高中數(shù)學(xué)2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1．1變化率與導(dǎo)數(shù)1．1.1變化率問(wèn)題1．1.2導(dǎo)數(shù)的概念1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．2.會(huì)求函數(shù)從x1到x2的平均變化率．3．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．1．平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比．(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．2．瞬時(shí)變化率函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率(1)定義式：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝leq\o(lim,\s\do5(Δx→0))__eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).(2)實(shí)質(zhì)：瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值．(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢．3．導(dǎo)數(shù)的概念定義式eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)記法f′(x0)或y′|x=xeq\s\do1(0)實(shí)質(zhì)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率eq\f(Δy,Δx)為0.()(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負(fù)無(wú)關(guān)．()(3)瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)在區(qū)間[x1，x2]上函數(shù)值的變化快慢的物理量．()(4)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：選B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.3．已知f(x)＝－2x＋1，則f′(0.5)＝________．答案：－24．函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率為_(kāi)_______．答案：－1求函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5.(1)當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時(shí)，求函數(shù)增量Δy和平均變化率eq\f(Δy,Δx)；(2)求(1)中的平均變化率的幾何意義．【解】因?yàn)閒(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)當(dāng)x1＝4，Δx＝1時(shí)，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（5）－f（4）,5－4)，它表示拋物線上點(diǎn)A(4，39)與點(diǎn)B(5，60)連線的斜率．eq\a\vs4\al()求函數(shù)平均變化率的步驟(1)求自變量的改變量Δx＝x2－x1；(2)求函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).1.(2017·寧波高二檢測(cè))已知函數(shù)y＝x2＋1的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：選C.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f([（1＋Δx）2＋1]－2,Δx)＝2＋Δx.2．求函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并求當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變化率的值．解：函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2，2.1]上的平均變化率為6×2＋3×0.1＝12.3.實(shí)際問(wèn)題中的瞬時(shí)速度一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8－3t2，其中s表示位移(單位：m)，t表示時(shí)間(單位：s)．(1)求質(zhì)點(diǎn)在[1，1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．【解】(1)質(zhì)點(diǎn)在[1，1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－3（1＋Δt）2－8＋3×12,Δt)＝(－6－3Δt)(m/s)．(2)由(1)知eq\f(Δs,Δt)＝－6－3Δt.當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨近于－6，所以質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－6m/s.eq\a\vs4\al()求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟第一步：求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；第三步：求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即v＝s′(t0)．1.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度為1，則t0＝________．解析：因?yàn)棣＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq\o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：12．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度；(2)求t＝0到t＝2時(shí)的平均速度．解：(1)取一時(shí)間段[2，2＋Δt]，Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－Δt－（Δt）2,Δt)＝－1－Δt，eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(－1－Δt)＝－1，所以當(dāng)t＝2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為－1.(2)因?yàn)楫?dāng)t∈[0，2]時(shí)，Δt＝2－0＝2.Δs＝s(2)－s(0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2.eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2,2)＝1.所以在0到2之間，物體的平均速度為1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)求函數(shù)y＝x2＋3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．【解】(1)Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋（Δx）2,Δx)＝2＋Δx.所以y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2＋Δx)＝2.(2)因?yàn)棣＝eq\f(4,（Δx＋2）2)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,（Δx＋2）2)－1＝－eq\f(（Δx）2＋4Δx,（Δx＋2）2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2).所以eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δx＋4,（Δx＋2）2)＝－1.eq\a\vs4\al()求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟簡(jiǎn)稱：一差、二比、三極限．1.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：選C.因?yàn)閒′(1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）＋3－（a＋3）,Δx)＝a.因?yàn)閒′(1)＝3，所以a＝3.故選C.2．求函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解：因?yàn)棣＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)→2，所以f′(1)＝2，即函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2.1．瞬時(shí)速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫(huà)物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫(huà)物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無(wú)關(guān)．聯(lián)系：瞬時(shí)速度是平均速度的極限值．2．函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)(1)當(dāng)Δx≠0時(shí)，比值eq\f(Δy,Δx)的極限存在，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；若eq\f(Δy,Δx)的極限不存在，則f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或無(wú)導(dǎo)數(shù)．