專題21探究與表達規(guī)律專項訓練

專題21探究與表達規(guī)律專項訓練1.通過具體的問題情境，經(jīng)歷在實際問題中探索規(guī)律的過程。2.能歸納具體問題中蘊含的規(guī)律，用代數(shù)式表示，并通過計算驗證。3.在解決問題過程中體驗類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，培優(yōu)良好的思維品質(zhì)。1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論.有時候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件.一般有下列幾個類型：1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系.2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系.3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關(guān)系.4）圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù).5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.2.常見的數(shù)列規(guī)律：1）1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．2）2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．3）2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．4）2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．5），，，，，，…，（為正整數(shù)）．6）特殊數(shù)列：①三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21，…，.②斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和.【題型一】數(shù)列的規(guī)律【典題1】（2021?沂南縣模擬）觀察下列兩行數(shù)：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是0，第2個相同的數(shù)是6，…，若第n個相同的數(shù)是102，則n等于（）A．20 B．19 C．18 D．17【分析】由所給的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是0＝6×（1﹣1），第2個相同的數(shù)是6＝6×（2﹣1），第3個相同的數(shù)為12＝6×（3﹣1），…，從而可得其規(guī)律：第n個相同的數(shù)為：6（n﹣1），則可求解．【解答】解：∵第1個相同的數(shù)是0＝6×（1﹣1），第2個相同的數(shù)是6＝6×（2﹣1），第3個相同的數(shù)為12＝6×（3﹣1），…，∴第n個相同的數(shù)為：6（n﹣1），∴6（n﹣1）＝102，解得：n＝18．故選：C．【典題2】（2021·云南七年級模擬）有一組數(shù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，這一組數(shù)的第n個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點，從而可以寫出第n個數(shù)．【詳解】解：一組數(shù)為∴這組數(shù)據(jù)第1個數(shù)為：，第2個數(shù)為：，第3個數(shù)為：…∴第n個數(shù)為：故選：C【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應(yīng)的數(shù)字．【變式練習】1.（2021·福建省漳州第一中學七年級開學考試）觀察下列各項：，，，，…，依此規(guī)律下去，則第7項是__________；第項是__________．【答案】【分析】觀察可知：整數(shù)部分是從1開始的自然數(shù)，分數(shù)部分的分子為1，分母為從2開始的自然數(shù)的兩倍，據(jù)此可得．【詳解】解：=，=，=，=，…∴第7項是，第n項是，故答案為：，．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，利用規(guī)律解決問題．2.（2021?韶關(guān)一模）按規(guī)律排列的一列數(shù)：，，，，，…，則第2021個數(shù)是QUOTE．【分析】由所給的數(shù)可得，奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，其分母為3n﹣1，據(jù)此即可作答．【解答】解：∵，，，，，…，∴第n個數(shù)為：，∴第2021個數(shù)為：．故答案為：．【題型二】數(shù)表的規(guī)律【典題1】（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【答案】B【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出來，再結(jié)合值等于789，可求相應(yīng)的n的值，即可判斷．【詳解】解：由題意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，則n不是整數(shù)，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，則n不是整數(shù)，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，則n是整數(shù)，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，則n不是整數(shù)，故B3的值不可以等于789；故選：B．【點睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字變化類，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得出相應(yīng)的式子．【典題2】（2021?廣漢市模擬）右邊是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2021應(yīng)該排在從上向下數(shù)的第m行，是該行中的從左向右數(shù)的第n個數(shù)，那么m+n的值是（）A．131 B．130 C．129 D．128【分析】每行的最后一個數(shù)是這個行的行數(shù)m的平方，第m行的數(shù)字的個數(shù)是2m﹣1，所以2021在第45行，45行最后一個數(shù)字是2025，從2025往前數(shù)4個數(shù)據(jù)得到2021，進而得出2021是第85個數(shù)據(jù)，從而得出答案．【解答】解：∵每行的最后一個數(shù)是這個行的行數(shù)m的平方，第m行的數(shù)字的個數(shù)是2m﹣1，∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一個數(shù)字是2025，第45行有2×45﹣1＝89個數(shù)字，從2025往前數(shù)4個數(shù)據(jù)得到2021，從而得出2021是第85個數(shù)據(jù)，∴m＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故選：B．【變式練習】1.（2021?武漢模擬）觀察下面倒“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為（）A．2020 B．2021 C．4040 D．4039【分析】首先分析得左上數(shù)字1，3，5分別是1、2、3的2倍與1的差，而下面的數(shù)21，22，23對應(yīng)的指數(shù)正好也是1，2，3，即可以得出結(jié)果．【解答】解：由題意得：1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1…∴a＝2×2020﹣1＝4039．故選：D．2.（2021?柳南區(qū)校級月考）將正奇數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，則m+n＝（）A．256 B．257 C．510 D．511【分析】觀察圖表，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，根據(jù)2021在正奇數(shù)中的位置來推算m，n．【解答】解：首先，從圖表觀察，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，其次，奇數(shù)可以用2x﹣1表示，當x＝1011時，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011個位置．在上表中，因為每行有4個數(shù)，且1011÷4＝252???????3，因此2021應(yīng)該在第253行，第4列，即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故選：B．【題型三】算式的規(guī)律【典題1】（2021·廣州白云廣雅實驗學校七年級期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的規(guī)律，則的值為_____．【答案】3079【分析】觀察可得，等式的前面為加法算式，前面加數(shù)與后面加數(shù)的分母為算式的序數(shù)加1，分母為分子的平方減1，據(jù)此規(guī)律解答即可．【詳解】解：由，，，，……，∴，∴，∴a==3024，b=55，∴a+b=3079，故答案為3079．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．注意應(yīng)從第3個式子和第4個式子進行觀察，時刻注意應(yīng)與序號有關(guān)，才能得到所求式子的一般規(guī)律．【典題2】（2021·安徽七年級期末）觀察以下等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；（3）將等式的左邊進行整式的混合運算，判斷與等式右邊是否相等即可．【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：（2）觀察式子可得：（3）等式左邊===3=等式右邊∴（2）中所寫式子一定成立．【點睛】本題通過找規(guī)律的方式考查整式的混合運算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式練習】1．（2021·浙江省衢州市衢江區(qū)實驗中學）數(shù)學興趣小組的同學，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：12+22+22＝32；22+32+62＝72；32+42+122＝132．…請你根據(jù)上述的規(guī)律，寫出第n個式子：___．【答案】【分析】根據(jù)題目給的三個式子查看規(guī)律，列出第n個等式即可．【詳解】第1個等式為：12+22+22＝32；第2個等式為：22+32+62＝72；第3個等式為：32+42+122＝132；，觀察可知，第n個等式為：．故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律數(shù)字變化類，屬于基礎(chǔ)題，難度一般，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)字的變化規(guī)律．2．（2021·東營市東營區(qū)實驗中學）我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù)等等．（1）填出展開式中共有________項，第三項是________．（2）直接寫出的展開式．（3）利用上面的規(guī)律計算：．【答案】（1）5，；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)系數(shù)規(guī)律，即可得出答案；（2）根據(jù)規(guī)律，可知（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）根據(jù)規(guī)律得出原式=1．【詳解】解：（1）∵∴展開式中項數(shù)共有5項，第三項是，

