《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章末提升測評

5/13《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》提升測評(滿分:84分；時間：70分鐘）―、選擇題（本大題共4小題，共20分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.(2016山東，10，5分，★★★)若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（）A.B.C.D.2.(2015課標(biāo)全國I，12，5分，★★★)設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得,則的取值范圍是（）A.B.C.D.3.(2015福建，10，5分，★★★)若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足,則下列結(jié)論一定錯誤的是（）A.B.C.D.4.(2014課標(biāo)全國I，11，5分，★★★)已知函數(shù)，若存在唯一的零點且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共3小題，共15分.把答案填在題中橫線上）5.(2017江蘇，11，5分，★★☆)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是_____.6.(2016北京，14，5分，★★★)設(shè)函數(shù)①若，則的最大值為_____；②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____.7.(2015安徽，15，5分，★★★)設(shè)，其中均為實數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個實根的是_____.(寫出所有正確條件的編號）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；⑤.三、解答題（本大題共6小題，共49分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）8.(2017課標(biāo)全國III,21,12分，★★★)已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)設(shè)為整數(shù),且對于任意正整數(shù)，求的最小值.9.(2017山東，20,13分，★★★)已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)令討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.10.(2016課標(biāo)全國I，21，12分，★★★)已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個零點，證明：.11.(2016課標(biāo)全國II，21，12分，★★★)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，；(2)證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題1.答案：A解析：設(shè)函數(shù)的圖象上的兩點分別為，且，則由題意知只需函數(shù)滿足即可.的導(dǎo)函數(shù)為，則，故函數(shù)具有性質(zhì)；的導(dǎo)函數(shù)為，則，故函數(shù)；不具有性質(zhì)；的導(dǎo)函數(shù)為,則，故函數(shù)不具有性質(zhì)；的導(dǎo)函數(shù)為，則，故函數(shù)不具有性質(zhì).故選A.2.答案：D解析：由,即，得.當(dāng)時，得,顯然不成立，所以.若，則.令，則當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，要滿足題意，則，此時需滿足，得，與矛盾，所以因為，所以.易知，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，要滿足題意，則，此時需滿足，得(滿足).故選D.3.答案：C解析：構(gòu)造函數(shù)則在上為增函數(shù).，則而即所以選項C錯誤,故選C.4.答案：C解析：(1)當(dāng)時，顯然有兩個零點，不符合題意.(2)當(dāng)時，，令，解得.當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因為存在唯一零點，且，則，即，不成立.當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為存在唯一零點，且,所以,即，解得或,又，故的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.選C.二、填空題5.答案：見解析解析：易知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.為奇函數(shù)，又（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”）從而在上單調(diào)遞增，所以解得6.答案：見解析解析：①若,則當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，的最大值為2.②在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，當(dāng)時，無最大值；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，當(dāng)時，無最大值.7.答案：見解析解析：設(shè).當(dāng)時，，令，得或；令，得,故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)，又,故方程只有一個實根，故①正確.當(dāng)時，,易知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又時，,從而方程有兩個根，故②錯誤.當(dāng)時，，易知的極大值為，極小值為時，，故方程有且僅有一個實根，故③正確.當(dāng)時，,顯然方程有且僅有一個實根，故④正確.當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)，易知的值域為,故有且僅有一個實根，故⑤正確.綜上，正確條件的編號為①③④⑤.三、解答題8.答案：見解析解析：(1)的定義域為.①若,因為，所以不滿足題意；②若,由知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，故是在內(nèi)的唯一最小值點.由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.綜上,.(2)由(1)知當(dāng)時，.令，得.從而.故.而所以的最小值為3.9.答案：見解析解析：(1)由題意得，又，所以,因此曲線在點處的切線方程為，即.(2)由題意得，所以，令，則,所以在上單調(diào)遞增.因為,所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.①當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取極小值，極小值是.②當(dāng)時，，由得(i)當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取極大值，極大值為，當(dāng)時，取得極小值，極小值是.(ii)當(dāng)時，,所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值.(iii)當(dāng)時，,所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減;當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取極大值，極大值是；當(dāng)時，取極小值，極小值是綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是,極小值是；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值,極大值是,極小值是.10.答案:見解析解析：(l).(i)設(shè)，則只有一個零點.(ii)設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，設(shè)滿足且，則，故存在兩個零點.(iii)設(shè),由得或.若，則，故當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時，所以不存在兩個零點.若,則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時，所以不存在兩個零點.綜上,的取值范圍為.(2)證明:不妨設(shè).由(1)知，上單調(diào)遞減，所以等價于，即.由于，而,所以設(shè)，則.所以當(dāng)時,,而，故當(dāng)時,.從而,故.11.答案：見解析解析：(l)的定義域為.當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)時，,