??,點(diǎn)加的坐標(biāo)為G，-｝，A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(5,0),

：.0N=BN=W，MN=

:.NF=冗一n,MF=BF=n,

'：NF1+MN1=MF1,

即—n)2+(|)2=n2,

解得n=前,

17_4

NF=7T—n=To=5?

15

..tan/-NFM8

,PO15

?,?當(dāng)一=一時(shí)t，ZPBA=ZMFA=2ZMBA.

OB8

.15x575

..P°=p=京,

；?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,言)或(0，—笄J

—25+5b+c=0

2.【解答】解：(1)依題意得:

—16+4b+c=3

=6

=一5'

拋物線的解析式為y=-/+6x-5；

(2)延長(zhǎng)。C交x軸于點(diǎn)E,過(guò)C作CP,無(wú)軸于尸

則。b=3,XF=XC=4,

?.,y=-X2+6X-5=-(x-3)2+4,

：.D(3,4),

Vy=-X2+6X-5=-(x-5)(x-1),

.\A(1,0),B(5,0),

設(shè)直線DC為y=k(x-3)+4,

則上(4-3)+4=3,得％=-1,

???直線8為》=-x+7,

：.E(7,0),

：.AF=CF=EF=3,

：.ZCAE=ZAEC=45°,

AZACD=ZCAE+ZAEC=9Q°；

(3)設(shè)P(/,-P+6L5),貝(J1W5且樣4,連接PC,與AD交于點(diǎn)N,

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

有解得｛矍.

代入A(1,0),D(3,4)CUJZ

直線AD的解析式為y=2x-2；

設(shè)直線PC的解析式為>=皿+加，代入P。，-?+6/-5)(1<?<5),C(4,3),

+仇=-t2+61一5

+瓦=3

k]=2-t

解得

瓦=4"5'

直線PC的解析式為y=(27)x+4r-5；

,/點(diǎn)N是直線AD與直線PC的交點(diǎn)，

(y=2x—2

=(2-t)x+4t-5,

fx=4——3$

解得("即N(4—6—9，

又：NPCA=/CA。，

:.NA=NC,

-l)2+(6-f)2=J(4-1-4)2+(6-1-3)2,

解得t=I，

一產(chǎn)+6t—5=4，

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為pg,1).

3.【解答】解：⑴VA(-1,0),0c=2。4,點(diǎn)C位于y軸的正半軸，

：.C(0,2),

m

將點(diǎn)C(0,2)代入得：5=2,

解得“2=4,

則拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-1x2+|x+2.

(2)由(1)可知，B(4,0),

VA(-1,0),C(0,2),

：.AB=5,OC=2,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P(a,-^a2+^Gt+2)(0<a<4),

1135151

/\PAB的面積為一X5(——/+-a+2)=——a2+—a+5,△POC的面積為一X

2122442

2CL=CL,

2

???APOC的面積等于面積的；，

15

?_2z52」_15」_匚、

??a=(-彳a/+a+5),

解得〃=1或4=-4V0(不符合題意，舍去)，

??-2a2+—ci+2=-]X1+]X14~2=3,

2一

所以存在點(diǎn)尸，使得△尸。。的面積等于面積的不，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,3)；

15

(3)①如圖，在y軸上方作ZDAE=NDAB,交直線CD于點(diǎn)E,.

