2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學

本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘，考生務必將【答案】答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結

束后，將本試卷和答題卡。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)已知集合A={*-B={.v|0<x<2},則AU8=()

(A){x|0<r<l}(B)(x|-\<.x<2}(C){x|lV啟2}(D){x\0<x<\}

(2)在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足(l—i)-z=2,則z=()

(B)i(C)l-i(D)l+i

(3)設函數(shù)f(x)的定義域為［0,1］,則“函數(shù)/(力在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(力在［0,1］的最大值為〃1)”

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(4)某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的表面積為()

3+61V3

八i+G

⑹了(B)-(C)(D)—

2—

=1過點(0,6)，離心率為2,則雙曲線的解析式為(

)

(A『),2=]

(B)X2-^-=1

嗚一卜32

(6)己知｛叫和也｝是兩個等差數(shù)列，且」41?攵45)是常值，若q=288,a5=96,Z?,=192,則打的值為()

(A)64(R)100(C)128(D)132

(7)已知函數(shù)/(x)=cosx-cos2x,則該函數(shù)()

(A)奇函數(shù)，最大值為2(B)偶函數(shù)，最大值為2

99

(C)奇函數(shù)，最大值為一(D)偶函數(shù)，最大值為一

88

(8)對24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)進行如下定義

0-101（卜2525-5050-100

小雨中雨大雨暴雨

小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，則這一天的雨水屬干哪個等級()

(A)小雨(B)中雨(C)大雨(D)暴雨

(9)已知圓C/+)3=4,直線L：/=辰+加，則當A的值發(fā)生變化時，直線被圓C所截的弦長的最小值為2,

則m的取值為()

(A)±2(B)±V2(C)±V3(D)±3

(10)數(shù)列｛叫是遞增的整數(shù)數(shù)列，且423,4+4+生+-+q=1°0，則〃的最大值為()

(A)9(B)10(C)ll(D)12

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題5小題，每小題5分，共25分.

的展開式中常數(shù)項是____________.

(⑵已知拋物線C：V=4x,C焦點為F,點上，且|FM|=6,則M的橫坐標是.作Wx

軸于N，則S.MN=-------------?

(13)已知。=(2,1)石=(2,-l),c=(0,1),(試卷使用網(wǎng)格表示的向量)則+=；ab=.

(14)若「9。5夕而夕)與。cos8+色，sin8+至關于)，軸對稱，寫出一個6的值____________.

II6JI6/；

(15)已知/(%)=|也乂一"一2,給出下列四個結論：

①若％=0,則/(力有兩個零點；

②玉＜0,使得〃力有一個零點；

③使得/(%)有三個零點；

④玉＞0,使得/(力有三個零點；

以上正確結論的序號是

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

27r

16.已知在/XABC中，c=2〃cos8,c=——.

3

⑴求8的大?。?/p>

(II)在三個條件中選擇一個作為已知，使AA8C存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度.

①。二@；②周長為4+26：③面積為5兇此=乎.

17.已知正方體A8CO—44G。，點￡為AA中點，直線4G交平面以歸于點足

⑴求證：點尸為qG中點;

(H)若點例為棱A4上一點，且二面角M-CF-E的余弦值為好，求處

3

18.為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構采取"合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可

以確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病

毒。

⑴①若采用“10合I檢測法”，且兩名患者在同?組，求總檢測次數(shù):

②已知10人分成一組，兩名感染患者在同一組的概率為求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望E(X)；

(H)若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出結果)。

3-2x

19.已知函數(shù)/(x)=

x1+a

⑴若4=0,求)，=在(1,f(l))處切線方程:

(H)若函數(shù)/(x)在>1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

20.已知橢圓a]+b>0)過點40,-2),以四個頂點圍成的四邊形面積為4JG.

a"

⑴求橢圓石的標準方程；

(H)過點P(0,-3)的直線/斜率為鼠交橢圓E于不同的兩點3,C,直線48交產(chǎn)-3于點M,直線AC交尸-3

于點M^|PM|+|PN|<15,求人的取值范圍.

21.定義%數(shù)列｛4｝：對實數(shù)p,滿足:

①q+〃20,%+P=0；

②

③%”，〃wN*,alll+nG｛am+a?+p,%+%+〃+1｝.

⑴對前4項2,-2,0,1的數(shù)列，可以是%數(shù)列嗎?說明理由；

(II)若｛〃”｝是凡數(shù)列，求牝的值：

(HI)是否存在〃，使得存在此數(shù)列｛4｝,對V.eN”,滿足S,ZBO?若存在，求出所有這樣的〃；若不存在,

說明理由.

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參考答案

1.【答案】：B.

【解析】：由集合的基本定義可得AU3={MT<xW2},故選B.

2.【答案】：D.

