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2025屆廣東省東莞市虎門外語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1.如圖,在平行四邊形ABCD中,∠B=70°,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,CF∥AE交AE于點(diǎn)F,則∠1=()A.45° B.55° C.50° D.60°2.矩形的長(zhǎng)為x,寬為y,面積為8,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致為()A. B.C. D.3.如圖,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E為CD上一點(diǎn),且DE=1,F(xiàn)為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)P,交直線AB于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中:①AF=EG;②若∠BAF=∠PCF,則PC=PE;③當(dāng)∠CPF=45°時(shí),BF=1;④PC的最小值為﹣1.其中正確的有()A.1個(gè) B.1個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.如圖所示,在平行四邊形中,對(duì)角線和相交于點(diǎn),交于點(diǎn),若,則的長(zhǎng)為()A. B. C. D.5.如圖,在?ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).若OE=1cm,則AD的長(zhǎng)是()cm.A.2 B.3 C.4 D.56.若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=﹣x+1平行,且過(guò)點(diǎn)(8,2),則此一次函數(shù)的解析式為()A.y=﹣x﹣2 B.y=﹣x﹣6 C.y=﹣x﹣1 D.y=﹣x+107.要使二次根式有意義,則x的取值范圍是()A.x<3 B.x≤3 C.x>3 D.x≥38.如圖,在?ABCD中,下列結(jié)論不一定正確的是()A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.AB=CD D.∠BAD=∠BCD9.將分式方程化為整式方程,方程兩邊可以同時(shí)乘()A.x﹣2 B.x C.2(x﹣2) D.x(x﹣2)10.下列計(jì)算正確的是A. B.C. D.二、填空題(每小題3分,共24分)11.化簡(jiǎn):_______.12.已知,是二元一次方程組的解,則代數(shù)式的值為_(kāi)____.13.如果多邊形的每個(gè)外角都是45°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____.14.小華用S2={(x1-8)2+(x2-8)2+……+(x10-8)2計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,那么x1+x2+x3+…+x10=____________.15.在函數(shù)y=x+2x中,自變量x的取值范圍是_______16.某縣為了節(jié)約用水,自建了一座污水凈化站,今年一月份凈化污水3萬(wàn)噸,三月份增加到3.63萬(wàn)噸,則這兩個(gè)月凈化的污水量每月平均增長(zhǎng)的百分率為_(kāi)_____.17.如圖,△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE是中位線,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____.18.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足為D,AD=8,DB=2,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)____.三、解答題(共66分)19.(10分)某書店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書共100本,購(gòu)書款不高于2224元,預(yù)這100本圖書全部售完的利潤(rùn)不低于1100元,兩種圖書的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示:甲種圖書乙種圖書進(jìn)價(jià)(元/本)1628售價(jià)(元/本)2640請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)書店有多少種進(jìn)書方案?(2)在這批圖書全部售出的條件下,(1)中的哪種方案利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(請(qǐng)你用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)來(lái)解決)20.(6分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn),線段BE垂直于∠BAC的平分線于點(diǎn)D,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn),連接DM.(1)求證:DM=CE;(2)若AD=6,BD=8,DM=2,求AC的長(zhǎng).21.(6分)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=6cm,BC=10cm,∠B=60°,G是CD的中點(diǎn),E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn),EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接CE、DF.(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;(2)當(dāng)AE的長(zhǎng)是多少時(shí),四邊形CEDF是矩形?22.(8分)小倩和爸爸、媽媽到人民公園游玩,回到家后,她利用平面直角坐標(biāo)系畫出了公園的景區(qū)地圖,如圖所示.可是她忘記了在圖中標(biāo)出原點(diǎn)和x軸、y軸;只知道游樂(lè)園D的坐標(biāo)為(2,﹣2).(1)畫出平面直角坐標(biāo)系;(2)求出其他各景點(diǎn)的坐標(biāo).23.(8分)如圖,已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中,∠ABC=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AB,AD邊上的動(dòng)點(diǎn),滿足,連接EF交AC于點(diǎn)G,CE、CF分別交BD于點(diǎn)M,N,給出下列結(jié)論:①△CEF是等邊三角形;②∠DFC=∠EGC;③若BE=3,則BM=MN=DN;④;⑤△ECF面積的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______24.(8分)如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,請(qǐng)按要求完成下列各題:(1)畫線段,且使,連接;(2)線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______,的長(zhǎng)為_(kāi)_______,的長(zhǎng)為_(kāi)_______;(3)是________三角形,四邊形的面積是________;(4)若點(diǎn)為的中點(diǎn),為,則的度數(shù)為_(kāi)_______.25.(10分)如圖所示,ΔABC的頂點(diǎn)在8×8的網(wǎng)格中的格點(diǎn)上.(1)畫出ΔABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點(diǎn)D,并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形,使其為中心對(duì)稱圖形.26.(10分)(1)操作思考:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰Rt△ACB的直角頂點(diǎn)C在原點(diǎn),將其繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),若頂點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)(1,2)處.則①OA的長(zhǎng)為;②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(直接寫結(jié)果);(2)感悟應(yīng)用:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,將等腰Rt△ACB如圖放置,直角頂點(diǎn)C(-1,0),點(diǎn)A(0,4),試求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;(3)拓展研究:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B(4;3),過(guò)點(diǎn)B作BAy軸,垂足為點(diǎn)A;作BCx軸,垂足為點(diǎn)C,P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn).問(wèn)是否存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△APQ,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行和角平分線的定義,以及平行線的性質(zhì)求∠1的度數(shù)即可.【詳解】:解:∵AD∥BC,∠B=70°,
∴∠BAD=180°-∠B=110°.