(2)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)或f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→xeq\s\do4(0)))eq^\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為()A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：選A.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.2．已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值等于()A．－4 B．2C．－2 D．±2解析：選D.f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝－eq\f(2,x2)，于是－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.3．某物體做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是s＝vt＋b，則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的關(guān)系是________．解析：v0＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(v（t0＋Δt）－vt0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(v·Δt,Δt)＝v.答案：相等4．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．解：自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.若函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，圖象上點(diǎn)P(2，3)及其鄰近點(diǎn)Q(2＋Δx，3＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4ΔxC．4＋Δx D．Δx解析：選C.因?yàn)棣＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋（Δx）2,Δx)＝4＋Δx.2．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝5－3t2，若一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6解析：選D.由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.3．某物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A．eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)B．eq\x\to(v)＝eq\f(s（Δt）,Δt)C．eq\x\to(v)＝eq\f(s（t）,t)D．eq\x\to(v)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（Δt）,Δt)解析：選A.由平均速度的定義可知，物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是其位移改變量與時(shí)間改變量的比．所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt).4．若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿足eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，則f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選B.因?yàn)閒(x)圖象過(guò)原點(diǎn)，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1.故選B.5．某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為()A.eq\f(123,16)米/秒 B.eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D.eq\f(67,4)米/秒解析：選B.因?yàn)閑q\f(Δs,Δt)＝eq\f(（4＋Δt）2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(（Δt）2＋8Δt＋\f(－3Δt,4（4＋Δt）),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).6．已知函數(shù)y＝eq\f(2,x)＋3，當(dāng)x由2變到1.5時(shí)，函數(shù)的增量Δy＝________．解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1.5)＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是________．解析：由平均變化率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均變化率分別為：eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq\f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq\f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝f(x)的平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是[x3，x4]．答案：[x3，x4]8．子彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)可以看作是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子彈從槍口射出所用的時(shí)間為1.6×10－3s，則子彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______m/s.解析：運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\f(1,2)at2.因?yàn)棣＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2.所以eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，所以v＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.又因?yàn)閍＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以v＝at0＝8×102＝800(m/s)．答案：8009．若函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍．解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因?yàn)棣>0，所以Δx>0，即Δx的取值范圍是(0，＋∞)．10．已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3做直線運(yùn)動(dòng)．(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，求eq\f(Δs,Δt)；(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度．解：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝eq\f(2（t＋Δt）2＋3－（2t2＋3）,Δt)＝4t＋2Δt.(1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．[B能力提升]11．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1，10)解析：選B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）＋1－3xeq\o\al(2,0)－6x0－1,Δx)＝3Δx＋6x0＋6，所以f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，所以x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2)．12．(2017·泉州期中)設(shè)函數(shù)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)等于()A．f′(x0) B．f′(－x0)C．－f′(x0) D．－f(－x0)解析：選C.eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)＝－f′(x0)，故選C.13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))，x>0，,1＋x2，x≤0))求f′(4)·f′(－1)的值．解：當(dāng)x＝4時(shí)，Δy＝－eq\f(1,\r(4＋Δx))＋eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\r(4＋Δx))＝eq\f(\r(4＋Δx)－2,2\r(4＋Δx))＝eq\f(Δx,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）).所以eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,2\r(4＋Δx)（\r(4＋Δx)＋2）)＝eq\f(1,2×\r(4)×（\r(4)＋2）)＝eq\f(1,16).所以f′(4)＝eq\f(1,16).