交y軸于點(diǎn)P,則NPA3=2NQA8,T

???CD〃x軸，ZT

CK七_(dá)_____XD

???ZADE=ZDAB,/IZ^

ZADE=NDAE,

：.AE=DE,

1Q

當(dāng)y=2時(shí)，一I%2+]%+2=2,

解得了=0或x=3,

：.D(3,2),

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(A2),

/.V(-l-&)2+(0-2)2=J(3-I'+(2-2)2,

解得b=I，

1

???%,2),

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+c,

11-k+c=0

將點(diǎn)A(-l,0),E?,2)代入得：1,

乙I7T/C~rC一乙

4

f-

c-3

得

解-4

c-

3

則直線AE的解析式為y=gX+

...點(diǎn)Pl的坐標(biāo)為(0,多；

②如圖，在y軸下方作交y軸于點(diǎn)P2,

：.ZP1AB=ZP2AB,

又：AB_LPIP2,

ZAPIP2=ZAP2PI,

...△AP1P2是等腰三角形，

?，.點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于X軸對(duì)稱，

...點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為(0,-勺，

綜上，存在點(diǎn)P,使得此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,勺或(0,-多.

4.【解答】解：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-/+6x+c與x軸交于8(4,

0)點(diǎn)，與y軸交于。(3,4),將點(diǎn)2,點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得：

C-16+4b+c=0

t-9+3b+c=4'

解得：［b=l,

???拋物線的解析式為y=-W+3x+4；

(2)已知拋物線y=-?+3x+4與y軸交于點(diǎn)C,

令x=0,得：y=4,

：.C(0,4),

???OC=4,

VOB=4,

：?OB=OC,

XVZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

設(shè)直線5C的解析式為y=fcv+如將點(diǎn)'點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得:

C4fc+m=0

Im=4

解得:k=-1

TH=4'

直線BC的解析式為y=-x+4；

作「HLBC交3c于點(diǎn)反，PM,無(wú)軸交無(wú)軸于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N,如圖1,

軸，

：.PM//y^,

：.ZPNH=ZOCB=45°,

'：PHLBC,

:.NPHN=90°,

:./HPN=90°-NPNH=45°,

:.NHPN=NPNH=A5°,

/XPHN是等腰直角三角形，

：.PN=?PH,

由題意得：PH=2V2,

：.PN=V2x2A/2=4,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(717,-m2+3%+4),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為Cm,-〃計(jì)4),

:.PN=-??+3,"+4-(-m+4)=-扇+4優(yōu)=4,

解得：m=2,

：.-島3m+4=-22+3X2+4=6,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,6)；

(3)拋物線上存在點(diǎn)P,使NCBP+/ACO=45°；理由如下：

令y=0,貝!I0=-/+3x+4,

解得：XI=-1,X2=4,

.,.A(-1,0),

如圖2,將△AOC繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△?!'OB,則A'O=AO=1,NA'BO

=ZACO,

：.A'(0,1),

由(2)中的結(jié)論得，ZOBC=45°,

VZCBP+ZACO=45°,

.?.ZCBP=45°-ZACO^ZOBC-ZA1BO=ZCBA',

直線BA'上存在符合題意的點(diǎn)P,

設(shè)直線BA'的解析式為>=比+小將點(diǎn)3,點(diǎn)A'的坐標(biāo)代入得:

C4t+n=0

1荏=1

解得：卜二一4，

VTl=1

?,?直線3A'的解析式為y=-"％+1,

圖2

y=—x2+3x+4

聯(lián)立1,，

僅=_/+1

解得:

V-16

擻

如圖，連接C。、BD,過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)E,

VC(0,4),D(3,4),

...CD〃x軸，

\'BE±CD,B(4,0),

，NE=90°,￡)E=4-3=LBE=4,

：.CE=CD+DE=3+1=4,

:.CE=BE=4,

...△C8E是等腰直角三角形，

AZCBE=45",

:AO=1,0c=4,

C.DE^AO,BE=OC,

又?.?/E=NAOC=90°,

姑△BOE■和△CAO中，

DE=AO

/.AOC=NE=90°,

BE=CO

；.ABDEmACAO(SAS),

；./DBE=/ACO,

VZCBP+ZACO=45°,

ZCBP=45°-/ACO=ZCBE-/DBE=ZCBD,

直線BD上也存在符合題意的點(diǎn)P,

又：點(diǎn)。(3,4)在拋物線上，

.,.點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，即P(3,4)；

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)尸，使NC8P+NACO=45°；點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(―稱，II)或

(3,4).

