8.6.1直線與直線垂直課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章

立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直空間中

兩條直線的位置關(guān)系平行直線共面直線異面直線相交直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題1如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對(duì)于直線AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?一條直線相對(duì)于另一條直線的傾斜程度不同用角度來(lái)表示這種差異課堂探究問(wèn)題2

平面中,兩條相交直線所成角的定義是什么？

兩直線夾角的取值范圍是多少？

平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），它刻畫(huà)了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度．圖中的角θ即為直線a與直線b的夾角．范圍：規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為0.追問(wèn)

空間中兩條直線所成角又該如何定義？它的范圍又是多少？課堂探究

如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a,b′∥b,我們把直線a′，b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．追問(wèn)

直線a、b所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎？為什么？異面直線所成的角角度是刻畫(huà)方向差異的量，平移不改變方向等角定理空間平面平移異面直線相交直線課堂探究

如果兩條異面直線所成的角為直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b.規(guī)定

如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為0.兩條異面直線所成的角θ的取值范圍：_______________．空間兩條直線所成的角θ的取值范圍：_______________．課堂探究1.判斷正誤.(1)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也與已知直線垂直.()

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行.()√×牛刀小試2.（多選）下列說(shuō)法正確的有（

）A．異面直線a與b所成角可以是0°.B．若a⊥c，b⊥c，則a∥b.C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等.D．若a，b與c所成的角相等，則a∥b.E．若a∥b，a⊥c，則b⊥c.CE例1

如右圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？

(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.

(3)求直線BA′與AC所成角的大小.下底面有：AB，AD，BC，CD，(1)上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′，解：(2)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,

∴∠B′BA為直線BA′與CC′所成的角，

而∠B′BA=45°，

∴直線BA′與CC′所成角的大小為45°.典例精研例1

如右圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？

(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.

(3)求直線BA′與AC所成角的大小.(3)連接A′C′,BC′，易知CC′∥AA′且CC′=AA′

∴四邊形CC′A′A是平行四邊形，故A′C′∥AC

∴∠BA′C′為直線BA′與AC所成的角.

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等邊三角形，

∴∠BA′C′=60°，∴直線BA′與AC所成的角等于60°.典例精研BDCA'B'C'D'A

變式1

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝

，AA'＝2，求:

(1)直線BC和A'C'所成的角的大??；

(2)直線AA'和BC'所成的角的大小.解：(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,

∵BC∥B′C′,∴∠B′C′A′為直線BC與A′C′所成的角.在Rt△A′B′C′中，

A′B′=B′C′，

∴∠B′C′A′=45°.∴直線BC與A′C′所成的角的大小為45°.變式訓(xùn)練BDCA'B'C'D'A

變式1

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝

，AA'＝2，求:

(1)直線BC和A'C'所成的角的大??；

(2)直線AA'和BC'所成的角的大小.

變式訓(xùn)練總結(jié)提升求兩條異面直線所成的角的一般步驟1作：恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)（經(jīng)常在其中一條線上取一點(diǎn)），作出（常用平移法)異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)；2證：證明所作出的角(或其補(bǔ)角)就是所求異面直線所成的角；（證明線線平行）3求：通過(guò)解三角形或其他方法，求出所構(gòu)造的角的大小.（若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線所成角的大??；若90°<α<180°,則180°－α即為所求）例2

如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，求證：AO1⊥BD.BDCA1B1C1D1AO1?證明：如圖示，連接B1D1,AB1，AD1∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴

BB1//DD1且BB1//DD1，AB1=AD1∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1//BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為AO1與BD所成的角.又O1為底面A1B1C1D1的中心，∴O1是B1D1的中點(diǎn)，∴

AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.典例精研

變式訓(xùn)練證明兩直線垂直的常用方法(1)利用平面幾何的結(jié)論,如：矩形,等腰三角形的三線合一，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角;(2)定義法:即證明兩條直線夾角是90°;(3)利用一些事實(shí):兩條平行直線，若其中一條直線垂直另一條直線,則其平行線也垂直此直線.總結(jié)提升1.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值.解法一（中位線平移法）：解法二（補(bǔ)形平移法）：ABCDA1B1C1D1OMABCDA1B1C1D1EFE1F1122∠A1C1E(或補(bǔ)角)是直線A1C1與BD1所成的角∴直線A1C1與BD1所成的角的余弦值為∠AOM(或補(bǔ)角)是直線A1C1與BD1所成的角∴直線A1C1與BD1所成的角的余弦值為當(dāng)堂鞏固補(bǔ)形平移法

當(dāng)堂鞏固

3.在棱長(zhǎng)為4的正四面體A-BCD中，求異面直線AB和CD所成的角.解：取BC中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)F,連接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角MF=ME=2，EF=∴MF2+ME2=EF2∴∠EMF=90