（2）∵第六行的六個數(shù)1，5，10，10，5，1∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）原式．【點睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變化，要求學生通過觀察數(shù)字，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．【題型四】有序數(shù)對的規(guī)律【典題1】（2021·廣州市第十六中學七年級期中）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序?qū)崝?shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)，如表示9，則表示2021的有序數(shù)對是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖形可知，第一排有1個數(shù)，第二排有2個數(shù)，第三排有3個數(shù)，則第n排有n個數(shù)，前1排有1個數(shù)，前2排有3個數(shù)，前3排有6個數(shù)，則前n排有個數(shù)，由此求解即可.【詳解】解：由圖形可知第一排有1個數(shù)，第二排有2個數(shù)，第三排有3個數(shù)，則第n排有n個數(shù)，前1排有1個數(shù)，前2排有3個數(shù)，前3排有6個數(shù)，則前n排有個數(shù)，∵，∴表示2021的數(shù)在第六十四排，第六十三排最右邊的數(shù)為2016，∴表示2021的數(shù)在第六十四排右邊起的第5個數(shù)，∴表示2021的數(shù)的有序數(shù)對為（64，644）即（64，60），故選D.【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠準確找出所包含的規(guī)律.【典題2】（2021·陜西·西安市曲江第一中學七年級期中）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱萊布尼茨三角形．若用有序?qū)崝?shù)對(m，n)表示第m行，從左到右第n個數(shù)，如(4，3)表示分數(shù)那么(8，3)表示的分數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)萊布尼茨三角形找出規(guī)律即可求解，也可以根據(jù)圖中規(guī)律，將圖補充到（8，3）的位置．【詳解】由萊布尼茨三角形可知，第(m，n)個數(shù)等于第(m1，n1)與第(m，n1)個數(shù)的差．第（m，1）表示；第（m，2）表示；第（m，3）表示；當時．故選A．【點睛】本題考查規(guī)律探索，類比楊輝三角理清圖中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式練習】1．（2020·北京市房山區(qū)初一期末）由一些正整數(shù)組成的數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）：若規(guī)定坐標號（m,n）表示第m行從左向右第n個數(shù)，則（7，4）所表示的數(shù)是_____；（5，8）與（8，5）表示的兩數(shù)之積是_______；數(shù)2012對應(yīng)的坐標號是_________【答案】134，12144，（10，495）.【分析】根據(jù)下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍表示出前n行偶數(shù)的個數(shù)的表達式為2m1，然后求出第6行的最后一個偶數(shù)，再計算之后的4個偶數(shù)即可求出（7，4）；分別求出第4行第7行最后的一個偶數(shù)，然后求出（5，8）與（8，5）表示的數(shù)，再相乘即可；求出數(shù)2012是第1006個偶數(shù)，根據(jù)表達式得1006=291+495，先求出第511個數(shù)是第9行的最后一個數(shù)，再求解即可．【解析】解：設(shè)前m行偶數(shù)的個數(shù)為S，則S=1+2+22+23+…+2m1，