當(dāng)x＝－1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－1＋Δx）－f（－1）,Δx)＝eq\f(1＋（－1＋Δx）2－1－（－1）2,Δx)＝Δx－2，由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx－2)＝－2，所以f′(4)·f′(－1)＝eq\f(1,16)×(－2)＝－eq\f(1,8).14．(選做題)若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移單位：m，時(shí)間單位：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(29＋3（t－3）2，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．解：(1)因?yàn)槲矬w在t∈[3，5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．因?yàn)槲矬w在t＝0附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f（0＋Δt）－f（0）,Δt)＝eq\f(29＋3[（0＋Δt）－3]2－29－3（0－3）2,Δt)＝3Δt－18，所以物體在t＝0處位移的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度v0＝－18m/s.(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為物體在t＝1處位移的瞬時(shí)變化率．因?yàn)槲矬w在t＝1附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f（1＋Δt）－f（1）,Δt)＝eq\f(29＋3[（1＋Δt）－3]2－29－3（1－3）2,Δt)＝3Δt－12，所以物體在t＝1處位移的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－12m/s.1．1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.理解曲線的切線的含義．2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程．4．理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義如圖，對(duì)于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．2．導(dǎo)函數(shù)的概念(1)定義：當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．(2)記法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同．()(2)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù)．()(3)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值．()(4)函數(shù)f(x)＝0沒(méi)有導(dǎo)數(shù)．()(5)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點(diǎn)A(2，8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為()A．4 B．16C．8 D．2答案：C3．已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能確定解析：選B.由圖可知，曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率比曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(xA)<f′(xB)，選B.4．曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)P(1，1)處的切線的方程為_(kāi)_______．答案：x＋y－2＝0曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的切線方程．【解】因?yàn)閥′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,x2＋xΔx)＝eq\f(－1,x2)，所以曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的切線斜率為－eq\f(1,9)，所以曲線在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的切線方程為y－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,9)(x－3)，即x＋9y－6＝0.eq\a\vs4\al()(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程的步驟①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，f(x0))．②求出函數(shù)在x0處的變化率f′(x0)，從而得到曲線在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率．③利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程．(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上，即使點(diǎn)P在曲線上也不一定是切點(diǎn)．1.(2017·青島高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_(kāi)_______．解析：由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(－1，0)．因?yàn)閒′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x（x＋Δx）)))＝1＋eq\f(1,x2)，所以切線的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2，所以切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.答案：2x－y－2＝0或2x－y＋2＝02．試求過(guò)點(diǎn)P(1，－3)且與曲線y＝x2相切的直線的斜率以及切線方程．解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則有y0＝xeq\o\al(2,0).因y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝2x.所以k＝y(tǒng)′|x=xeq\s\do4(0)＝2x0.因切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，將點(diǎn)(1，－3)代入，得－3－xeq\o\al(2,0)＝2x0－2xeq\o\al(2,0)，所以xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，所以x0＝－1或x0＝3.當(dāng)x0＝－1時(shí)，k＝－2；當(dāng)x0＝3時(shí)，k＝6.所以所求直線的斜率為－2或6.當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝1，切線方程為y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0；當(dāng)x0＝3時(shí)，y0＝9，切線方程為y－9＝6(x－3)，即6x－y－9＝0.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)[學(xué)生用書(shū)P5]已知曲線f(x)＝x2＋6在點(diǎn)P處的切線平行于直線4x－y－3＝0，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解】設(shè)切點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)．f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋6－（x2＋6）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.所以點(diǎn)P在(x0，y0)處的切線的斜率為2x0.因?yàn)榍芯€與直線4x－y－3＝0平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)＋6＝10，即切點(diǎn)為(2，10)．若本例中的“平行于直線4x－y－3＝0”變?yōu)椤按怪庇谥本€2x－y＋5＝0”，其他條件不變，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由本例解析知，點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率為2x0.因?yàn)榍芯€與直線2x－y＋5＝0垂直，所以2x0×2＝－1，得x0＝－eq\f(1,4)，y0＝eq\f(97,16)，即切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(97,16))).eq\a\vs4\al()求滿足某條件的曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)求切線的斜率f′(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)．1.已知曲線y＝eq\f(x2,4)的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.因?yàn)閥′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2)，所以x＝1，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.2．