2025屆山東省莒縣八下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆山東省莒縣八下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1.某學(xué)習(xí)小組7位同學(xué),為玉樹(shù)地重災(zāi)區(qū)捐款,捐款金額分別為:5元,10元,6元,6元,7元,8元,9元,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別為()A.6,6 B.7,6 C.7,8 D.6,82.如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)。設(shè)PC的長(zhǎng)度為x,PE與PB的長(zhǎng)度和為y,圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,則圖象上最低點(diǎn)H的坐標(biāo)為()A.(1,2) B.() C. D.3.下列函數(shù)中,是正比例函數(shù)的是()A. B. C. D.4.下列式子中,屬于最簡(jiǎn)二次根式的是A. B. C. D.5.隨著科技水平的提高,某種電子產(chǎn)品的價(jià)格呈下降趨勢(shì),今年年底的價(jià)格是兩年前的.設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x,則根據(jù)題意可列出方程()A.1﹣2x B.2(1﹣x) C.(1﹣x)2 D.x(1﹣x)6.下列曲線中不能表示是的函數(shù)的是A. B.C. D.7.如圖,在中,,點(diǎn)是外一點(diǎn),連接、、,且交于點(diǎn),在上取一點(diǎn),使得,.若,則的度數(shù)為A. B. C. D.8.某跳遠(yuǎn)隊(duì)準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁4名運(yùn)動(dòng)員中選取成績(jī)好且穩(wěn)定的一名選手參賽,經(jīng)測(cè)試,他們的成績(jī)?nèi)缦卤?,綜合分析應(yīng)選()成績(jī)甲乙丙丁平均分(單位:米)6.06.15.54.6方差0.80.20.30.1A.甲 B.乙 C.丙 D.丁9.若點(diǎn)P(-2,a)在第二象限,則a的值可以是()A.1 B.-1 C.0 D.-210.下列命題中,有幾個(gè)真命題()①同位角相等②直角三角形的兩個(gè)銳角互余③平行四邊形的對(duì)角線互相平分且相等④對(duì)頂角相等A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題(每小題3分,共24分)11.如圖,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,BD:DC=2:1,BC=7.8cm,則D到AB的距離為_(kāi)___cm.12.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是度.13.方程的解為_(kāi)_________.14.一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示,則不等式kx+b<0的解集為_(kāi)_________.15.利用計(jì)算機(jī)中“幾何畫(huà)板”軟件畫(huà)出的函數(shù)和的圖象如圖所示.根據(jù)圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為3個(gè),若m,n分別為方程和的解,則m,n的大小關(guān)系是________.16.如圖,矩形中,,,將矩形沿折疊,點(diǎn)落在點(diǎn)處.則重疊部分的面積為_(kāi)_____.17.如圖,AB∥CD,∠B=68°,∠E=20°,則∠D的度數(shù)為.18.若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______.三、解答題(共66分)19.(10分)某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元,銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn);(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái),其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍,設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái),這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元.①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái),才能使銷售總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?20.(6分)(1)解方程組;(2)解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).21.(6分)如圖,在矩形紙片中,,.將矩形紙片折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,求折痕的長(zhǎng).22.(8分)如圖,△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F,且AF=CD,連接CF.(1)求證:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.23.(8分)某乳品公司向某地運(yùn)輸一批牛奶,若由鐵路運(yùn)輸,每千克牛奶只需運(yùn)費(fèi)0.60元;若由公路運(yùn)輸,不僅每千克牛奶需運(yùn)費(fèi)0.30元,而且還需其他費(fèi)用600元.設(shè)該公司運(yùn)輸這批牛奶為x千克,選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)所需費(fèi)用為y1元;選擇公路運(yùn)輸時(shí)所需費(fèi)用為y2元.(1)請(qǐng)分別寫(xiě)出y1,y2與x之間的關(guān)系式;(2)公司在什么情況下選擇鐵路運(yùn)輸比較合算?什么情況下選擇公路運(yùn)輸比較合算?24.(8分)定義:既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”,如圖1,在中,,,點(diǎn)、分別在邊、上,,連接、,點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn),且連接、.觀察猜想(1)線段與“等垂線段”(填“是”或“不是”)猜想論證(2)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接,,試判斷與是否為“等垂線段”,并說(shuō)明理由.拓展延伸(3)把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若,,請(qǐng)直接寫(xiě)出與的積的最大值.25.(10分)解方程(1)(2)26.(10分)(1)解方程:;(2)解不等式:2(x-6)+4≤3x-5,并將它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】

首先把所給數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排序,然后利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義就可以求出結(jié)果.【詳解】解:把已知數(shù)據(jù)按從小到大的順序排序后為5元,1元,1元,7元,8元,9元,10元,∴中位數(shù)為7∵1這個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多,∴眾數(shù)為1.故選B.【點(diǎn)睛】本題結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的能力.注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序,然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù),如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè),則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).眾數(shù)只要找次數(shù)最多的即可.2、C【解析】