兩邊都乘以2得，2S=2+22+23+…+2m，所以，S=2m1，

當m=6時，S=261=641=63，所以，（7，4）所表示的數(shù)是第63+4=67個偶數(shù)，為134；

當n=4時，241=15，所以，（5，8）表示的數(shù)是第15+8=23個偶數(shù)，為46，

當n=7時，271=127，所以，（8，5）表示的數(shù)是第127+5=132個偶數(shù)，為264，46×264=12144；

∵數(shù)2012是第1006個偶數(shù)，n=9時，291=511，1006511=495

∴數(shù)2012是第10行的第495個數(shù)，可以表示為（10，495）．

故答案為：20，12144，（10，495）．【點睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，表示出前n行的偶數(shù)的個數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．【題型五】圖形的規(guī)律（一次類）【典題1】（2021·山東淄博市·九年級一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察，下面四個選項中的圖片，適合填補圖中空白處的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意知原圖形中各行、各列中點數(shù)之和為10，據(jù)此可得．【詳解】解：由題意知，原圖形中各行、各列中點數(shù)之和為10，符合此要求的只有:故選：C．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得出原圖形中各行、各列中點數(shù)之和為10．【典題2】（2021·山東九年級一模）如圖1是個正五邊形，分別連接這個正五邊形各邊中點得到圖2，再分別連接圖2小正五邊形各邊中點得到圖3．（1）填寫如表圖形標號123正五邊形個數(shù)__________________三角形個數(shù)__________________（2）按上面方法繼續(xù)連下去，第n個圖中有多少個三角形？（3）能否分出2014個三角形？簡述你的理由．【答案】（1）第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)每個圖形直接分析出結(jié)果即可；（2）根據(jù)前三個圖形總結(jié)出一般規(guī)律即可；（3）利用（2）的結(jié)論，建立方程，判斷求解出的n是否為正整數(shù)即可．【詳解】（1）觀察圖形可得：圖1，正五邊形：1個，三角形：0個；圖2，正五邊形：2個，三角形：5個；圖3，正五邊形：3個，三角形：10個；故答案為：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）由前三個圖形中三角形的個數(shù)得出：第n個圖形中，三角形的個數(shù)為：個；（3）不能，理由如下：要使得分出2014個三角形，即滿足，其中n為正整數(shù)即可，而上式解得，，并非正整數(shù)，∴不能分出2014個三角形．【點睛】本題考查圖形變化類的規(guī)律探究問題，找準圖形變化中的一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式練習】1．（2021·云南九年級二模）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的“”圖案組成的，依此規(guī)律，第2021個圖案中含有“”圖案的個數(shù)為（）