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAD=55°.
∴∠AEB=∠DAE=55°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=55°.
故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】
根據(jù)矩形面積計(jì)算公式即可解答.【詳解】解:由矩形的面積8=xy,可知它的長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(x>0),是反比例函數(shù)圖象,且其圖象在第一象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的面積計(jì)算公式,注意x,y的取值范圍是解題關(guān)鍵.3、C【解析】
連接AE,過(guò)E作EH⊥AB于H,則EH=BC,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到AF=EG,故①正確;根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到PE=PC;故②正確;連接EF,推出點(diǎn)E,P,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得到∠FEC=∠FPC=45°,于是得到BF=DE=1,故③正確;取AE的中點(diǎn)O,連接PO,CO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=PO=AE,推出點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,AE為直徑的圓上,當(dāng)O、C、P共線時(shí),CP的值最小,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到PC≥OC﹣OP,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【詳解】連接AE,過(guò)E作EH⊥AB于H,則EH=BC,∵AB=BC,∴EH=AB,∵EG⊥AF,∴∠BAF+∠AGP=∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EGH=∠AFB,∵∠B=∠EHG=90°,∴△HEG≌△ABF(AAS),∴AF=EG,故①正確;∵AB∥CD,∴∠AGE=∠CEG,∵∠BAF+∠AGP=90°,∠PCF+∠PCE=90°,∵∠BAF=∠PCF,∴∠AGE=∠PCE,∴∠PEC=∠PCE,∴PE=PC;故②正確;連接EF,∵∠EPF=∠FCE=90°,∴點(diǎn)E,P,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,∴∠FEC=∠FPC=45°,∴EC=FC,∴BF=DE=1,故③正確;取AE的中點(diǎn)O,連接PO,CO,∴AO=PO=AE,∵∠APE=90°,∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,AE為直徑的圓上,∴當(dāng)O、C、P共線時(shí),CP的值最小,∵PC≥OC﹣OP,∴PC的最小值=OC﹣OP=OC﹣AE,∵OC==,AE==,∴PC的最小值為﹣,故④錯(cuò)誤,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓的綜合等知識(shí),借助圓的性質(zhì)解決線段的最小值是解答的關(guān)鍵.4、B【解析】
由平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,OE∥BC,可得OE是△ACD的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),即可求得AD的長(zhǎng).【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∵OE∥BC,
∴OE∥AD,
∴OE是△ACD的中位線,
∵OE=4cm,
∴AD=2OE=2×4=8(cm).
