2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）

第28頁（共28頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?商丘開學(xué)）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為PD，BC的中點(diǎn)，Q為AN的中點(diǎn)，記AB→=a→，AD→A．12a→-1C．12a→+2．（2025春?鹽城月考）若a→=(1，2，A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．293．（2025春?上海校級(jí)月考）已知向量a→，b→，c→A．b→+c→，b→，b→-c→ B．a(chǎn)→，a→+b→，a→-4．（2025?宿遷一模）若a→+b→=(-2A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．75．（2024秋?廊坊期末）若向量a→=(2，-3，1)A．4 B．5 C．6 D．76．（2024秋?湖北期末）已知向量a→A．a(chǎn)→∥b→ C．a(chǎn)→-b→7．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）若向量a→=（0，1，3），b→=（﹣1，2，1），c→=（1，0，A．5 B．6 C．7 D．88．（2025?玉溪校級(jí)模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，若PA→=a→，PB→=bA．12a→-1C．12a→-二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?濱?？h校級(jí)月考）以下四個(gè)命題中正確的是（）A．若非零空間向量a→，b→，c→B．若{a→，bC．縱坐標(biāo)為0的空間向量都共面 D．已知{a→，（多選）10．（2024秋?上城區(qū)校級(jí)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列選項(xiàng)中，能成為空間中的一組基底的為（）A．{DA→，DC→C．{A1B→（多選）11．（2024秋?大連校級(jí)期末）下列命題正確的是（）A．若a→∥b→，則存在唯一實(shí)數(shù)B．“|a→|=|bC．已知a→，b→為平面內(nèi)兩個(gè)不D．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA（多選）12．（2024秋?深圳期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列結(jié)論正確的有（）A．|ABB．OA→C．若n→=(4，2，t)D．若m→=(1，1，k三．填空題（共4小題）13．（2024秋?雁江區(qū)校級(jí)期末）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，y，z)，c→=(14．（2024秋?濟(jì)南期末）已知空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，1，﹣3），若m→⊥（m→-n→15．（2024秋?曲阜市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(1，2，1)16．（2024秋?樂山期末）已知a→=（﹣1，2，0），b→=（3，1，2），則a→-2b四．解答題（共4小題）17．（2024秋?永州期末）已知空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．（1）若向量AB→-kAC→（2）求△ABC的面積．18．（2024秋?開封期末）如圖，已知正四面體OABC的棱長為1，M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，記OA→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求|AN→|19．（2023秋?上饒期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且A1M→（1）試用a→，b（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．20．（2024秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→（1）求a→（2）求向量a→+2b

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DBDABDDC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCDACBCDBC一．選擇題（共8小題）1．（2025?商丘開學(xué)）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為PD，BC的中點(diǎn)，Q為AN的中點(diǎn)，記AB→=a→，AD→A．12a→-1C．12a→+【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合向量的加減法法則逐步轉(zhuǎn)化計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，AB→=a→，MQ→=1=1故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了向量的加減法法則，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?鹽城月考）若a→=(1，2，A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則分別求出a→+b【解答】解：a→=(1，所以2b→=2(-1所以a→故(a故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?上海校級(jí)月考）已知向量a→，b→，c→A．b→+c→，b→，b→-c→ B．a(chǎn)→，a→+b→，a→-【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的基本定理結(jié)合共面向量的定義逐項(xiàng)分析判斷．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→，b→，c→對于A：因?yàn)閎→=12(b→+c對于B：因?yàn)閍→=12(a→+b對于C：因?yàn)閍→+b→+c→所以a→+b→，a→對于D：假定向量a→+b→，則存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a→+b而向量a→，b→，c→不共面，則有λ1-1=0-(即向量a→+b→，a→故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的基本定理結(jié)合共面向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?宿遷一模）若a→+b→=(-2A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先求出a→，b【解答】解：∵a→+b∴a→=（1，﹣2，0），b→=（﹣3，∴a→?b→=-3故選：A．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?