4

-

5?【解答】解：(1)直線y=3+4分別與y軸，尤軸父于A,B兩點(diǎn),

令尤=0,得：y—4；

4

-

令y=0,得:3

解得：尤=3,

.\A(0,4),B(3,0),

已知A為BC中點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)A關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)，

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,8),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-4),

?.?二次函數(shù)＞=蘇+6尤+18在第二象限交于點(diǎn)C,拋物線對(duì)稱軸為直線x=L代入得:

A

-=1

2ba+

a8

128

/-r31

1a--

1二3

解

得

、

24

2

-X+-X+18

???拋物線的解析式為y=33

(2)VA(0,4),B(3,0),D(0,-4),

：.AD=8,05=3,

:,S〉A(chǔ)BD=xOB='X8x3=12,

..3

***S/\ABP=4s△ABD,

3

S^ABP=彳X12=9,

過(guò)點(diǎn)尸作P。，無(wú)軸于點(diǎn)。，如圖2.1,

24

2

-X+-X+1

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（無(wú),338)

??S/xABP=S梯形PQQ4-S^AOB-SAPQB,

1241124

22

--X+---3X-X+-%+

2(-3322(-3318)=9,

整理得：廠-4x-12=0,

解得xi=-2（舍去），尤2=6,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,2）,

如圖2.2,作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)R連接ERPF,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,8）,且CE=EF,

,：\PE-CE\^\PE-EF]^PF,即當(dāng)尸、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),

最大值為J（6-3尸+（2-8下=3V5,

，|PE-CE|的最大值為3近；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖3,

,：ZOBA+ZOAB=90°,2NDNA+NOBA=90°,

：.ZOAB=2ZDNA,

：.NADN=/AND,圖2.2

：.AN^AD=S,

4

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ri,一gn+4）,

4

222y

n--8

3

解得：（不合題意，舍去）或-學(xué)

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（一曾，爵

當(dāng)N在A的右側(cè)時(shí)，如圖4,

作。M=A￡）=MN,DELBN于點(diǎn),E,

圖3

由題意得：ZOAB=ZDMA=2ZDNA,

：.ZMDN=/MND,

：.AD=DM=MN=S,

V0A=4,05=3,

：.AB=5,

???"AcOBDE3DE

-smZBAD=AB=AD'即nn1T

解得：DE=^,

：.AE=NAD?—DE2=手

64

：.AM^2AE=寺，

64104

???AN=.+8=詈，

:?AN=Jn2+（（九］=

解得：〃二嘗或一嘗（不合題意，舍去），

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為（V，一

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-當(dāng)，學(xué)）或

6.【解答】⑴y=-W+3x+4,頂點(diǎn)。坐標(biāo)為您茅；理由如下：

拋物線y=-~+灰+4交x軸于A(-1,0),8兩點(diǎn)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得:

0=-1-/?+4,

解得：6=3,

.?.拋物線解析式為產(chǎn)-X2+3X+4=-(%-1)2+竽,

；*頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(|,金；

(2);拋物線y=-/+fcv+4交x軸于A(-1,0),8兩點(diǎn),

令-W+3x+4=0,

解得％1=-Li2=4,

：.B(4,0),

VP的橫坐標(biāo)為租—,且m>3,

??Tfl—5〉5，

「?將％=m—垓代入得：y=-/+3%+4=—（m—|）2+3（m—|）+4=—m2+6m—小

???點(diǎn)尸一定在對(duì)稱軸右側(cè)，且尸的坐標(biāo)為(血―-m2+6m-^)；

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上方時(shí)，

33

則一<^一一<4,即3Vm<5.5,

22

25

此時(shí)：m+l=yD-yA=-^,

解得：爪=今符合題意；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在無(wú)軸下方時(shí)，

則租一2>4,即加>5.5,

止匕時(shí)：m+1=yD-yp=彳25(-序+6m--1彳1)，

解得：機(jī)1=在/，儂=上/<5,5(舍去);