已知曲線f(x)＝－eq\f(1,x2)在點(diǎn)P處的切線平行于直線2x＋y－1＝0，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：設(shè)切點(diǎn)P為(x0，y0)，則k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－\f(1,（x0＋Δx）2)＋\f(1,xeq\o\al(2,0)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)（x0＋Δx）2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(2x0＋Δx,xeq\o\al(2,0)（x0＋Δx）2)＝eq\f(2,xeq\o\al(3,0)).因?yàn)榍芯€平行于直線2x＋y－1＝0，所以切線斜率為－2.所以eq\f(2,xeq\o\al(3,0))＝－2.所以x0＝－1.所以f(x0)＝f(－1)＝－1.所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－1)．導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用[學(xué)生用書(shū)P6]設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行．求a的值．【解】因?yàn)棣＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，所以eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,3)))eq\s\up12(2)－9－eq\f(a2,3)≥－9－eq\f(a2,3).由題意知f′(x)的最小值是－12，所以－9－eq\f(a2,3)＝－12，即a2＝9，因?yàn)閍＜0，所以a＝－3.eq\a\vs4\al()導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解題關(guān)鍵還是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用題目所提供的諸如直線的位置關(guān)系、斜率最值范圍等關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題，此處常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合．若拋物線y＝4x2上的點(diǎn)P到直線y＝4x－9的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由點(diǎn)P到直線y＝4x－9的距離最短知過(guò)點(diǎn)P的切線與直線y＝4x－9平行．設(shè)P(x0，y0)，y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4（x＋Δx）2－4x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(8x＋4Δx)＝8x，所以點(diǎn)P處的切線斜率為8x0，8x0＝4，且y0＝4xeq\o\al(2,0)，得x0＝eq\f(1,2)，y0＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).1．曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系(1)函數(shù)f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)表示的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率．(2)函數(shù)f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)＝eq\r(3,x)在x＝0處有切線，但不可導(dǎo)．2．“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)”“導(dǎo)函數(shù)f′(x)”“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是在該點(diǎn)處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限值，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)．(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)．(3)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝y(tǒng)′|x＝x0.這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一．3．(易誤防范)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異．過(guò)點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上，即使點(diǎn)P在曲線上也不一定是切點(diǎn)；在點(diǎn)P處的切線，點(diǎn)P必為切點(diǎn)，且在曲線上．1．曲線y＝－2x2＋1在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率是()A．－4 B．0C．4 D．－2解析：選B.因?yàn)棣＝－2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝－2Δx，eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(－2Δx)＝0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知切線的斜率為0.2．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：選A.因?yàn)閥′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.3．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝x2－3x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－3（x0＋Δx）－xeq\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)．答案：(2，－2)4．已知拋物線y＝f(x)＝x2＋3與直線y＝2x＋2相交，求它們交點(diǎn)處拋物線的切線方程．解：由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，又eq\f(（Δx＋1）2＋3－（12＋3）,Δx)＝Δx＋2.當(dāng)Δx趨于0時(shí)Δx＋2趨于2.所以在點(diǎn)(1，4)處的切線斜率k＝2.所以切線方程為y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.,[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2017·信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)月考)已知曲線y＝eq\f(1,2)x2－2上一點(diǎn)P(1，－eq\f(3,2))，則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．165°解析：選B.曲線y＝eq\f(1,2)x2－2在點(diǎn)P處的切線斜率為k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)（1＋Δx）2－2－（\f(1,2)×12－2）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(1＋eq\f(1,2)Δx)＝1，所以在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為45°.故選B.2．(2017·太原高二檢測(cè))下列各點(diǎn)中，在曲線y＝x2上，且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為eq\f(π,4)的是()A．(0，0) B．(2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：選D.設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝taneq\f(π,4)＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).3．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：選A.設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閒′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故選A.4．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1解析：選A.因?yàn)辄c(diǎn)(0，b)在直線x－y＋1＝0上，所以b＝1.又y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋1－x2－ax－1,Δx)＝2x＋a，所以過(guò)點(diǎn)(0，b)的切線的斜率為y′|x＝0＝a＝1.5．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：選A.易得切點(diǎn)P(5，3)，所以f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.6．已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(2，1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2＝________．解析：因?yàn)橹本€3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x＝2＝3.答案：37．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(diǎn)(1，3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________．解析：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2＋b－a－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(a·Δx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即eq\f(b,a)＝2.