第二單元《因數(shù)和倍數(shù)》章節(jié)復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)重難點(diǎn)講義（解析）人教版

20212022學(xué)年人教版五年級(jí)下冊(cè)同步重難點(diǎn)講義精講精練第二單元因數(shù)和倍數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：因數(shù)與倍數(shù)1、如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然數(shù))那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)兩個(gè)不同的概念是相互依存的，不能單獨(dú)存在。例如4×3=12，12是4的倍數(shù),12也是3的倍數(shù),4和3都是12的因數(shù)。2、因數(shù)的特點(diǎn)：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。(1是所有非0自然數(shù)的因數(shù))一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法：成對(duì)地按順序找3、倍數(shù)的特點(diǎn)：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。例：3的倍數(shù)有：3、6、9、12…其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)知識(shí)點(diǎn)二：2、5、3的倍數(shù)的特征1、2的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)(2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)、不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù))。2、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。3、3的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。知識(shí)點(diǎn)三：奇數(shù)與偶數(shù)（自然數(shù)按能不能被2整除來(lái)分：奇數(shù)、偶數(shù)）(1)定義：奇數(shù)：(也叫單數(shù))自然數(shù)中不能被2整除的數(shù)最小的奇數(shù)是1，偶數(shù)：(也叫雙數(shù))自然數(shù)中能被2整除的數(shù)最小的偶數(shù)是0.(2)特征：奇數(shù)：個(gè)位上是1，3，5，7，9的數(shù)偶數(shù)：個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)(3)字母表示：奇數(shù)：2n+1(n>=0)偶數(shù)：2n(n>=0)(4)公式：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)(5)自然數(shù)中，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。0是偶數(shù)。知識(shí)點(diǎn)四：質(zhì)數(shù)與合數(shù)（自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類）(1)定義：質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)(共有2個(gè)因數(shù))合數(shù)：除了1和它本身之外還有別的因數(shù)的數(shù)(至少有3個(gè)因數(shù))，(2)最小的質(zhì)數(shù)是2最小的合數(shù)是4(3)“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。(因?yàn)?只有1個(gè)因數(shù))。(4)自然數(shù)中，除了0和1之外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)(5)在自然數(shù)里，不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2(6)公式：質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)=合數(shù)質(zhì)數(shù)*合數(shù)=合數(shù)合數(shù)*合數(shù)=合數(shù)(7)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，31、37、41，43、47、53，59、61、67，71、73、79，83、89、97。=考點(diǎn)1：找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法【典例分析01】把80個(gè)蘋果分給若干個(gè)小朋友，每人分得同樣多，正好分完沒有剩余，共有多少種不同的分法？（小朋友的人數(shù)多于1人）【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，80個(gè)蘋果分給若干個(gè)小朋友，每人分得同樣多，正好分完沒有剩余，那么每人分的蘋果數(shù)量應(yīng)該是80的因數(shù)?！就暾獯稹拷猓?0的因數(shù)有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80。因?yàn)樾∨笥训娜藬?shù)多于1人，所以共有9種不同的分法。答：共有9種不同的分法。【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法及應(yīng)用?！镜淅治?2】（2022春?浠水縣校級(jí)月考）一個(gè)數(shù)它既是18的倍數(shù)，又是18的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是（）A．54 B．36 C．18 D．1【思路引導(dǎo)】每個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)和最大的因數(shù)都是它本身，據(jù)此解答即可．【完整解答】解：一個(gè)數(shù)它既是18的倍數(shù)，又是18的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是18．故選：C．【考察注意點(diǎn)】此題主要考查了找一個(gè)數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：每個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)和最大的因數(shù)都是它本身．【變式訓(xùn)練11】（2021?大邑縣）古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）之和，那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個(gè)因數(shù)1、2、3、6，除6本身以外，還有1、2、3三個(gè)因數(shù)，6＝1+2+3，恰好是所有因數(shù)之和，所以6就是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是（）A．12 B．24 C．28 D．36【思路引導(dǎo)】根據(jù)完全數(shù)的定義，可將下列選項(xiàng)中的數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案。