故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.5、A【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得出點(diǎn)O平分BD,則OE是三角形ABD的中位線,則AD=2OE,解:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BO=DO,∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴OE為△ABD的中位線,∴AD=2OE,∵OE=1cm,∴AD=2cm.故選A.“點(diǎn)睛”本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理,是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.6、D【解析】
根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出k,然后把點(diǎn)P(﹣1,2)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式計(jì)算即可得解.【詳解】解:∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=﹣x+1平行,∴k=﹣1,∵一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(8,2),∴2=﹣8+b解得b=1,∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x+1.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查的是一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和求一次函數(shù)的解析式,掌握平行直線的解析式的k值相等和利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵.7、B【解析】分析:根據(jù)二次根式有意義的條件回答即可.詳解:由有意義,可得3-x≥0,解得:x≤3.故選B.點(diǎn)睛:本題考查了二次根式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是知道二次根式有意義,被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).8、B【解析】
由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD,由平行線的性質(zhì)可得∠1=∠1.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD∴∠1=∠1故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.9、D【解析】
找出兩個(gè)分式的公分母即可【詳解】分式方程化為整式方程,方程兩邊可以同時(shí)乘x(x﹣2),故選D【點(diǎn)睛】本題考查公分母有關(guān)知識(shí)點(diǎn),基礎(chǔ)知識(shí)牢固是解題關(guān)鍵10、D【解析】
根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】解:A、和不是同類二次根式,不能合并,故錯(cuò)誤;B、=2,故錯(cuò)誤;C、=,故錯(cuò)誤;D、==2,故正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】
將原式通分,再加減即可【詳解】==故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡(jiǎn)求值,解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則12、1【解析】
依據(jù)平方差公式求解即可.【詳解】,,.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二元一次方程組的解和平方差公式,發(fā)現(xiàn)所求代數(shù)式與已知方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13、1【解析】∵一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°,∴多邊形的邊數(shù)為360°÷45°=1.則這個(gè)多邊形是八邊形.14、1【解析】
根據(jù)S2=[(x1-8)2+(x2-8)2+……+(x10-8)2]可得平均數(shù)為8,進(jìn)而可得答案.【詳解】解:由S2=[(x1-8)2+(x2-8)2+……+(x10-8)2]知這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,則x1+x2+x3+…+x10=10×8=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】此題主要考查了方差公式,關(guān)鍵是掌握方差公式:一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為,則方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].15、x≥﹣2且x≠0【解析】根據(jù)題意得x+2≥0且x≠0,即x≥-2且x≠0.16、10%【解析】
本題為增長(zhǎng)率問(wèn)題,一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率),如果設(shè)這兩個(gè)月凈化的污水量平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,那么由題意可得出方程為3(1+x)2=3.63解方程即可求解.【詳解】解:設(shè)這兩個(gè)月凈化的污水量平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,由題意得3(1+x)2=3.63
解得x=0.1或-2.1(不合題意,舍去)
所以這兩個(gè)月凈化的污水量平均每月增長(zhǎng)的百分率為10%.【點(diǎn)睛】本題主要考查了增長(zhǎng)率問(wèn)題,一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量,b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.17、2【解析】
先由含30°角的直角三角形的性質(zhì),得出BC,再由三角形的中位線定理得出DE即可.【詳解】因?yàn)?,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,所以,,因?yàn)?,DE是中位線,所以,.故答案為2【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn):直角三角形,三角形中位線.解題關(guān)鍵點(diǎn):熟記直角三角形性質(zhì),三角形中位線性質(zhì).18、1【解析】試題解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足為D,AD=8,DB=2,∴CD2=AD?BD=8×2,則CD=1.三、解答題(共66分)19、(1)有3種購(gòu)書方案:甲種書:48本,乙種書:52本;甲種書:49本,乙種書:51本;甲種書:1本,乙種書:1本;(2)乙種書購(gòu)進(jìn)越多利潤(rùn)最大,1104元【解析】