答案：28．已知曲線y＝f(x)＝eq\r(x)，y＝g(x)＝eq\f(1,x)過(guò)兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以y＝f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝09．求曲線y＝x2－2x上點(diǎn)P(a，0)處的切線方程．解：由P在曲線上可得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.由導(dǎo)數(shù)的定義得y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－2（x＋Δx）－（x2－2x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx·x＋（Δx）2－2Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx－2)＝2x－2.所以y′|x＝0＝2×0－2＝－2，y′|x＝2＝2×2－2＝2.故在點(diǎn)P1(0，0)處的切線方程為y－0＝－2(x－0)，即y＝－2x.在點(diǎn)P2(2，0)處的切線方程為y－0＝2(x－2)，即y＝2x－4.10．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)(1，0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.求直線l2的方程．解：因?yàn)閥′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－（x2＋x－2）,Δx)＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3，所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3，設(shè)直線l2過(guò)曲線y＝x2＋x－2上的點(diǎn)P(x0，xeq\o\al(2,0)＋x0－2)，則直線l2的方程為y－(xeq\o\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．因?yàn)閘1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，x0＝－eq\f(2,3)，所以直線l2的方程為y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).[B能力提升]11．曲線y＝x＋eq\f(1,x)上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：選C.y＝x＋eq\f(1,x)上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,xeq\o\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))<1.即k<1.12．設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)＝－1，則曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：選B.eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－2Δx）,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－2Δx）－f（1）,－2Δx)＝f′(x)＝－1.13．已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)．解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，因?yàn)閒′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－2（x＋Δx）2＋3－（x3－2x2＋3）,Δx)＝3x2－4x，由題意可知k＝4，即3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))或(2，3)．當(dāng)切點(diǎn)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))時(shí)，有eq\f(49,27)＝4×(－eq\f(2,3))＋a，a＝eq\f(121,27).當(dāng)切點(diǎn)為(2，3)時(shí)，有3＝4×2＋a，a＝－5.所以當(dāng)a＝eq\f(121,27)時(shí)，切點(diǎn)為(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))；當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)為(2，3)．14．(選做題)已知函數(shù)f(x)＝x3.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)的圖象為曲線C，過(guò)點(diǎn)P(eq\f(2,3)，0)作曲線C的切線，求切線的方程．解：(1)由導(dǎo)函數(shù)的概念，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x3＋3x·Δx（x＋Δx）＋（Δx）3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x·Δx（x＋Δx）＋（Δx）3,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x(x＋Δx)＋(Δx)2]＝3x2，f′(1)＝3，所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.(2)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，xeq\o\al(3,0))，則由第一問(wèn)得切線的斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)，切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(eq\f(2,3)，0)，所以2xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝1，從而切線方程為y＝0或y＝3x－2.1．2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1．2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝axf′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3).()(2)因?yàn)?lnx)′＝eq\f(1,x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝lnx．()(3)若f′(x)＝sinx，則f(x)＝cosx．()答案：(1)×(2)×(3)×2．曲線y＝xn在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為12，則n等于()A．1 B．2C．3 D．4答案：C3．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案：B4．已知f(x)＝cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________．答案：－eq\f(\r(3),2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)[學(xué)生用書(shū)P7]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝2017；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝3x；(4)y＝log3x.【解】(1)因?yàn)閥＝2017，所以y′＝(2017)′＝0.(2)因?yàn)閥＝eq\f(1,\r(3,x2))＝xeq\s\up12(－\f(2,3))，所以y′＝－eq\f(2,3)xeq\s\up12(－\f(2,3))－1＝－eq\f(2,3)xeq\s\up12(－\f(5,3)).(3)因?yàn)閥＝3x，所以y′＝3xln3.(4)因?yàn)閥＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).eq\a\vs4\al()用公式求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．(2)若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過(guò)恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．如y＝eq\f(1,x4)可以寫(xiě)成y＝x－4，y＝eq\r(5,x3)可以寫(xiě)成y＝xeq\s\up6(\f(3,5))等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤．1.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(－3)＝()A．81 B．243C．－243 D．－eq\f(1,27)解析：選D.因?yàn)閒(x)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4＝－eq\f(3,x4)，所以f′(－3)＝－eq\f(3,（－3）4)＝－eq\f(1,27).2．已知f(x)＝lnx且f′(x0)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，則x0＝________．解析：因?yàn)閒(x)＝lnx(x>0)，所以f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，所以x0＝1.答案：13．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝eq\f(1,x\s\up6(\f(1,2)))；(2)y＝2017x；(3)y＝ln3；(4)y＝xeq\r(x3).