必修四-任意角與弧度制-知識點(教師版)

PAGEPAGE5美博教育任意角與弧度制知識梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來的位置，繞著它的端點O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或可以簡記成。注意：（1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)”（2）“頂點”“始邊”“終邊”“始邊”往往合于軸正半軸（3）“正角”與“負角”——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例1、若，求和的范圍。（0,45）（180,270）2、角的分類：由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了?？梢詫⒔欠譃檎?、零角和負角。正角：按照逆時針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負角：按照順時針方向旋轉(zhuǎn)的角。例2、（1）時針走過2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是（2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是．3、“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角，角的頂點合于坐標(biāo)原點，角的始邊合于軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限，稱為軸線角。例1、30；390；330是第象限角300；60是第象限角585；1180是第象限角2000是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，則A∩B=（填序號）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不對（2）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C例3、寫出各個象限角的集合：例4、若是第二象限的角，試分別確定2,的終邊所在位置.解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），當(dāng)k=2n（n∈Z）時，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.∴是第一或第三象限的角.拓展：已知是第三象限角，問是哪個象限的角？∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜＜90°+k·120°.①當(dāng)k=3m(m∈Z)時，可得60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.故的終邊在第一象限.②當(dāng)k=3m+1(m∈Z)時，可得180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).故的終邊在第三象限.③當(dāng)k=3m+2（m∈Z）時，可得300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.三、弧長公式和扇形面積公式；例1、已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是1或4.例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為，求這連個角的大小分別為。例3、直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長⑴⑵例4、（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？（2）一扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？（七）任意角的三角函數(shù)（定義）設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y），則P與原點的距離2．比值叫做的正弦記作：；比值叫做的余弦記作：比值叫做的正切記作：；比值叫做的余切記作：比值叫做的正割記作：；比值叫做的余割記作：注意突出幾個問題：①角是“任意角”，當(dāng)=2k+(kZ)時，與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。②實際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)④，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確定三角函數(shù)在各象限的符號：⑤定義域：4.是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點，且cos=,則sin=..已知角的終邊落在直線y=-3x(x＜0)上，則2.例8、已知的終邊經(jīng)過點P(2,3)，求的六個三角函數(shù)值例9、求下列各角