(1)利用購(gòu)書款不高于2224元,預(yù)計(jì)這100本圖書全部售完的利潤(rùn)不低于1100元,結(jié)合表格中數(shù)據(jù)得出不等式組,求出即可;(2)根據(jù)乙種書利潤(rùn)較高,故乙種書購(gòu)進(jìn)越多利潤(rùn)最大,故購(gòu)進(jìn)甲種書:48種,乙種書:52本利潤(rùn)最大求出即可.【詳解】解:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圖書x本,則購(gòu)進(jìn)乙書(100﹣x)本,根據(jù)題意得出:,解得:48≤x≤1.故有3種購(gòu)書方案:甲種書:48本,乙種書:52本;甲種書:49本,乙種書:51本;甲種書:1本,乙種書:1本;(2)根據(jù)乙種書利潤(rùn)較高,故乙種書購(gòu)進(jìn)越多利潤(rùn)最大,故購(gòu)進(jìn)甲種書:48種,乙種書:52本利潤(rùn)最大為:48×(26﹣16)+52×(40﹣28)=1104(元).【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用以及最佳方案問(wèn)題,正確得出不等式關(guān)系是解題關(guān)鍵.20、(1)見(jiàn)解析(2)AC=1【解析】
(1)證△BAD≌△EAD,推出AB=AE,BD=DE,根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出DM=CE即可;
(2)根據(jù)勾股定理求出AB,求出AE,根據(jù)三角形的中位線求出CE,即可得出答案.【詳解】∵AD⊥BE,
∴∠ADB=∠ADE=90°,
∵AD為∠BAC的平分線,
∴∠BAD=∠EAD,
在△BAD和△EAD中,,
∴△BAD≌△EAD(SAS),
∴AB=AE,BD=DE,
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),
∴DM=CE
(2)∵在Rt△ADB中,∠ADB=90°,AD=6,BD=8,
∴由勾股定理得:AE=AB=,
∵DM=2,DM=CE,
∴CE=4,
∴AC=10+4=1.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線,勾股定理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△EAD,題目比較好,難度適中.21、(1)見(jiàn)解析;(2)時(shí),四邊形CEDF是矩形.【解析】
(1)先證明△GED≌△GFC,從而可得GE=GF,再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論;(2)當(dāng)AE的長(zhǎng)是7cm時(shí),四邊形CEDF是矩形,理由如下:作AP⊥BC于P,則∠APB=90°,求得BP=3cm,再證明△ABP≌△CDE,可得∠CED=∠APB=90°,再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可得.【詳解】(1)四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD//BF,∴∠DEF=∠CFE,∠EDC=∠FCD,∵GD=GC,∴△GED≌△GFC,∴GE=GF,∵GD=GC,GE=GF,∴四邊形CEDF是平行四邊形;(2)當(dāng)AE的長(zhǎng)是7cm時(shí),四邊形CEDF是矩形,理由如下:作AP⊥BC于P,則∠APB=∠APC=90°,∵∠B=60°,∴∠PAB=90°-∠B=30°,∴BP=AB==3cm,四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠CDE=∠B=60°,DC=AB=6cm,AD=BC=10cm,∵AE=7cm,∴DE=AD-AE=3cm=BP,∴△ABP≌△CDE,∴∠CED=∠APB=90°,又∵四邊形CEDF是平行四邊形,∴平行四邊形CEDF是矩形,即當(dāng)AE=7cm時(shí),四邊形CEDF是矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.22、A(0,4),B(﹣3,2),C(﹣2,﹣1),E(3,3),F(xiàn)(0,0).【解析】
(1)已知游樂(lè)園的坐標(biāo)為(2,-2),將該點(diǎn)向左平移兩個(gè)單位、再向上平移兩個(gè)單位,即可得到原點(diǎn)(0,0)的位置;接下來(lái),以(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平向右的方向?yàn)閤軸正半軸,以豎直向上的方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系即可;(2)根據(jù)(1)中的坐標(biāo)系和其他各景點(diǎn)的位置即可確定它們的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可得,建立的平面直角坐標(biāo)系如圖所示.(2)由平面直角坐標(biāo)系可知,音樂(lè)臺(tái)A的坐標(biāo)為(0,4),湖心亭B的坐標(biāo)為(-3,2),望春亭C的坐標(biāo)為(-2,-1),游樂(lè)園D的坐標(biāo)為(2,-2),牡丹園E的坐標(biāo)為(3,3).【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)確定位置.23、①②③⑤【解析】
由“SAS”可證△BEC≌△AFC,可得CF=CE,∠BCE=∠ACF,可證△EFC是等邊三角形,由三角形內(nèi)角和定理可證∠DFC=∠EGC;由等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求MN=DN=BM=;由勾股定理即可求解EF2=BE2+DF2不成立;由等邊三角形的性質(zhì)可得△ECF面積的EC2,則當(dāng)EC⊥AB時(shí),△ECF的最小值為.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=6,∵AC=BC,∴AB=BC=CD=AD=AC,∴△ABC,△ACD是等邊三角形,∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=∠DAC=60°,∵AC=BC,∠ABC=∠DAC,AF=BE,∴△BEC≌△AFC(SAS)∴CF=CE,∠BCE=∠ACF,∴∠ECF=∠BCA=60°,∴△EFC是等邊三角形,故①正確;∵∠ECF=∠ACD=60°,∴∠ECG=∠FCD,∵∠FEC=∠ADC=60°,∴∠DFC=∠EGC,故②正確;若BE=3,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∴點(diǎn)E為AB中點(diǎn),點(diǎn)F為AD中點(diǎn),∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∠ABO=∠ABC=30°,∴AO=AB=3,BO=AO=,∴BD=,∵△ABC是等邊三角形,BE=AE=3,∴CE⊥AB,且∠ABO=30°,∴BE=EM=3,BM=2EM,∴BM=,同理可得DN=,∴MN=BD?BM?DN=,∴BM=MN=DN,故③正確;∵△BEC≌△AFC,∴AF=BE,同理△ACE≌△DCF,∴AE=DF,∵∠BAD≠90°,∴EF2=AE2+AF2不成立,∴EF2=BE2+DF2不成立,故④錯(cuò)誤,∵△ECF是等邊三角形,∴△ECF面積的EC2,∴當(dāng)EC⊥AB時(shí),△ECF面積有最小值,此時(shí),EC=,△ECF面積的最小值為,故⑤正確;故答案為:①②③⑤.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí),熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.2
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