③當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上時(shí)，

則租一9=4,即m=5.5,

此時(shí)：m+l=yD-yA(或yp)=彳，

71

解得：7H=彳。5.5(舍去)，

綜上所述，m=空或7+^^；

(3)在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)尸，使NP5C+NACO=45°；理由如下：

如圖3,在x軸的正半軸上取點(diǎn)E(l,0),連接CE,過(guò)點(diǎn)3作3尸〃CE交拋物線于點(diǎn)尸,

VA(-1,0),E(1,0),

???ZACO=ZECO,

9：BP//CE,

:.NPBC=NECB,

：.NPBC+NACO=ZECB+ZECO=ZBCO,

,.,O3=OC=4,ZBOC=90°,

：.ZBCO=45°,

：.ZPBC+ZACO=45°,

設(shè)直線CE的解析式為y=px+q,過(guò)C(0,4),E(1,0),

???直線CE的解析式為y=-4x+4,

9：BP//CE,

???設(shè)直線尸5的解析式為y=-4%+〃，將5(4,0)代入得：

0=-16+H,

解得：幾=16,

???直線尸3的解析式為y=-4x+16,

由-X2+3X+4=-4x+16,

解得：xi=3,X2=4(舍去)，

：.P(3,4).

7.【解答】解：(1)將A(-1,0),C(0,3)代入y=a/+2x+c,得:

(ci-2+c=0,

lc=3，

a=-1

解得

C=3，

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-7+2%+3；

(2)對(duì)于y=-f+2%+3,令y=0,-x2+2x+3=0,

解得％1=-LX2=3,

：.B(3,0),

：?OB=OC=3,

???AOBC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

'：ZQCB=2ZABCf

：.ZQCB=90°,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CQL5C交拋物線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作QGLy軸于點(diǎn)G,

：.ZGCQ=90°-ZOCB=45°,

???AGC2是等腰直角三角形，

:.CG=QG,

設(shè)Q(q，-/+2夕+3),則G(0,-/+2q+3),

CG=-/+2夕，GQ=q,

?.-q+2qq,

解得9=0(舍去)或9=1,

.,*-/+2夕+3=4,

：.Q(1,4).

8.【解答】解：(1)拋物線3經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，把點(diǎn)A,

點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=aj?+bx-3得：

.(CL—b-3=0

3b-3=0'

解得：K=1y

lb=-2

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3；

(2)拋物線y=/-2x-3與y軸交于點(diǎn)C,

令x—0,則y=-3,

；.OC=3；

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

；.OB=OC=3；

如圖1,連接8C,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為G,P-2L3),

:點(diǎn)尸在第四象限，

：.PM=-(r-2f-3),OM=t,BM=OB-OM=3-t,

:.S=S梯形OMPC+SzxMBP-SAOCB

111

-][—(/—2t—3)+3]t+2[—(I?—2t—3)](3—t)—]X3x3

圖1

/+

_3327

__2("引2+于

3

:一尸，

.，.s存在最大值,

當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值二；

28

(3)解：如圖2,作AP關(guān)于直線AC的對(duì)稱線段AH,連接尸〃，設(shè)尸”中點(diǎn)為G,

由對(duì)稱的性質(zhì)可知，ZB4H=2ZB4C,AP=AH,

VZMB4=2ZB4C,

:?/PAH=ZMPA,

：.AH//PM,

?.?PM_Lx軸，

???AH_Lx軸；

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(/,P-2L3),點(diǎn)H的坐標(biāo)為(-1,h),

2

則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(號(hào)，h+t

???0。=3,圖2

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),

設(shè)直線AC的解析式為>=丘+加，其中左W0,把點(diǎn)A(-l,0)、C(0,-3)代入得:

(—k+m=0

Si=—3

解得：［k=-3

ITH=—3'

直線AC的解析式為y=-3x-3；

"十七2—2七一3t—1

把點(diǎn)G的坐標(biāo)代入直線AC解析式中，得=—3x........-3,

22

'.h=-F-t,

：.AH2=(產(chǎn)+力'AG+1)2,

"：AP-=AM2+PM2=(Z+1)2+(P-2L3)2=(f+1)2[1+(L3)2],

'：AH^AP,

:G+l)2=(r+1)2[1+(/-3)2],

解得：t=|或r=-l(舍去)，

則12-2t-3=一等,

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為G，

設(shè)直線AP的函數(shù)表達(dá)式為y=px+n,pWO,

把A、尸坐標(biāo)分別代入得：

—p+n=0

5,32,

的+――百

4

--

-3

得

解4

-

--3

44

-X--

即直線AP的函數(shù)表達(dá)式為y=-33

9.【解答】解：(1)把A(-1,0),B(4,0)代入>=以2+/+4(。/0)得:

(a—5+4=0

116a+4b+4=O'

解得：t，

ID=3

?'?y=-/+3x+4；

(2)V-X2+3X+4,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

：.C(0,4),

設(shè)直線的解析式為：>=履+4,把B(4,0)代入得：

k=-1,

?'?y=-x+4,

過(guò)點(diǎn)尸作軸，交于點(diǎn)設(shè)尸(M，-m2+3m+4),則E(機(jī)，-m+4),如圖1,

PE=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m,

:?SAPBC=E,OB=2x4(—7n2+4TH)=-2(rn.-2/+8,

???當(dāng)m=2時(shí)，SMBC有最大值，此時(shí)尸(2,6)；

(3)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上存在一點(diǎn)P,滿足NP5C=NDBC；理由如下:

?.?>=-/+3x+4,

，拋物線的對(duì)稱軸為直線％=-W=掾，當(dāng)x=3時(shí)，y=-9+9+4=4,

：.D(3,4),

'：C(0,4),

：.CD//x^,CD=3,

,:B(4,0),

.?.0C=0B=4,

.?.NOBC=NOCB=45°,

：CD〃x軸，

：.ZBCD^ZOBC^45°,

：./BCD=/OCB,

設(shè)直線BP與y軸交于點(diǎn)G,如圖2,

■:/PBC=NCBD,BC=BC,/BCD=N0CB,

:.△BCDgXBCG(ASA),

：.CG=CD=3,

：.G(0,1),

同(2)可得，直線8G的解析式為：y=-1x+1,

1

聯(lián)立y=—&比+i,

y=—x2+3%+4

圖2

(YA,X=~-T

解得：｛y=°或，19,

擻

10.【解答】解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入yno?+bx+B得:

(CL-5+3=0

(9a+3b+3=0'

解得仁丁,

...拋物線的解析式為了=-?+2x+3；

(2)設(shè)P(m,-z?72+2m+3),

在y=-f+2x+3中，令x=0得y=3,

：.C(0,3),

：.0B=0C=3,

???ABOC是等腰直角三角形，

：.ZBCO^ZCBO^45°,

'JPE//OC,尸產(chǎn)〃無(wú)軸，

:.NPEF=/BCO=45°,NPFE=/CBO=45°,

AP￡F是等腰直角三角形,

2

：.SAPEF=帝PE?PF=1PE,

當(dāng)PE最大時(shí)，S"EF最大，

由C(0,3),B(3,0)可得直線BC解析式為>=-X+3,

:?E(m,-m+3).