【完整解答】解：A.12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6＝16，所以12不是“完全數(shù)”，故不符合題意；B.24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24，1+2+3+4+6+8+12＝36，所以24不是“完全數(shù)”，故不符合題意；C.28的因數(shù)有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全數(shù)”，故符合題意；D.36的因數(shù)有：1、2、3、4、9、12、18、36，1+2+3+4+9+12+18＝49，所以36不是“完全數(shù)”，故不符合題意。故選：C?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題主要考查的是如何計(jì)算一個(gè)數(shù)的因數(shù)?！咀兪接?xùn)練12】（2021春?昌黎縣期中）42名同學(xué)去參觀水立方，老師要把同學(xué)們平均分成若干小組，而且每組人數(shù)都是偶數(shù)，可以分成幾組，每組幾人？（組數(shù)大于1）（寫出思考過(guò)程）【思路引導(dǎo)】寫出兩個(gè)整數(shù)的積等于42的所有乘法算式，偶數(shù)因數(shù)作每組人數(shù)，另一個(gè)因數(shù)作組數(shù)，組數(shù)不能為1?！就暾獯稹拷猓簝蓚€(gè)整數(shù)的積等于42，偶數(shù)因數(shù)作每組人數(shù)，另一個(gè)因數(shù)作組數(shù)，組數(shù)不能為1。1×42＝42偶數(shù)因數(shù)42作每組人數(shù)，組數(shù)為1，不符合題目組數(shù)大于1的要求。2×21＝423×14＝426×7＝42答：可以分成21組，每組2人；也可以分成3組，每組14人；還可以分成7組，每組6人?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題重點(diǎn)在于找出42的所有因數(shù)，并判斷因數(shù)的奇偶性?？键c(diǎn)2：找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法【典例分析03】一個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定也是（）的倍數(shù)。A．12 B．9 C．4【思路引導(dǎo)】一個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)，要使這個(gè)數(shù)一定也是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，則8必須是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓篈.8不是12的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)也不一定是12的倍數(shù)；B.8不是9的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)也不一定是9的倍數(shù)；C.8是4的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定也是4的倍數(shù)。故選：C?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題考查倍數(shù)和因數(shù)的認(rèn)識(shí)，根據(jù)倍數(shù)的意義即可解答?！镜淅治?4】（2022春?成武縣月考）把一箱蘋果平均分給8個(gè)小朋友正好分完．已知這箱蘋果個(gè)數(shù)少于80個(gè)，這箱蘋果可能有多少個(gè)？這箱蘋果至少有多少個(gè)？最多有多少個(gè)？【思路引導(dǎo)】把一箱蘋果平均分給8個(gè)小朋友正好分完，那么這箱蘋果的個(gè)數(shù)應(yīng)該是8的倍數(shù)，80以內(nèi)8的倍數(shù)有8、16、24、32、40、48、56、64、72，據(jù)此解答即可．【完整解答】解：80以內(nèi)8的倍數(shù)有8、16、24、32、40、48、56、64、72；所以這箱蘋果可能有8、16、24、32、40、48、56、64、72個(gè)，這箱蘋果至少有8個(gè)，最多有72個(gè)．答：這箱蘋果可能有8、16、24、32、40、48、56、64、72個(gè)，這箱蘋果至少有8個(gè)，最多有72個(gè)．【考察注意點(diǎn)】靈活運(yùn)用求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法來(lái)解決實(shí)際問題．【變式訓(xùn)練21】（2021春?天門期中）用0、3、9排成一個(gè)三位數(shù)，5的倍數(shù)有390、930；3的倍數(shù)有390、930、309、903．（寫出所有的數(shù)）【思路引導(dǎo)】能被3整除數(shù)的特征是所有數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，能被5整除數(shù)的特征是個(gè)位上的數(shù)為0或5，聯(lián)系該題，用0、3、9排成一個(gè)三位數(shù)，5的倍數(shù)有390、930；3的倍數(shù)有390、930、309、903．【完整解答】解：用0、3、9排成一個(gè)三位數(shù)，5的倍數(shù)有390、930；3的倍數(shù)有390、930、309、903，故答案為：390、930；390、930、309、903．【考察注意點(diǎn)】根據(jù)能被3、5整除數(shù)的特征進(jìn)行解答，注意做題時(shí)對(duì)一些數(shù)不要遺漏．【變式訓(xùn)練22】（2021春?濱?？h期中）小明比爺爺小45歲，爺爺今年的歲數(shù)正好是小明的4倍。爺爺和小明今年各多少歲？【思路引導(dǎo)】爺爺?shù)哪挲g是小明的4倍，把小明的年齡看作單位“1”，那么爺爺?shù)哪挲g相當(dāng)于小明的4倍，比小明大3倍，爺爺比小明正好大了45歲，那么小明的年齡是45÷3＝15（歲），爺爺?shù)哪挲g即可解答?！就暾獯稹拷猓盒∶鳎?5÷（4?1）＝45÷3＝15（歲）爺爺：45+15＝60（歲）答：爺爺今年60歲，小明15歲。故答案為：60歲，15歲?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題運(yùn)用關(guān)系式：差÷（倍數(shù)?1）＝小數(shù)，小數(shù)+差＝大數(shù)或小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)?？键c(diǎn)3：合數(shù)與質(zhì)數(shù)【典例分析05】在小于10的自然數(shù)中，相鄰兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)的是和?！舅悸芬龑?dǎo)】在小于10的自然數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)的是8和9?！就暾獯稹拷猓焊鶕?jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義可知，在比10小的自然數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)的是8和9。故答案為：8，9?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題考查了質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義及應(yīng)用。【典例分析06】（2022春?