專題5.8 平行線（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.8平行線（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．特別提醒：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條直角邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板另一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的直角邊通過已知點.④畫：沿著這條直角邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.【知識點二】平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．特別提醒：(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.【考點目錄】【考點1】平面內(nèi)兩直線位置關(guān)系；【考點2】立體圖形中平行的棱；【考點3】尺規(guī)畫平行線；【考點4】平行公理的應(yīng)用；【考點5】平行公理推論的應(yīng)用.【考點1】平面內(nèi)兩直線位置關(guān)系；【例1】（2020上·湖北十堰·七年級期末）作圖題：如圖，在平面內(nèi)有不共線的3個點A，B，C．（1）作射線BA，在BA延長線上取一點E，使AE=AB；（2）作線段BC并延長BC到點F，使CF=BC；（3）連接AC，EF；（4）度量線段AC和EF的長度，直接寫出二者之間的數(shù)量關(guān)系_______，觀察AC和FE的位置是（填“平行”或“相交”）關(guān)系；（5）作BC的中點D，連接AD，猜想S三角形ABDS三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）見分析；（4）AC=EF（或EF=2AC），平行；（5）=【分析】（1）、（2）、（3）利用射線、線段的定義和幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形即可；（4）通過觀察測量進(jìn)行判斷；（5）根據(jù)等底同高的兩個三角形面積相等進(jìn)行判斷．解：（1）（2）（3）如圖所示：（4）通過測量觀察，可知AC=EF（或EF=2AC），AC∥EF，故答案為：AC=EF（或EF=2AC）；平行；（5）∵D為BC的中點，三角形ABD與三角形ACD等底同高，∴S三角形ABD=S三角形ACD．故答案為：=．【點撥】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．【變式1】（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）、、為同一平面內(nèi)的三條直線，若與不平行，與不平行，那么下列判斷正確的是（

）A．與一定不平行 B．與一定平行C．與一定互相垂直 D．與可能相交或平行【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“若與不平行,與不平行,”畫出圖形，圖形有兩種情況，根據(jù)圖形可得答案．解：根據(jù)題意可得圖形：根據(jù)圖形可知：若與不平行,與不平行,則與可能相交或平行，故選：D.【點撥】本題主要考查了直線的位置關(guān)系，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交.【變式2】（2023下·七年級課時練習(xí)）在同一平面內(nèi)，直線與滿足下列條件，把它們的位置關(guān)系填在后面的橫線上．（1）若與沒有公共點，則與；（2）若與有且只有一個公共點，則與；（3）若與有兩個公共點，則與．【答案】互相平行相交重合【解析】略【考點2】立體圖形中平行的棱；【例2】（2023下·浙江·七年級專題練習(xí)）（1）補全下面的圖形，使之成為長方體的直觀圖，并標(biāo)出頂點的字母；（2）圖中與棱平行的棱有；（3）圖中棱和面的位置關(guān)系是．【答案】（1）見分析；（2）、、；（3）平行【分析】（1）根據(jù)長方體的立體結(jié)構(gòu)畫出即可．（2）根據(jù)平行線的定義，找出符合條件的線即可．（3）因為線與面沒有交點，所以平行．解：（1）如圖即為補全的圖形；（2）圖中與棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案為：CD、EF、GH；（3）圖中棱CG和面ABFE的位置關(guān)系是：平行．故答案為：平行．【點撥】本題考查了平行線的判斷，理解平行線的定義是解題關(guān)鍵．【變式1】（2020下·河北衡水·七年級?？茧A段練習(xí)）有一正棱錐的底面為正三角形．若此正棱錐其中兩個面的周長分別為27、15，則此正棱錐所有邊的長度和為多少？（）A．36 B．42 C．45 D．48【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，得出2y+x=27，3x=15，求出x和y，即可得出結(jié)果．解：如圖所示：根據(jù)題意得：2y+x=27，3x=15，其他都不符合三角形條件，解得：x=5，y=11，∴正棱錐所有邊的長度和=3x+3y=15+33=48；故選：D．【點撥】此題考查立體圖形，根據(jù)題意畫出圖形，得出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2019下·七年級單元測試）如圖，是一個長方體，用符號表示下列兩棱的位置關(guān)系，A1B1AB，AA1AB．【答案】//⊥【分析】根據(jù)在長方體中，棱與面，面與面之間的關(guān)系有平行和垂直兩種，填空即可.解：A1B1和AB可以看作是一個長方形的兩條對邊,所以平行;AA1，AB可看做是一個長方形的兩條鄰邊，所以垂直.故答案為∥，⊥.【點撥】本題借助于幾何體的特征考查了矩形的性質(zhì)．注意，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外，其中垂直是相交的特例）．