高考熱點(diǎn)：函數(shù)大題

1/12函數(shù)大題【高考真題重溫】1.【新課標(biāo)全國(guó)理，21】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．2.【新課標(biāo)全國(guó)文，21】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)證明：當(dāng)，且時(shí)，．3.【新課標(biāo)全國(guó)理，21】設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.4.【新課標(biāo)全國(guó)文，21】設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)≥0時(shí)≥0，求的取值范圍.時(shí)＜0，即＜0.綜合得的取值范圍為.5.【新課標(biāo)全國(guó)理】（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)滿(mǎn)足滿(mǎn)足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值。6.【新課標(biāo)全國(guó)文】設(shè)函數(shù)f(x)=ex－ax－2(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值【命題意圖猜想】1.近三年的高考試題基本上形成了一個(gè)模式，第一問(wèn)求解函數(shù)的解析式，以切線方程、極值點(diǎn)或者最值、單調(diào)區(qū)間等為背景得到方程進(jìn)而確定解析式，或者給出解析式探索函數(shù)的最值、極值、單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題，較為簡(jiǎn)單；第二問(wèn)均為和不等式相聯(lián)系，考查不等式恒成立問(wèn)題、證明不等式等綜合問(wèn)題，難度較大.預(yù)測(cè)函數(shù)大題，以對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)、二次函數(shù)中的兩個(gè)或者三個(gè)為背景，組合成一個(gè)函數(shù)，然后考查函數(shù)的性質(zhì)，與不等式相結(jié)合時(shí)一個(gè)永恒的話題.2.從近幾年的高考試題來(lái)看，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題已成為炙手可熱的考點(diǎn)，既有小題，也有解答題，小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)用．預(yù)測(cè)高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向．【最新考綱解讀】1．導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，(理)y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．(2)能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，(理)能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．(3)會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表．3．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(1)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性．4．生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例．例如，通過(guò)使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．【回歸課本整合】導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即.注意：在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫(xiě)成.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率.因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為注意：“過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)處的切線方程”是不相同的，后者必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是物體的運(yùn)動(dòng)方程在點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即4．幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(為常數(shù))；()；；；；；；.5.求導(dǎo)法則：法則：；法則：,；法則：.6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且或7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間.2）利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:求;確定在內(nèi)符號(hào);若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)8.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極（最）值1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作極大值，是極大值點(diǎn).2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作極小值，是極小值點(diǎn).3）極值：極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值在定義中，取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.（）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個(gè).（）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>.（）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).4.當(dāng)在點(diǎn)連續(xù)時(shí)，判別是極大、極小值的方法:若滿(mǎn)足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值.5.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么在這個(gè)根處無(wú)極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn).9.函數(shù)的最大值和最小值:一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．注意：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè).10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p【方法技巧提煉】1.利用導(dǎo)數(shù)求切線問(wèn)題中的“在”與“過(guò)”在解決曲線的切線問(wèn)題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類(lèi)方法.在求解過(guò)程中特別注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過(guò)某點(diǎn)的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).因此在審題時(shí)應(yīng)首先判斷是“在”還是“過(guò)”.若“在”，利用該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過(guò)”，解決問(wèn)題關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”,即：設(shè)點(diǎn)A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，則以A為切點(diǎn)的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點(diǎn).2.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問(wèn)題不等式在某區(qū)間的恒成立問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)解決，函數(shù)的最值問(wèn)題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立.3.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題.在函數(shù)的解答題中有一類(lèi)是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類(lèi)型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式)，研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等，這些問(wèn)題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無(wú)能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問(wèn)題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí)，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下（1）樹(shù)立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問(wèn)先讓解決出來(lái)），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問(wèn)要證明的不等式.（2）強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出的不等式直接證明無(wú)法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”.【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意的幾個(gè)問(wèn)題(1)確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．(3)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件．2．可導(dǎo)函數(shù)的極值(1)極值是一個(gè)局部性概念，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極大值和極小值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有極值．3.如果一個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用“∪”連接，只能用逗號(hào)或“和”字隔開(kāi)，如把增區(qū)間寫(xiě)為“(－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”是不正確的，因?yàn)椤?－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”不是一個(gè)區(qū)間，該函數(shù)