22.(1+0

=1+i,故選D

【解析】：由題意可得片百"(1-0(1+0

3.【答案】：A.

【解析】：前推后，一定成立.

后推前，若心）在［0,1］上的最大值為「⑴,找反例，開口向上對稱軸為x二'的二次函數(shù).

4

4.【答案】：A.

【解析】：根據(jù)圖示三視圖畫正方體，刪點，剩下的4個點就是三棱錐的頂點，如圖所示，故

5.【答案】：B.

【解析】：雙曲線離心率e=￡=2,故。=2〃*=島，將點（8,6）代入雙曲線方程，得/一工=!=1,

aa~3a-a2

2

故〃=1*=6,故雙曲線方程為爐一匯二1.

3

6.【答案】：C.

【解析】：由題意可得幺=&，4=64,故a=婦3=192+64=12&

々么22

7.【答案】：D.

【解折】：函數(shù)用力定義域為凡且火Kh/U）,則/U）為偶函數(shù),

f(x)=cosx-cos2x=cosx-(2cos2x-lj=-2cos2x+cosx+1=-2故最大值為乙9，故

8

選D.

8.【答案】：B.

200

【解析】：由相似關系可得，小圓錐的底面半徑r二=50,故匕卜錐=一X%X502X150=5()3?為從而得到積

2

2

水厚度力=上此=5。"=12.5,屬于中雨.

S大圓"00一

9.【答案】：C.

【解析】：數(shù)形結合,，〃為直線在)，軸上的截距，機=土萬二F

10.【答案】：C.

【解析】：要想〃最大，前面的項應該越小越好,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12項和為102超過了100,

故"的最大值為故如3,4,5,6,7,8,9,最，II,為,25.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本題共5小題,每小題5分，共25分.

11.【答案】：—4.

【解析】：由二項式展開公式可得C：?(X?.(_L)3=-4.

x

12.【答案】：5;4逐.

【解析】：由題意得點卬,0),設點加［,±2?,則歸M==「解得廣5.易得點M5,0),從而

SJMN=g(x,v-與)?MN=gx4x26=4后.

13.【答案】：03

【解析】：計算可得3+A>c=(4.0)(0.1)=0.a,b=4T=3.

14.【答案】：—

12

【解析】：點尸、。都在單位圓上，?？扇?T371=三5TT(0二5乃

1-kjv,kGZ).

12

2

15.【答案】：(1)(2)(4).

【解析】：零點問題，轉化成兩個函數(shù)的交點來分析.

令心)=|1朗-《2,可轉化成兩個函數(shù)#=|1貨垃2=丘卜2的交點問題.

對于⑴,當D時小酬=2,兩個交點.⑴正確；

對于(2),存在K0,使)『|1朗與廳h+2相切,(2)正確;

對于⑶，若ZvOj『|lgA|與”=公+2最多有2個交點，⑶錯誤；

時于(4),當Q0時，過點(0,2)存在函數(shù)g(x)=lgA(Ql)的切線，此時共有兩個交點，當直線斜率稍微小于相切時的斜率

時,就會有3個交點，故(4)正確.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.(本小題■分)

ber

解：(1)由正弦定理^---=----,得sinC=2sin8cosB=sin28,故。=28(舍)或。+28=兀故8=A='.

sinBsinC6

(2)由(1)知,c?=y/3b，故不能選①.

選②，設8CTC-2r,則AB-2VL:,故周長為(4+卜一4+2百，解得廠1.

從而BC=AC=2,AB=2石，設8c中點為。.則在中,由余弦定理,

482+8￡>2-4力21+12—4力2

cos8=2ABBD~45/3

解得從。=J7.

選③，設8C=八C=2x,貝UAB=2Gx,

故S^BC=--(2x)-(2x)?sin120=瓜?=—

24

解得工=立，即BC=AC=y[i，沒中點為R則在△/WO中,由余弦定理,

2

9+g)2_92&

AB2+BD2-AD2

8sB二

2ABBD3^F

解得AQ=叵.

2

17解：⑴因為為正方體，所以

又因為coU平面A片GA,G。u平面44GA,所以co//平面44GR.

因為平面CQEm平面A4CQ=EF,且C7)u平面CDEF,所以CDHEF、故QDJ/EF.所以四邊形EFCR為

矩形，又點E為AA中點，故"七=LA〃=1G4,,故點尸為片G的中點.

(2)因為八3CO-A蜴G。為正方體，故。AOCOA兩兩垂直.

以。為坐標原點，分別以。AQC,OR所在直.線為x軸j軸,z軸建立空間直角坐標系.

令正方體ABCD-A.B.C.D.的棱長為2,設A^M=<1),則C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,2,2),

M(2,2九,2),CE-(1-2,2),CF-(!,0,2),CM=(2,2X-2,2).