解：由求導(dǎo)公式得(1)y′＝(xeq\s\up5(－\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(1,2))－1＝－eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\s\up6(\f(3,2))).(2)y′＝2017xln2017.(3)y′＝(ln3)′＝0.(4)因?yàn)閥＝xeq\r(x3)，所以y＝xeq\s\up6(\f(5,2))，所以y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(5,2))))′＝eq\f(5,2)xeq\s\up6(\f(5,2))－1＝eq\f(5,2)xeq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(5x\r(x),2).利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程(1)求過(guò)曲線y＝sinx上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．(2)已知點(diǎn)P(－1，1)，點(diǎn)Q(2，4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．【解】(1)因?yàn)閥＝sinx，所以y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).所以過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.(2)因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，又因?yàn)橹本€PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于直線PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).所以所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.在本例(2)中是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒(méi)有，說(shuō)明理由．解：假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線，因?yàn)镻Q的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，所以與PQ垂直的切線斜率k＝－1，設(shè)切點(diǎn)為(x′0，y′0)，則y′|x＝x′0＝2x′0，令2x′0＝－1，則x′0＝－eq\f(1,2)，y′0＝eq\f(1,4)，切線方程為y－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0.eq\a\vs4\al()(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題的兩種情況①若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．②若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．(2)求過(guò)點(diǎn)P與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟1.(2017·遼寧撫順高二質(zhì)檢)曲線y＝cosx在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,9) B．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,9)C.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,6) D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,6)解析：選C.因?yàn)閥′＝－sinx，切點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))，所以切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，令x＝0，得y＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)π,6)，故選C.2．已知曲線y＝lnx的一條切線方程為x－y＋c＝0，求c的值．解：設(shè)切點(diǎn)為(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x).因?yàn)榍€y＝lnx在x＝x0處的切線為x－y＋c＝0，其斜率為1.所以y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切點(diǎn)為(1，0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.關(guān)于幾個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的特點(diǎn)(1)冪函數(shù)f(x)＝xα中的α可以由Q*推廣到任意實(shí)數(shù)．(2)正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以記憶為“正余互換，(符號(hào))正同余反”．(3)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)函數(shù)本身乘以底數(shù)的自然對(duì)數(shù)．(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于x與底數(shù)的自然對(duì)數(shù)乘積的倒數(shù)．[注意]遇到含有根式的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)一般先化為冪函數(shù)的形式再求導(dǎo)．1．下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝exC．y＝lnx D．y＝cosx－eq\f(1,2)解析：選D.y＝cosx－eq\f(1,2)，y′＝－sinx為奇函數(shù)，故選D.2．曲線y＝eq\f(1,2)x2在點(diǎn)(1，eq\f(1,2))處的切線的傾斜角為()A．－eq\f(π,4) B．1C.eq\f(π,4) D．eq\f(3,4)π解析：選C.y′＝x，所以切線的斜率k＝tanα＝1，所以α＝eq\f(π,4).3．已知f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝mx，且g′(2)＝eq\f(1,f′（2）)，則m＝________．解析：f′(x)＝－eq\f(1,x2)，g′(x)＝m.因?yàn)間′(2)＝eq\f(1,f′（2）)，所以m＝－4.答案：－44．在曲線y＝eq\f(1,x2)上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)處的切線的傾斜角為135°.解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)閥′＝－2x－3，所以y′|x＝x0＝－2xeq\o\al(－3,0)＝tan135°＝－1，即2xeq\o\al(－3,0)＝1，所以x0＝eq\r(3,2).將x0＝eq\r(3,2)代入曲線方程得y0＝eq\f(\r(3,2),2)，所以所求P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)，\f(\r(3,2),2))).[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知函數(shù)f(x)＝x3，若f′(x0)＝6，則x0＝()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D．±1解析：選C.因?yàn)閒′(x)＝3x2，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(2).2．下列結(jié)論中不正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2D．若y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，則y′＝eq\f(1,2)xeq\s\up6(\f(1,2))解析：選D.當(dāng)y＝xeq\s\up6(\f(1,2))時(shí)，y′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\s\up5(－\f(1,2)).3．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：選D.因?yàn)閥′＝ex，所以切線的斜率k＝e2，所以切線方程為y＝e2x－e2，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－e2)，(1，0)，所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為eq\f(e2,2).4．過(guò)曲線y＝eq\f(1,x)上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：選B.因?yàn)閥′＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝－4，得x＝±eq\f(1,2)，P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，故選B.5．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn的值為()A.eq\f(1,n) B．eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1解析：選B.由題意得xn＝eq\f(n,n＋1)，則x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故選B.6．質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝eq\f(1,t4)(其中s的單位是m，t的單位是s)．則質(zhì)點(diǎn)在t＝3s時(shí)的