廊坊期末）若向量a→=(2，-3，1)A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律計(jì)算即得．【解答】解：根據(jù)題意可知，b→=(2，0，而a→=(2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?湖北期末）已知向量a→A．a(chǎn)→∥b→ C．a(chǎn)→-b→【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長定義即得．【解答】解：因?yàn)閍→對于A選項(xiàng)，由a→=λb→可得：（1，﹣3，﹣2）＝λ（3，2，﹣5對于B選項(xiàng)，由a→?b→=3+(-6)+10=7≠0對于C選項(xiàng)，a→-b對于D選項(xiàng)，|a→|=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法、模長定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）若向量a→=（0，1，3），b→=（﹣1，2，1），c→=（1，0，A．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．【解答】解：b→=（﹣1，2，1），c→=（1，則b→向量a→=（0，1，則a→?（b→+c→故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．8．（2025?玉溪校級(jí)模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，若PA→=a→，PB→=bA．12a→-1C．12a→-【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可．【解答】解：連接BD，∵E為PD的中點(diǎn)，若PA→=a→，則BE=-=-故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?濱?？h校級(jí)月考）以下四個(gè)命題中正確的是（）A．若非零空間向量a→，b→，c→B．若{a→，bC．縱坐標(biāo)為0的空間向量都共面 D．已知{a→，【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】將向量想象為正方體三條相鄰的棱可判斷A；根據(jù)基底的性質(zhì)判斷B；由縱坐標(biāo)都為0的向量都與平面xOz平行判斷C；假設(shè)c→，a→+【解答】解：非零空間向量a→，b則以正方體三條相鄰的棱為例，易知a→根據(jù)基底的性質(zhì)，a→縱坐標(biāo)都為0的向量都與平面xOz平行或在其內(nèi)，即它們都共面，對；若c→，a→+b→所以a→故{c故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024秋?上城區(qū)校級(jí)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列選項(xiàng)中，能成為空間中的一組基底的為（）A．{DA→，DC→C．{A1B→【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)正方體圖形直觀的判斷選項(xiàng)A正確；根據(jù)三個(gè)向量的共面的判斷方法即可判斷選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．【解答】解：空間中的一組基底由3個(gè)不共面的向量構(gòu)成，對于A，{DA→，對于B，∴BB1→∴AC→，A1C→，對于C，∵A1B→，BD1→在平面A1BCD1上，而DC∴DC→，A1B→，B對于D，∵B1D1→=BD→故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024秋?大連校級(jí)期末）下列命題正確的是（）A．若a→∥b→，則存在唯一實(shí)數(shù)B．“|a→|=|bC．已知a→，b→為平面內(nèi)兩個(gè)不D．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；充要條件的判斷；平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】A，若a→、b→為零向量，則λ不唯一，即可判斷；B，根據(jù)充分、必要性的定義，結(jié)合條件間的推出關(guān)系判斷；C，根據(jù)基底的性質(zhì)判斷；【解答】解：選項(xiàng)A：若a→、b→為零向量，滿足但λ不唯一，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若|a→|=|b→顯然a→若a→=b故“|a→|=|b→選項(xiàng)C：設(shè)a→又a→，b則有1=-λ1=3所以a→+故{a→+選項(xiàng)D：由重心是中線的交點(diǎn)，如圖所示，BGCD為平行四邊形，AD過BC的中點(diǎn)，則GC→+GB故GA→+GB故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理及空間向量的線性運(yùn)算，考查充要條件的判定，屬中檔題．（多選）12．（2024秋?深圳期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列結(jié)論正確的有（）A．|ABB．OA→C．若n→=(4，2，t)D．若m→=(1，1，k【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，得到向量OA→=(1，2，【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），所以AB→=(-1，-1對于A，故|AB→|=對于B，可得OA→?OB對于C，若n→=(4，2，t)，且n→⊥對于D，若m→=(1，1，k)且m→∥AB→故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的相關(guān)知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?雁江區(qū)校級(jí)期末）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，y，z)，c→=(【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】由已知可得出a→?c→=0，可求出x的值，可得出向量c→的坐標(biāo)，再利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求出y、z的值，可得出向量【解答】解：a→=(1，1，則a→?c→=x-b→=(1，則12=y-4=z2，解得故b→所以a→故|a故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?濟(jì)南期末）已知空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，1，﹣3），若m→⊥（m→-n→【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：若m→⊥（m則m→空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，則a2+9+1﹣（4a+3+3）＝0，解得a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?曲阜市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(1，2，1)【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣8．