如圖,連接PD.由B、D關(guān)于AC對(duì)稱,推出PB=PD,推出PB+PE=PD+PE,推出當(dāng)D、P、E共線時(shí),PE+PB的值最小,觀察圖象可知,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),PE+PB=3,推出AE=EB=1,AD=AB=2,分別求出PB+PE的最小值,PC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.【詳解】如圖,連接PD.∵B、D關(guān)于AC對(duì)稱,∴PB=PD,∴PB+PE=PD+PE,∴當(dāng)D、P、E共線時(shí),PE+PB的值最小,如下圖:當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),PE+PB=3,,AD=AB=2在RT△AED中,DE=點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為H故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),解題關(guān)鍵在于熟練掌握正方形性質(zhì)及計(jì)算法則.3、B【解析】

正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k≠0).【詳解】解:A.該函數(shù)不符合y=kx(k為常數(shù)且k≠0)的形式,自變量的次數(shù)是2,屬于二次函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.該函數(shù)符合y=kx(k為常數(shù)且k≠0)的形式,是正比例函數(shù),故本選項(xiàng)正確;

C.該函數(shù)不符合y=kx(k為常數(shù)且k≠0)的形式,自變量的次數(shù)是-1,屬于反比例函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D.該函數(shù)不符合y=kx(k為常數(shù)且k≠0)的形式,是一次函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義.解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件:正比例函數(shù)y=kx的定義條件是:k為常數(shù)且k≠0,自變量次數(shù)為1.4、B【解析】

判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法,就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是否同時(shí)滿足,同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式,否則就不是.∵,∴屬于最簡(jiǎn)二次根式.故選B.5、C【解析】

設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x,該電子產(chǎn)品兩年前的價(jià)格為a元,根據(jù)該電子產(chǎn)品兩年前的價(jià)格及今年的價(jià)格,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,此題得解.【詳解】設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x,該電子產(chǎn)品兩年前的價(jià)格為a元,根據(jù)題意得:a(1﹣x)2a,即(1﹣x)2,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,弄清題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)槭堑暮瘮?shù)時(shí),只能一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y值,故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖像的性質(zhì).7、C【解析】

利用等腰三角形的性質(zhì),得到∠ADE=68°,由三角形外角性質(zhì)即可求出∠AEB.【詳解】解:由題意,,∵,∴∠ADE=,∴∠AEB=44°+68°=112°;故選擇:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求出∠ADE的度數(shù).8、B【解析】

根據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可判斷.【詳解】∵4位運(yùn)動(dòng)員的平均分乙最高,甲成績(jī)也很好,但是乙的方差較小,故選乙故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查利用平均數(shù)、方差作決策,解題的關(guān)鍵是熟知平均數(shù)、方差的性質(zhì).9、A【解析】

根據(jù)第二象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是正數(shù)判斷.【詳解】∵點(diǎn)P(-2,a)在第二象限,∴a>0,∴1、0、-1、-2四個(gè)數(shù)中,a的值可以是1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征,記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵,四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).10、B【解析】

解:①只有在兩直線平行的前提下,同位角才相等,錯(cuò)誤;②直角三角形的兩個(gè)銳角互余,正確;③平行四邊形的對(duì)角線互相平分,不一定相等,錯(cuò)誤;④對(duì)頂角相等,正確故選B二、填空題(每小題3分,共24分)11、2.1【解析】試題分析:先要過(guò)D作出垂線段DE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD=DE,再根據(jù)已知即可求得D到AB的距離的大?。猓哼^(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC∴CD=DE又BD:DC=2:1,BC=7.8cm∴DC=7.8÷(2+1)=7.8÷3=2.1cm.∴DE=DC=2.1cm.故填2.1.點(diǎn)評(píng):此題主要考查角平分線的性質(zhì);根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等進(jìn)行解答,各角線段的比求出線段長(zhǎng)是經(jīng)常使用的方法,比較重要,要注意掌握.12、135【解析】

根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理:(n﹣2)?180°(n≥3且n為正整數(shù))求出內(nèi)角和,然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可.【詳解】正八邊形的內(nèi)角和為:(8﹣2)×180°=1080°,每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為:1080°÷8=135°,故答案為135.13、0【解析】

先去分母轉(zhuǎn)化為一次方程即可解答.【詳解】解:原式去分母得1-x-(x+1)=0,得x=0.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法,掌握步驟是解題關(guān)鍵.14、x<1【解析】解:∵y=kx+b,kx+b<0,∴y<0,由圖象可知:x<1.故答案為x<1.15、【解析】

的解可看作函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值,可看作函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值,根據(jù)兩者橫坐標(biāo)的大小可判斷m,n的大小.【詳解】解:作出函數(shù)的圖像,與函數(shù)和的圖象分別交于一點(diǎn),所對(duì)的橫坐標(biāo)即為m,n的值,如圖所示由圖像可得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,將方程的解與函數(shù)圖像相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.16、10【解析】

根據(jù)翻折的特點(diǎn)得到,.設(shè),則.在中,,即,解出x,再根據(jù)三角形的面積進(jìn)行求解.【詳解】∵翻折,∴,,又∵,∴,∴.設(shè),則.在中,,即,解得,∴,∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟知翻折的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.17、48°【解析】試題分析:因?yàn)锳B∥CD,∠B=68°,所以∠CFE=∠B=68°,又∠CFE=∠D+∠E,∠E=20°,所以∠D=∠CFE-∠E=68°-20°=48°.考點(diǎn):1.平行線的性質(zhì)2.三角形的外角的性質(zhì)18、8【解析】