A．10106 B．10105 C．11005 D．11006【答案】A【分析】根據(jù)所給圖形尋找規(guī)律．【詳解】由題可知，第1個圖案共有個所求圖案；第2個圖案共有個所求圖案；第3個圖案共有個所求圖案；第4個圖案共有個所求圖案；……則第n個圖案共有個所求圖案；∴第2021個圖案中含有“”圖案的個數(shù)為故答案選：A．【點睛】本題屬于規(guī)律類題型．關(guān)鍵在于找到第n個圖案共有個所求圖案的規(guī)律．2.（2021·北京七年級期末）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形與等邊三角形鑲嵌而成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，第4個圖案有13個三角形，…，按照這樣的規(guī)律，第5個圖案中有____個三角形，第n個圖案中有____個三角形（用含有n的代數(shù)式表示）．【答案】163n+1【分析】由所給的圖形可知：第1個圖案中三角形的個數(shù)為4；第2個圖案中三角形的個數(shù)為4+3=7；第3個圖案中三角形的個數(shù)為4+3+3=10；據(jù)此可得其規(guī)律．【詳解】解：第1個圖案中三角形的個數(shù)為4；第2個圖案中三角形的個數(shù)為4+3=4+3×1=7；第3個圖案中三角形的個數(shù)為4+3+3=4+3×2=10；第4個圖案中三角形的個數(shù)為4+3+3+3=4+3×3=13；第5個圖案中三角形的個數(shù)為4+3+3+3+3=4+3×4=16；.....．第n個圖案中三角形的個數(shù)為4+3×（n1）=4+3n3=3n+1．故答案為：16；3n+1．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是找到三角形個數(shù)變化的規(guī)律．【題型六】圖形的規(guī)律（二次類）【典題1】（2021·浙江九年級一模）按圖示的方法，搭1個正方形需要4根火柴棒，搭3個正方形需要10根火柴棒，搭6個正方形需要18根火柴棒，則下列選項中，可以搭成符合規(guī)律圖形的火柴棒的數(shù)目是（）A．52根 B．66根 C．70根 D．72根【答案】C【分析】仔細觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，將每行每列的火柴棒數(shù)進行總結(jié)，可得出：當有n層時，需要根火柴，從而驗證選項即可確定正確答案．【詳解】解：觀察圖形可以看出：搭1個正方形，一層，需要根火柴棒；搭3個正方形，兩層，需要根火柴棒；搭6個正方形，三層，需要根火柴棒；搭10個正方形，四層，需要根火柴棒；因此當有n層時，需要根火柴棒．當時，根火柴棒，因此C選項正確．故選：C．【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形變化的規(guī)律，用變量代替數(shù)字總結(jié)規(guī)律，最終再代入數(shù)字求解即可，難度中等．【典題2】（2021·重慶七年級期末）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中第1個圖形中有5個圓，第2個圖形中有9個圓，第3個圖形中有14個圓，．．．則第8個圖形中圓的個數(shù)是（）A．52 B．53 C．54 D．55【答案】C【分析】根據(jù)圖中圓的個數(shù)變化規(guī)律，進而求出答案．【詳解】解：由圖可得：第一個圖形一共有2＋3＝5個圓，第二個圖形一共有2＋3＋4＝9個圓，第三個圖形一共有2＋3＋4＋5＝14個圓，∴第八個圖形一共有2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9+10＝54個圖形．故選：C．【點睛】本題主要考查圖形的變化，根據(jù)題意得出圓的個數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式練習】1．（2021·重慶八年級期末）如圖所示，各圖是用小黑色三角形壘成的“三角形”，圖①個中有個小黑色三角形，圖②中有個小黑色三角形，圖③中有個小黑色三角形，…，按此規(guī)律壘下去，則圖⑩中的小黑色三角形的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)前三個圖案中黑色三角形的個數(shù)得出第n個圖案中黑色三角形的個數(shù)為1+2+3+4++n，據(jù)此可得第⑩個圖案中黑色三角形的個數(shù)．【詳解】第①個圖案中黑色三角形的個數(shù)為1，第②個圖案中黑色三角形的個數(shù)為3=1+2，第③個圖案中黑色三角形的個數(shù)為6=1+2+3，，第⑩個圖案中黑色三角形的個數(shù)為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律：第n個圖案中黑色三角形的個數(shù)為1+2+3+4++n．2.（2021·重慶西南大學附中七年級期中）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…．我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球），若一個“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個數(shù)為（）A．55 B．220 C．285 D．385【答案】A【分析】“三角形數(shù)”可以寫為：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n層“三角形數(shù)”為，再把n＝10代入計算即可．【詳解】解：∵“三角形數(shù)”可以寫為：第1層：1，第2層：3＝1+2，第3層：6＝1+2+3，第4層：10＝1+2+3+4，第5層：15＝1+2+3+4+5，∴第n層“三角形數(shù)”為，∴若一個“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個數(shù)為＝55．故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及數(shù)字變化規(guī)律，得出第n層“三角形數(shù)”為是解答本題的關(guān)鍵．