陜西省咸陽市乾縣第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

/陜西省咸陽市乾縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若＝(3，5)，＝(－1，2)，則等于（

）A．(4，3) B．(－4，－3)C．(－4，3) D．(4，－3)2．設(shè)表示“向東走”，表示“向南走”，則所表示的意義為（

）A．向東南走 B．向東南走 C．向西南走 D．向西南走3．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A．0 B． C．1 D．24．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形5．已知，且關(guān)于的方程無實(shí)根，則向量與的夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若邊上的中線，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．已知平面向量，當(dāng)最小時(shí)，，則的夾角為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，為線段外一點(diǎn)，若中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，，則用表示，其結(jié)果為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的有(

)A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量C．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D．若是平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)，且，則四邊形是平行四邊形10．已知不共線的兩個(gè)單位向量的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則11．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若，則B．若，則是等腰直角三角形C．若是銳角三角形，則D．若，，分別表示，的面積，則三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)在邊上，且，則．

13．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則等于.14．在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖所示，在中，分別是，的中點(diǎn)，，，.（1）用，表示向量，，；（2）求證：，，三點(diǎn)共線.16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)若，證明：；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．17．已知向量．(1)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求向量在上的投影向量的坐標(biāo)．18．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求C；(2)若，，求的面積．19．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個(gè)半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長(zhǎng)為，C，D兩點(diǎn)在半圓弧上，且，設(shè)．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形ABCD的面積；(2)若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段AB，BC，CD和DA組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求出l的最大值．

參考答案1．【答案】A【詳解】故選A.2．【答案】C【詳解】如圖，分別作出，則利用向量加法的交換律可得，故.易知為等腰直角三角形，故,且,于是所表示的意義為向西南走.故選C.3．【答案】C【詳解】解：因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以，即，因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得，故選C.4．【答案】B【詳解】因，由正弦定理，，即,因,則，故,,即，故是等腰三角形.故選B.5．【答案】D【詳解】因關(guān)于的方程無實(shí)根，則，設(shè)向量與的夾角為，則，又，代入整理得：，因，故.故選D.6．【答案】A【詳解】在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，又，解得，故選A.7．【答案】D【詳解】設(shè)的夾角為，由，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)值最小，將代入即得：，因，故.故選D.8．【答案】D【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為A，則，所以.故選D.9．【答案】ABD【詳解】方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，∴方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A正確；同向且等長(zhǎng)的有向線段表示的向量方向相同且大小相等，故為同一向量，故B正確；兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；是不共線的點(diǎn)，，即模相等且方向相同，即四邊形對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確．故選ABD．10．【答案】ABC【詳解】對(duì)于，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，所以，故A正確；對(duì)于，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選ABC.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?，設(shè)外接圓的半徑為,可得，又由，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，由正弦定理得，即，因?yàn)?，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；對(duì)于C中，由是銳角三角形，可得，即，因?yàn)槭卿J角三角形，可得，又因?yàn)樵跒閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?，即，可得，即，所以點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)到的距離等于到的，又由到的距離為點(diǎn)到的距離的倍，所以到的距離等于點(diǎn)到距離的，由三角形的面積公式，可得，即，所以D正確.故選ACD.12．【答案】/0.5【詳解】

依題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則，設(shè)點(diǎn)，則，于是，解得，即.13．【答案】【詳解】因?yàn)?，且，所以，，，所?14．【答案】【詳解】

因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，且三點(diǎn)共線，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.15．【答案】（1），，；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）∵，，，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）由（1）知，，∴，∴與共線，又∵與有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線.16．【答案】(1)證明見解析(2)6【詳解】（1）證明：由余弦定理知和，得，又，則，結(jié)合正弦定理得，；（2）由（1）知，又，故，即，，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，即周長(zhǎng)的最大值為6.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因，要使與的夾角為鈍角，需使，解得：且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由可得，解得，故，則，因向量在上的投影向量為，故投影向量坐標(biāo)為.18