解:設(shè)邊數(shù)為n,由題意得,180(n-2)=3603解得n=8.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8.三、解答題(共66分)19、(1)A型:100元,B型:150元;(2)①y=-50x+15000;②34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型,利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是1元【解析】

(1)設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元,每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元;然后根據(jù)銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元,銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元列出方程組,然后求解即可;(2)①根據(jù)總利潤(rùn)等于兩種電腦的利潤(rùn)之和列式整理即可得解;②根據(jù)B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍列不等式求出x的取值范圍,然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出利潤(rùn)的最大值即可.【詳解】解:(1)設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元,每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元;根據(jù)題意得,解得.答:每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為100元,每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元;(2)①根據(jù)題意得,y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000;②據(jù)題意得,100-x≤2x,解得x≥33,∵y=-50x+15000,∴y隨x的增大而減小,∵x為正整數(shù),∴當(dāng)x=34時(shí),y取最大值,則100-x=66,此時(shí)最大利潤(rùn)是y=-50×34+15000=1.即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是1元.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,讀懂題目信息,準(zhǔn)確找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵,利用一次函數(shù)的增減性求最值是常用的方法,需熟練掌握.20、(1);(2)-2≤x<0,見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)加減消元法解方程即可求解;(2)先求出每個(gè)不等式的解集,再根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.【詳解】解:(1),②×3-①×2得5x=15,解得:x=3,把x=3代入②得3×3-2y=7,解得:y=1.故原方程組的解為;(2),解不等式①得:x<0,解不等式②得:x≥-2,故不等式組的解集為-2≤x<0,在數(shù)軸上表示為:【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集、解二元一次方程組,能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解(1)的關(guān)鍵,能根據(jù)不等式的解找出不等式組的解集是解(2)的關(guān)鍵.21、.【解析】

過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BC于E,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以得出BH=DH,由勾股定理就可以得出GH的值.【詳解】解:如圖,∵四邊形與四邊形關(guān)于對(duì)稱,∴四邊形四邊形,∴,,,.∵四邊形是矩形,∴,,,,∴,∴,∴.∴.∵,,∴,.設(shè),則,由勾股定理,得,解得:.∴,∴,∴.在中,由勾股定理,得.答:.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用,軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,解答時(shí)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2)四邊形ADCF是矩形,證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由AF∥BC得∠AFE=∠EBD,繼而結(jié)合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等;(2)根據(jù)AB=AC,且AD是BC邊上的中線可得∠ADC=90°,由四邊形ADCF是矩形可得答案.【詳解】(1)∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB(AAS);(2)連接DF,∵AF∥CD,AF=CD,∴四邊形ADCF是平行四邊形,∵△AEF≌△DEB,∴BE=FE,∵AE=DE,∴四邊形ABDF是平行四邊形,∴DF=AB,∵AB=AC,∴DF=AC,∴四邊形ADCF是矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23、(1)y1=0.6x,y2=0.3x+600;(2)當(dāng)運(yùn)輸牛奶大于0kg小于2000kg時(shí),選擇鐵路運(yùn)輸比較合算;當(dāng)運(yùn)輸牛奶大于2000kg時(shí),選擇公路運(yùn)輸比較合算.【解析】

(1)選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)所需的費(fèi)用y1=每千克運(yùn)費(fèi)0.6元×牛奶重量,選擇公路運(yùn)輸時(shí)所需的費(fèi)用y2=每千克運(yùn)費(fèi)0.3元×牛奶重量+600元;(2)當(dāng)選擇鐵路運(yùn)輸比較合算時(shí)y1<y2,進(jìn)而可得不等式0.6x<0.3x+600,當(dāng)選擇公路運(yùn)輸比較合算時(shí),0.6x>0.3x+600,分別解不等式即可.【詳解】解:(1)由題意得:y1=0.6x,y2=0.3x+600;(2)當(dāng)選擇鐵路運(yùn)輸比較合算時(shí),0.6x<0.3x+600,解得:x<2000,∵x>0,∴0<x<2000,當(dāng)選擇公路運(yùn)輸比較合算時(shí),0.6x>0.3x+600,解得:x>2000,答:當(dāng)運(yùn)輸牛奶大于0kg小于2000kg時(shí),選擇鐵路運(yùn)輸比較合算;當(dāng)運(yùn)輸牛奶大于2000kg時(shí),選擇公路運(yùn)輸比較合算.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式.24、(1)是;(2)是,理由詳見(jiàn)解析;(3)49【解析】

(1)根據(jù)題意,利用等腰三角形和三角形中位線定理得出,∠MPN=90°判定即可;(2)由旋轉(zhuǎn)和三角形中位線的性質(zhì)得出,再由中位線定理進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換,得出∠MPN=90°,即可判定;(3)由題意,得出最大時(shí),與的積最大

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