【題型七】圖形的規(guī)律（指數(shù)類）【典題1】（2021·江蘇七年級期末）如圖，已知圖①是一塊邊長為1，周長記為C1的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個邊長為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為、、…的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長為Cn，則Cn﹣Cn﹣1＝_____．【答案】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長C1，C2，C3，C4，根據(jù)周長相減的結(jié)果能找到規(guī)律即可求出答案．【詳解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…∴C3﹣C2=，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…則Cn﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案為：．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中運算規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．【典題2】（2021·常州市同濟中學七年級期中）（1）為了計算1+2+3+…+8的值，我們構(gòu)造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個點．此圖形共有（1+2+3+…+8）個點．如圖2，添出圖形的另一半，此時共8行9列，有8×9＝72個點，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接寫結(jié)果）．（2）觀察下面的點陣圖（如圖3），解答問題：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．（3）請構(gòu)造一圖形，求（畫出示意圖，寫出計算結(jié)果）．【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）圖見解析，【分析】（1）利用題干中所給方法解答即可；（2）由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=12，2個數(shù)時和為4=22，3個數(shù)時和為9=32，???n個數(shù)時和為n2，由此可得①為25個數(shù)，和為252=625；②為（n+1）個數(shù)，和為(n+1)2；（3）按要求畫出示意圖，依據(jù)圖形寫出計算結(jié)果．【詳解】解：（1）1+2+3+???+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案為：210；（2）由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=12，2個數(shù)時和為4=22，3個數(shù)時和為9=32，???，n個數(shù)時和為n2．①∵1+3+5+…+49中有25個數(shù)，∴1+3+5+…+49=252=625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)個數(shù)，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案為：625；(n+1)2；（3）由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為1，第一次將正方形分割為和兩部分，第二次將正方形的分割為和兩部分，???，以此類推，第2020次分割后，剩余的面積為，那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面積應(yīng)該是：，∴，左右兩邊同除以2得：．∴原式．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，數(shù)形結(jié)合的思想方法．前兩小題考察學生數(shù)與形相結(jié)合，難度不大，仔細觀察規(guī)律，即可求解，第三小題對學生構(gòu)建數(shù)與形的要求較高，考察學生的發(fā)散性思維．【變式練習】1．（2021·日照港中學九年級三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復(fù)以上操作，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，余下面積為原來面積的一半即可解答．【詳解】解：正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，第一次：余下面積S1=，第二次：余下面積S2=，第三次：余下面積S3=，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為S2021=，故選：C．【點睛】本題考查剪紙問題，圖形的變化，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2021·江蘇七年級期中）數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”．如圖，將一個邊長為1的正方形紙板等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形分成兩個面積為的長方形，如此繼續(xù)進行下去，根據(jù)圖形的規(guī)律計算：的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即可.【詳解】解：分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即為所求.最后一個小長方形的面積=故即故選B.【點睛】本題主要考查了學生的分析、總結(jié)、歸納能力，通過數(shù)形結(jié)合看出前面所有小長方形的面積等于總面積減去最后一個空白的小長方形的面積是解答此題的關(guān)鍵.1．（2021年陜西省西安市高新一中七模試卷）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)井且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大的貢獻．