【考點3】尺規(guī)畫平行線；【例3】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，按下列要求畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）：（1）過上一點（不與點重合）畫的平行線交于點；（2）過點畫．【答案】（1）；（2）【解析】略【變式1】（2022下·河北邢臺·七年級校考階段練習(xí)）已知三角形ABC，過AC的中點D作AB的平行線，根據(jù)語句作圖正確的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中點的定義，平行線的定義判斷即可．解：過AC的中點D作AB的平行線，正確的圖形是選項B，故選：B．【點撥】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，平行線的定義，中點的定義等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式2】（2020·四川達(dá)州·?？家荒＃┤鐖D，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫出直線AB∥CD，下面是某位同學(xué)弄亂了順序的操作步驟：①沿三角尺的邊作出直線CD；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB；④沿直尺下移三角尺；正確的操作順序應(yīng)是：．【答案】③②④①【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行判斷即可．解：根據(jù)同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是③②④①，故答案我③②④①．【點撥】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．【考點4】平行公理的應(yīng)用；【例4】（2019下·七年級課時練習(xí)）如圖，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三點是否共線？并說明理由．【答案】共線，證明詳見分析.【分析】根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行解答．解：共線．理由：因為過直線AB外一點C有且只有一條直線與AB平行，CD，CE都經(jīng)過點C且與AB平行，所以C，D，E三點共線【點撥】本題主要考查過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．【變式1】（2022下·福建莆田·七年級?？计谥校┫铝姓f法中，錯誤的有（）若與相交，與相交，則與相交；若，，那么；過一點有且只有一條直線與已知直線平行；在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系以及平行公理，依次判斷所給內(nèi)容的正誤，即可得到答案．解：若a與c相交，b與c相交，則a與b相交的說法錯誤，a與b還有可能平行，如圖所示：，故①說法錯誤，符合題意；若，，那么，故②說法正確，不符合題意；經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故③說法錯誤，符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，垂直是相交的特殊情況，故④說法錯誤，符合題意；綜上所述，說法錯誤，故選A．【點撥】本題考查了平行線，解題的關(guān)鍵是熟記平行公理及其推論和平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系．【變式2】（2023下·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）三條直線，則，理由是．【答案】平行于同一條直線的兩條直線平行【分析】根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可得到答案．解：∵直線，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行）．即三條直線，則，理由是平行于同一條直線的兩條直線平行．故答案為：，平行于同一條直線的兩條直線平行【點撥】此題考查了平行公理，熟練掌握平行公理是解題的關(guān)鍵．【考點5】平行公理推論的應(yīng)用.【例5】（2019下·七年級課時練習(xí)）如圖，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度數(shù).【答案】∠AOC=60°【分析】由條件可證明A、O、B三點在一條件直線上，可得∠AOB為平角，再由兩角的關(guān)系可求得∠AOC．解：因為AO∥CD，BO∥CD,所以A,O,B在同一條直線上，所以∠AOB=180°.因為∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=60°【點撥】考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補，④a∥b，b∥c?a∥c．【變式1】（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）是直線，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題考查了平行公理，根據(jù)平行公理以及平行線的性質(zhì)判斷即可．解：A、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，若，則，原說法錯誤，不符合題意；D、若，則，正確，符合題意．故選：D【變式2】（2021上·七年級課時練習(xí)）完成下列推理，并在括號內(nèi)注明理由．（1）如圖1所示，因為（已知）．所以三點；（）（2）如圖2所示，因為（已知），所以∥．（）【答案】共線平行公理