/、CEn=0[x-2y.+2z.=0

設平面。環(huán)的法向量為〃1=(%,)，1，4),則{_'}即1/'1，故y=0.

CF=01X+2Z[=0

令馬=一I,%=2,可取〃i=(2,0,—1).

/、CM-=02x-,-(2/1-2))\+2z=0

設平面CV/的法向量為%二(%,%,Z?),則(一，即《；八2.

CFn.=01％+2z?=0

令馬二-1,則七=2,%=1二，可取〃2=(2,」,一1).

1—Z1-A

設二面角M—CF-E為"旦夕為銳角，故

/)II4?小

COS9=|COS<n],4>1=I-

同Ml

IAMI

解得力=上￡[0川，故一^二7.

2A812

解析圖

18.解：⑴①共測兩輪，第一輪100人分10組，故測了10次，第二輪,對?兩名患者所在組每個人都進行檢測一次洪10

次，故總檢測次數(shù)為10+10=20次;

②由①知，兩名感染患者在同?組吐共需測20次;若兩名患者不在?組,需要測10+10+10=30次.故X可取值

為20,30,則尸(X=20)=(■，產(chǎn)(X=30)=1-《=與，故X的分布列為:

X2030

P110

77T7

所以E(X)=20x#3。噌二有叫號

(2)E(X)<E(K).

19.(本小題15分)

5、1,zxn-4.(3—2工、x~,(—2)—(3—2x),2x2x—6

解：(1)當。=0時,/r(x)\=——,則nlJ'(x)=—\——--

XXA

當戶1時<1)=1〃1)=-4,故)》外在(1川))處的切線方程為廠"-4(尸1),整理得尸-4犬+5.

(2)己知函數(shù)/(x)=:則/1)=Of2T=2(,：3丁

x+a(r+。)-(r+。)-

若函數(shù)府)在x=-l處取得極值，令f(-l)=0,則―”=0,。=4.

經(jīng)檢驗，當〃=4時K=-1為函數(shù)凡丫)的極大值，符合題意.

此時/(月=孚￡,函數(shù)定義域為R,6")=2。-4)("1),令/(外=0,解得一］4.

/x+4(r+4)-

/x)/(x)隨x的變化趨勢如下表:

X(』T)-1(T,4)4(4,-Ho)

rw+0——0+

危)極大值極小值

故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,7),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).極大值為f(-1)=1,極小值為/(4)=-1

33|

又因為“<二時質)>0;x>二時用)<0,所以函數(shù)於)的最大值為,/H尸1,最小值為/(4)=--.

224

20.(本小題15分)

解:⑴因為橢圓E過點4(0,-2),所以力=2.

以四個頂點圍成的四邊形面積為4百，故,x2ax2b=2ab=4瓜

2

h=2a=^22

聯(lián)立V2ah=4x/5，解得?〃二2，故橢圓E的標準方程為二+乙=1.

54

a2=b2+c2c=\

（2）由題意可得，直線/的斜率存在,且直線/的方程為方G-3,設3（%,））。仇,丁2）

y=kx-3

聯(lián)立卜2

，消去1y整理得（5攵2+4）x-30依+25=0,

4X2+5/=20

△二（一30%）2-4（5&2+4）x25=400（r-1）>0,故Q1或KT.由韋達定理，得

-30k30%25

…=-E=E*=E'

24

進而可得y+必=Mx+々）—6二一，

DK?一

36-20*2

乂為二（處一3）（心一3）二二%七一3&（%+%）+9=

DK?*-r

直線AB的方程為y+2二上±2%令）=-3,則x=

，故點M（芭3）.

玉X+2Vi+2

直線AC的方程為），+2=正電工,令產(chǎn)-3,則尤=x

，故點N（2,一3）.

々%+2%+2

不%|_|不（必+2）+犬2（）\+2）_%?（依2-1）+冗2，（左看一1）

\PM\+\PN\=十

X+2||%+2（，+2）?（％+2）y,為+2（乂+必）+4

即隹3,解得—3必￡3.

綜上,k的取值范圍為卜3,-1）U（1,3]

21.（本小題15分）

解：⑴因為{a1+q+2,q+q+2+1}={6,7}-2=%，所以前4項2-2,0,1的數(shù)列{an}不可能是R2數(shù)歹U.

（2）對于R°數(shù)列{〃“},有①q>o,d2=。;②。3<4；③/〃€{勺+可，4”+%+GN*）.

由0=生￡{2q,2q+1}2q=0oq=0,所以

6w{q+々2,4+?2+1}={0,1},tz4e{^,^+1}H{0,1}=>tz4e{0,1}.

再由a3<a4，得％=0,a4=1再③，得％e{1,2}<{0,1}={1}o/=1?

（3）先探求必要條件.

滿足題設要求的Rp數(shù)列{q},其前〃項和S.的最小