在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字如圖：數(shù)字形式123456789縱式|||||||||||||||橫式表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，示例如圖：，則表示的數(shù)是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．9163【答案】B【分析】根據(jù)題意理解算籌計數(shù)法即可選擇．【詳解】根據(jù)算籌計數(shù)法，表示的數(shù)是：9167．故選B【點睛】本題考查了算籌計數(shù)法，理解題意是解題的關(guān)鍵．2.（2021?九龍坡區(qū)模擬）按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭1個小正方形需要4根小棒，搭2個小正方形需要7根小棒，搭3個小正方形需要10根小棒，搭2021個這樣的小正方形需要小棒（）根．A．8084 B．6066 C．6063 D．6064【分析】通過歸納與總結(jié)得出規(guī)律：正方形每增加1，火柴棒的個數(shù)增加3，由此求出第n個圖形時需要火柴的根數(shù)的代數(shù)式，然后代入求值即可．【解答】解：搭2個正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3個正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；…，搭n個這樣的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；搭2021個這樣的正方形需要3×2021+1＝6064根火柴棒；故選：D．3．（2021·重慶）如圖，將整數(shù)按規(guī)律排列，若有序數(shù)對(a，b)表示第a排從左往右第b個數(shù)，則(9，4)表示的數(shù)是（）A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25【答案】B【分析】根據(jù)有序數(shù)對（m，n）表示第m行從左到右第n個數(shù)，對如圖中給出的有序數(shù)對和（3，2）表示整數(shù)5可得規(guī)律，進而可求出（9，4）表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)有序數(shù)對（m，n）表示第m行從左到右第n個數(shù)，對如圖中給出的有序數(shù)對和（3，2）表示整數(shù)5可知：（3，2）：；（3，1）：；（4，4）：；…由此可以發(fā)現(xiàn)，對所有數(shù)對（m，n）（n≤m）有，．表示的數(shù)是偶數(shù)時結(jié)果為負數(shù)，奇數(shù)時結(jié)果為正數(shù)，所以（9，4）表示的數(shù)是：．故選：B．【點睛】本題考查了規(guī)律型圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．4．（2021·重慶巴蜀中學九年級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．34 B．40 C．49 D．59【答案】C【分析】觀察圖形可知，第1個圖形共有圓點5＋2個；第2個圖形共有圓點5＋2＋3個；第3個圖形共有圓點5＋2＋3＋4個；第4個圖形共有圓點5＋2＋3＋4＋5個；…；則第n個圖形共有圓點5＋2＋3＋4＋…＋n＋（n＋1）個；由此代入n＝8求得答案即可．【詳解】解：根據(jù)圖中圓點排列，當n＝1時，圓點個數(shù)5＋2；當n＝2時，圓點個數(shù)5＋2＋3；當n＝3時，圓點個數(shù)5＋2＋3＋4；當n＝4時，圓點個數(shù)5＋2＋3＋4＋5，…∴當n＝8時，圓點個數(shù)5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝4＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝4＋×9×(9＋1)＝49．故選：C．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問題．5．（2021·北京七年級期末）在某學校慶祝建黨“100周年”的活動上,宇陽同學用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成如圖所示的“100”字樣．按照這種規(guī)律,第個“100”字樣的棋子個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形可知:第①個“100”字中的棋子個數(shù)是,第②個“100”字中的棋子個數(shù)是,第③個“100”字中的棋子個數(shù)是,第④個“100”字中的棋子個數(shù)是,由此規(guī)律可得出答案．【詳解】第①個“100”字中的棋子個數(shù)是,第②個“100”字中的棋子個數(shù)是,第③個“100”字中的棋子個數(shù)是,第④個“100”字中的棋子個數(shù)是,第n個“100”字中的棋子個數(shù)是．故選C．【點睛】本題考查了規(guī)律型:圖形的變化類,是一道關(guān)于數(shù)字猜想的問題,解題的關(guān)鍵是通過總結(jié)與歸納,得到其中的規(guī)律．6．（2021·重慶市渝北區(qū)實驗中學校）一組按規(guī)律排列的式子：則第2020個式子是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先觀察所給的前幾個式子，找出分子a的指數(shù)的規(guī)律,分母的規(guī)律，即可得2020個式子．【詳解】觀察所給的前幾個式子，發(fā)現(xiàn)第n個式子的分子a的指數(shù)為2n，分母為(2n1)，把n換成2020即得第2020個式子的分子a的指數(shù)為2020×2=4040，分母為2020×21=4039，所以第2020個式子為．故選：C．【點睛】本題是找規(guī)律題也考查奇偶數(shù)的字母表示．其關(guān)鍵是仔細觀察前幾個式子的變化和聯(lián)系，歸納作出猜想，進行驗證，反復(fù)進行直到找規(guī)律．7．（2021·遼寧葫蘆島市·七年級期中）如圖在表中填在各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，的值是（）