【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出c→【解答】解：因?yàn)閍→=(1，1，x)所以(c→+a→故答案為：﹣8．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024秋?樂山期末）已知a→=（﹣1，2，0），b→=（3，1，2），則a→-2b→=（﹣【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（﹣7，0，﹣4）．【分析】結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：a→=（﹣1，2，0），b→=（3，則a→-2b→=（﹣1，2，0）﹣（6，2，4）＝（﹣7，故答案為：（﹣7，0，﹣4）．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?永州期末）已知空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．（1）若向量AB→-kAC→（2）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）1；（2）1652【分析】（1）求出AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），AB→-kAC→=（1﹣5k，﹣4k（2）由AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），求出cos＜AB→，AC→＞，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出【解答】解：（1）空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0），AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），AB→-kAC→=（1∵向量AB→-k∴（AB→-kAC→）?AB→=1﹣5k﹣解得實(shí)數(shù)k＝1；（2）∵AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，∴cos＜AB→，∴sin＜AB∴△ABC的面積為：S==1=165【點(diǎn)評】本題考查向量運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（2024秋?開封期末）如圖，已知正四面體OABC的棱長為1，M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，記OA→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求|AN→|【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）AN→（2）114【分析】（1）由空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）由向量的模長公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解．【解答】解：（1）由題意，OA→=a→，且M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，則AN=-（2）因?yàn)檎拿骟wOABC的棱長為1，則|a→|=|所以|=a=9【點(diǎn)評】本題考查空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．19．（2023秋?上饒期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且A1M→（1）試用a→，b（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）MN→（2）113【分析】（1）利用向量加減法及向量數(shù)乘的幾何意義，基底法表示MN→（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解向量的模．【解答】解：（1）因?yàn)锳1M→=2MB所以MN→又因?yàn)锳B→=a→，AC→（2）因?yàn)椤螧AC＝90°，所以a→因?yàn)锳B＝AC＝AA1＝1，所以|a因?yàn)椤螧AA1＝∠CAA1＝60°，所以a→所以|MN所以|MN【點(diǎn)評】本題考查空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題．20．（2024秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→（1）求a→（2）求向量a→+2b【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）a→（2）-3【分析】（1）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和模的公式計(jì)算；（2）利用數(shù)量積的公式計(jì)算．【解答】解：（1）因?yàn)橄蛄縜→由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可知：a→+b→=（2，﹣1，2）+（1，4，1）＝（3a→-b（2）設(shè)a→-b→與a→a→+2b→=（4，7，4），|a→+2b→|=9所以cosθ=所以向量a→-b→與【點(diǎn)評】本題局空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，模的求法，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．充要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號(hào)表示為P?Q．充要條件在數(shù)學(xué)中非常重要，因?yàn)樗鼈儽硎緝蓚€(gè)條件是等價(jià)的．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充要條件，需要分別驗(yàn)證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通常可以通過邏輯推理和實(shí)例驗(yàn)證來進(jìn)行判斷．對于復(fù)雜問題，可以分步驟進(jìn)行驗(yàn)證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質(zhì)等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．2．平面向量的平行向量（共線向量）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與AE→解：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以圖中與AE→平行的向量有EB→，DF→，F(xiàn)C3．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．4．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．5．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．6．空間向量基底表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