39

\2

2-7+-

PE=-m+2m+3-(-m+3)24

V-l<0,

Q9

當(dāng)m=5時(shí)，PE最大為一，

z4

,3151981

此ir時(shí)P(一，一)，S^PEF=5X(-)2=方；

24Z45乙

81315

.,.△PEF面積的最大值為丁，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(二，一)；

3224

(3)拋物線上存在點(diǎn)。，使NC3Q+NACO=45°,理由如下：

作A(-1,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)K(1,0),當(dāng)。在5C上方時(shí)，連接CK,過(guò)3作CK

的平行線CT交拋物線于Q,如圖：

???ZACO=ZKCO,

由(2)知，ZBCK+ZKCO=45°,

???N3CK+NACO=45°,

'：BT//CK,

：.ZCBQ=ZBCK,

：.ZCBQ+ZACO=45°,

由C(0,3),K(1,0)可得直線CK解析式為＞=-3x+3,

設(shè)直線BT解析式為y=-3x+t,把B(3,0)代入得：0=-9+3

解得f=9,

直線BT解析式為＞=-3x+9,

聯(lián)叱二:"

解需駕或憂;，

：.Q(2,3)；

當(dāng)。在5C下方時(shí)，設(shè)時(shí)咬CK于W,

同理可知，ZCBW=ZBCWf

：.CW=BW,

設(shè)W(九，-3九+3),

VC(0,3),B(3,0),

(-3〃+3-3)2=-3)2+(-3〃+3)

解得n=

331

由W(74)JB(3，0)得直線解析式為產(chǎn)一宗+1，

聯(lián)立卜=一9+1,

y=—x2+2%+3

解得扃或、,

v~~9

綜上所述，Q的坐標(biāo)為(2,3)或(-可，—

11.【解答】解：(1)已知拋物線y=--+如+徵-2的頂點(diǎn)為A,且通過(guò)點(diǎn)8(3,-3),

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

/--3=-32+3m+m-2,

解得：m=2,

工拋物線為：y=-X2+2X=-(x-1)2+1,

工頂點(diǎn)A(1,1)；

(2)由(1)可知A(1,1),

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx-^-b(左W0),把A,3點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

(1=k+b

t-3=3k+b'

解得:苗=；2,

3=3

?,?直線AB的解析式為：y=-2x+3,

當(dāng)直線A3向上平移，與拋物線僅一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△ABC面積有最大值，且平移的解析

式為y=-2x+d,

-2x+d=-/+2x,

整理得：x2,-4x+d=0,

A=0=16-4d=0,

解得：d=4,東

???平移直線的解析式為：y=-2x+4,\J

2

-2x+4=-x+2xf\

解得：X1=X2=2,\A

?,?點(diǎn)C(2,0),.

設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，如圖1,)

?一3/%

???。點(diǎn)的坐標(biāo)為。6,0),/\

：.CD=^,圖1

(3)①過(guò)點(diǎn)5作5。，胡交AP于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)5作GH〃y軸，分別過(guò)點(diǎn)A,。作AG,

GH于點(diǎn)G,QH_LGH于點(diǎn)、H,如圖2,

ZAGB=ZABQ=ZBHQ=90°,

VZABG+ZQBH=9Q°,ZBQH+ZQBH=9Q°,

ZABG=ZBQH,/AG

VZPiAB=45°,->

X

：.BA=BQ,

在AAeG和中，

zAGB=乙BHQ

Z-ABG=乙BQH,

AB=BQ

；?AABG沿4BQH(AA5),

：.AG=BH=3-1=2,BG=QH=1-(-3)=4,

?,?點(diǎn)。(-1,-5),

設(shè)直線AQ的解析式為：y=ax^b(〃W0),將A,。點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:

口=k+b

t-5=-k+b'

解得：［k=3

b=-2

直線A。的解析式為：y=3x-2,

:點(diǎn)Pl在直線A。上，

直線APl的解析式為：y=3x-2,

聯(lián)立拋物線y=-/+2x,

/.-^+2%=3^-2,

解得：XI=1(舍去)，X2=-2,

；.點(diǎn)尸1(-2,-8)；

②延長(zhǎng)Q8交A尸2于點(diǎn)R,