A．216 B．147 C．130 D．442【答案】A【分析】分析前三個正方形可知，規(guī)律為右上和左下兩個數(shù)的和乘以左上的數(shù)等于右下的數(shù)，且左上，左下，右上三個數(shù)是相鄰的奇數(shù)．因此，圖中兩個問號的數(shù)分別是左下是11，右上是13，由此解決問題．【詳解】∵右上和左下兩個數(shù)的和乘以左上的數(shù)等于右下的數(shù)，且左上，左下，右上三個數(shù)是相鄰的奇數(shù)∴圖中左下是11，右上是13∴故選：A．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．解決本題的難點在于找出問號部分的數(shù)．8．（2020·云南省中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，，，…，第個單項式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析前面所給出的單項式，從三方面（符號、系數(shù)的絕對值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進行概括即可得到答案．【解析】解：，，，，，，…，可記為：第項為：故選A．【點睛】本題考查了單項式的知識，分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵．9．（2021·山西實驗中學九年級其他模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計算即可得解．【解答】解：圖2陰影部分面積＝1﹣，圖3陰影部分面積＝，圖4陰影部分面積＝，圖5陰影部分面積＝．故選：B．10．（2021·全國初一課時練習）把所有正偶數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第一組：2，4；第二組：6，8，10，12；第三組：14，16，18，20，22，24第四組：26，28，30，32，34，36，38，40……則現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正偶數(shù)m是第i組第j個數(shù)（從左到右數(shù)），如A10=（2，3），則A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）【答案】B【解析】2018是第1009個數(shù)，設(shè)2018在第n組，由2+4+6+8+…+2n=n（n+1），當n=31時，n（n+1）=992；當n=32時，n（n+1）=1056；故第1009個數(shù)在第32組，第32組的第一個數(shù)為2×992+2=1986，則2018是（+1）=17個數(shù)．則A2016=（32，17）．故選B．11．（2021·山東九年級三模）如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)字之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．若在“楊輝三角”中從第2行左邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：，，，，，，，……，則的值為（）A．1275 B．1326 C．1378 D．1431【答案】B【分析】由題將已知數(shù)列分為兩個新數(shù)列，找出兩個新數(shù)列的變化規(guī)律即可計算．【詳解】∵，，，，∴是新數(shù)列第50項，∵，，，，∴是新數(shù)列第50項，，∴，故選．【點睛】本題考查了根據(jù)圖形數(shù)字變化找規(guī)律；能將已知數(shù)列分成兩個新數(shù)列尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年級期末）已知一列數(shù)：1，，3，，5，，7，…將這列數(shù)排成下列形式：第1行

1第2行

3第3行

5

第4行

7

9

第5行

11

13

15…

…按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于（

）A． B． C．45 D．【答案】A【分析】第n行有n個數(shù)，此行第一個數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負；故第10行從左邊數(shù)第1個數(shù)絕對值為46，故這個數(shù)為46，那么從左邊數(shù)第5個數(shù)等于﹣50．【詳解】解：第1行有1個數(shù)，絕對值為1＝，且是正數(shù)；第2行有2個數(shù)，第一個數(shù)的絕對值為2＝，且為負數(shù)，且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負；第3行有3個數(shù)，第一個數(shù)的絕對值為4＝，且為負數(shù)，且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負；第4行有4個數(shù)，第一個數(shù)的絕對值為7＝，且為正數(shù)，且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負；……由上可知，第n行有n個數(shù)，此行第一個數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負，∴第10行從左邊數(shù)第1個數(shù)絕對值為46，從左邊數(shù)第5個數(shù)等于﹣50．故選：A【點睛】本題考查學生分析數(shù)據(jù)，總結(jié)、歸納數(shù)據(jù)規(guī)律的能力，關(guān)鍵是找出規(guī)律，要求學生要有一定的解題技巧．本題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：第n行有n個數(shù)，此行第一個數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負．13．（2022·湖南·吉首市教育科學研究所模擬預(yù)測）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)這個規(guī)律，則的末尾數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個位數(shù)字是2、4、8、6四個數(shù)字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；【詳解】通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個位數(shù)字是2、4、8、6四個數(shù)字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20，尾數(shù)為02022÷4=500……2，則尾數(shù)為2+4=6，故選D．【點睛】此題考查冪的乘方末尾的數(shù)字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．14.（2021?廬陽區(qū)校級月考）探究規(guī)律：（1）計算：①2﹣1＝；②22﹣2﹣1＝；③23﹣22﹣2﹣1＝；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝；（2）根據(jù)上面結(jié)果猜想：①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝．【分析】（1）利用乘方的意義和減法法則求得結(jié)果即可；（2）類比（1）得出結(jié)論即可．【解答】解：（1）計算：①2﹣1＝1，②22﹣2﹣1＝1，③23﹣22﹣2﹣1＝1，④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；故答案為：①1；②1；③1；④1；（2）①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝212﹣211﹣210﹣…﹣28﹣27﹣26﹣25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1+25+24+23+22+2+1＝1+25+24+23+22+2+1＝64．故答案為：①1；②1；③64．15.（2021?諸城市三模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第20個數(shù)是．【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的符號一正一負的出現(xiàn)，數(shù)字是12+1、22+1、32+1、42+1，…，從而可以寫出第n個數(shù)的表達式．【解答】解：∵一列數(shù)依次為：2，﹣5，10，﹣17，26，…，∴這列數(shù)的第n個數(shù)為：（﹣1）n+1?（n2+1），則第20個數(shù)為：（﹣1）20+1?（202+1）＝﹣401．故答案為：﹣401．16．（2021·北京七年級期末）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，則S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．【答案】【分析】根據(jù)翻折變換表示出所得圖形的面積，再根據(jù)句各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積進行計算即可得解．【詳解】解：由題意得：……；∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；故答案為，．【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律及有理數(shù)的運算，關(guān)鍵在于觀察各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積．17．（2021·江蘇七年級期末）在無限大的正方形網(wǎng)格中按規(guī)律涂成的陰影如圖所示，第1、2、3個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)分別為5個、9個、15個，根據(jù)此規(guī)律，則第20個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是_____．【答案】423【分析】根據(jù)每一個圖形都是第幾個圖形的平方，再加上第幾個圖形數(shù)，每個圖形都多出3，再加上3，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)所給的圖形可得：第一個圖有：5=1+1+3（個），第二個圖有：9=4+2+3（個），第三個圖有：15=9+3+3（個），…，則第n個為n2+n+3，第20個圖有：400+20+3=423（個），故答案為：423．【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進行解答．18．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學九年級三模）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察，第n個圖形有___________個小圓．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】第1個圖形有5個小圓，第2個圖形有5+2個小圓，第3個圖形有5+6個圖形，第4個圖形有5+12個圖形，根據(jù)項數(shù)關(guān)系不難分析2=1×2，6=2×3，12=3×4便可得出規(guī)律為第n個圖形有個小圓．【詳解】第1個圖有0×1+5個小圓；第2個圖有1×2+5個小圓；第3個圖有2×3+5個小圓；…第n個圖形有個小圓．故答案為．【點睛】本題考查圖形規(guī)律探究問題，掌握圖形特征是探究問題的關(guān)鍵．19．（2021·湖北九年級二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)圖形得出a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），再代入、裂項求解即可．【詳解】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），∴原式====故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．20．（2021·浙江七年級期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．【答案】（1），；（2）1009【分析】（1）將代入計算可得，再將代入，可求出；（2）根據(jù)規(guī)律可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）把代入得，，把代入得，，∴，；（2）將代入得，同理，，，，，所以．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，探索數(shù)字的變化規(guī)律，正確的計算，，，進而得出變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．21．（2021·江蘇南京市·七年級期中）觀察下列各式：根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（）；利用規(guī)律完成下列問題：（1）______；（2）求的值．【答案】；（1）；（2）（或）【分析】先觀察給出的各運算式的特點，再總結(jié)出規(guī)律，再表示即可；（1）直接利用規(guī)律寫出結(jié)果即可；（2）先在運算式后面加上再減去再直接利用規(guī)律解題即可.【詳解】解：由上面各式的規(guī)律可得：，故答案為：（1）由規(guī)律可得：故答案為：（2）【點睛】本題考查運算規(guī)律的總結(jié)，表達與應(yīng)用，根據(jù)已有的運算總結(jié)出規(guī)律并運用規(guī)律是解題的關(guān)鍵.22．（2021·福建七年級月考）如圖1，給定一個正方形，要通過畫線將其分割成若干個互不重疊的正方形．第1次畫線分割成4個互不重疊的正方形，得到圖2；第2次畫線分割成7個互不重疊的正方形，得到圖3；…，以后每次只在上次得到圖形的左上角的正方形中畫線．嘗試（1）第3次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形；第4次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形．發(fā)現(xiàn)（2）第次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形，并直接寫出第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)．探究（3）若干次畫線后﹐能否得到1005個互不重疊的正方形？若能，求出是第幾次畫線后得到的；若不能，請說明理由．【答案】嘗試：（1）10，13；發(fā)現(xiàn)：（2）3n+1；6064；探究：（3）不能，理由見解析．【分析】嘗試：根據(jù)前2次畫線分割成的正方形個數(shù)即可得到第3、第4次的；發(fā)現(xiàn)：結(jié)合嘗試的過程：10=3×3+1，13=3×4+1，…發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得第n次畫線后，分割成的正方形，進而可求第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)；探究：設(shè)每次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)為m，則m=3n+1．求當m=1005時n的值，進而可以說明．【詳解】解：嘗試：3×3+1=10，3×4+1=13；故答案為：10，13；發(fā)現(xiàn)：通過嘗試可知：第n次畫線后，分割成的正方形為：3n+1；當n=2021時，3n+1=3×2021+1=6064，即第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)是6064；故答案為：（3n+1）；探究：不能．設(shè)每次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)為m，則m=3n+1．若m=1005，則1005=3n+1．解得n＝．這個數(shù)不是整數(shù)，所以不能．【點睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、運用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．23.（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式：（1）觀察圖形，寫出第（7）個等式：；根據(jù)圖中規(guī)律，寫出第n個圖形的規(guī)律：；（用含有n的式子表示）（2）求出10+11+…+80的值．【分析】（1）觀察圖形的變化可得第（7）個等式，進而可得第n個圖形的規(guī)律；（2）根據(jù)（1）中第n個圖形的規(guī)律即可進行計算．【解答】解：（1）根據(jù)圖形的變化可知：第（7）個等式為：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；所以第n個圖形的規(guī)律為：（1+2+3+