浠水縣校級(jí)月考）把下列數(shù)字寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)和的形式：12＝5+715＝2+1320＝3+17＝7+1324＝5+19＝11+13．【思路引導(dǎo)】在分?jǐn)?shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)．據(jù)此根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行填空即可．【完整解答】解：12＝5+715＝2+1320＝3+17＝7+1324＝5+19＝11+13故答案為：5、7；2、13；3、17，7、13；5、19，11、13．【考察注意點(diǎn)】本題考查了學(xué)生對(duì)于質(zhì)數(shù)意義的理解與應(yīng)用．【變式訓(xùn)練31】（2021春?鹽城期中）下面幾組數(shù)，全部都是質(zhì)數(shù)的是（）A．19，1，13 B．7，9，51 C．87，17，5 D．2，29，41【思路引導(dǎo)】分別判斷A，B，C，D中是否都是質(zhì)數(shù)。然后鎖定全部都是質(zhì)數(shù)的選項(xiàng)。據(jù)此答題即可?！就暾獯稹拷猓航?jīng)分析得：A.1不是質(zhì)數(shù)；B.9，51不是質(zhì)數(shù)；C.87不是質(zhì)數(shù)；D.全是質(zhì)數(shù)。故選：D?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題考查質(zhì)數(shù)合數(shù)的定義。結(jié)合定義判斷質(zhì)數(shù)即可解決問題?！咀兪接?xùn)練32】（2021春?淮上區(qū)期中）在括號(hào)里填入合適的質(zhì)數(shù)。15＝2+1321＝3×7110＝2×5×11【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。15可以寫質(zhì)數(shù)2、13的和；21可以寫成質(zhì)數(shù)3、7的積；110可以寫成2、5、11的積?！就暾獯稹拷猓?5＝2+13；21＝3×7；110＝2×5×11故答案為：2、13；3、7；2、5、11?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題主要是考查質(zhì)數(shù)的意義，掌握方法很重要。13．（2016春?銀川期中）按要求在○里填上合適的數(shù)．【思路引導(dǎo)】一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)就是質(zhì)數(shù)，所以20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19；根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，進(jìn)行列舉，所以36的因數(shù)有：1、36、2、18、3、12、4、9、6共9個(gè)．【完整解答】解：【考察注意點(diǎn)】此題主要考查質(zhì)數(shù)的意義以及求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法．考點(diǎn)4：2、5的倍數(shù)特征【典例分析07】在1～100的自然數(shù)中，2的倍數(shù)有50個(gè)，5的倍數(shù)數(shù)有20個(gè)?！舅悸芬龑?dǎo)】2的倍數(shù)特征：個(gè)位是0、2、4、6、8。5的倍數(shù)特征：個(gè)位是0、4【完整解答】解：在1﹣100的自然數(shù)里，從大到小10個(gè)數(shù)為1組，每一組里面有5個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)，有2個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)；所以2的倍數(shù)有：5×10＝50（個(gè)）；5的倍數(shù)有：2×10＝20（個(gè)）。故答案為：50；20?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】此題需要學(xué)生熟記2、5的倍數(shù)特征并能靈活的運(yùn)用?！镜淅治?8】（2021春?臨沂期末）在自然數(shù)中，凡是5的倍數(shù)（）A．一定是質(zhì)數(shù) B．一定是合數(shù) C．可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù)【思路引導(dǎo)】自然數(shù)中所有5的倍數(shù)的尾數(shù)都是0或5，即它們既可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，10是合數(shù)，所以有可能是質(zhì)數(shù)，也有可能是合數(shù)?！就暾獯稹拷猓涸谧匀粩?shù)中，凡是5的倍數(shù)，可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù)。故選：C。【考察注意點(diǎn)】一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，所有質(zhì)數(shù)的最小倍數(shù)都是本身，都是質(zhì)數(shù)?！咀兪接?xùn)練41】（2021春?淳安縣期末）明明小朋友在飲料店買了一些純牛奶和可樂，已知純牛奶：5元/瓶，可樂：10元/瓶。請(qǐng)問：售貨員阿姨找回的錢對(duì)嗎？為什么？【思路引導(dǎo)】根據(jù)5的倍數(shù)特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位是0或5，這個(gè)數(shù)就是5的倍數(shù)，據(jù)此分析解答。【完整解答】解：因?yàn)榧兣Ｄ毯涂蓸返膯蝺r(jià)分別是5元、10元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾瓶，總錢數(shù)也應(yīng)是5的倍數(shù)，付了100元，找回的錢數(shù)應(yīng)該也是5的倍數(shù)，即個(gè)位數(shù)應(yīng)是0或5，所以找回18元不對(duì)。答：售貨員阿姨找回的錢不對(duì)。因?yàn)檎一氐腻X應(yīng)該是5的倍數(shù)，18不是5的倍數(shù)。【考察注意點(diǎn)】此題考查了5的倍數(shù)特征以及實(shí)際運(yùn)用，要熟練掌握。【變式訓(xùn)練42】27□既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□里可以填（）A．0、2、4、6、8 B．0 C．5【思路引導(dǎo)】根據(jù)2的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位如果是偶數(shù)，這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)；根據(jù)5的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位是0或5，這個(gè)數(shù)就是5的倍數(shù)；要想同時(shí)是2、5的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位一定是0，由此求解．【完整解答】解：“27□”既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，“□”里可以填0．故選：B?！究疾熳⒁恻c(diǎn)】本題考查了2、5的倍數(shù)的特點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是熟練的掌握2、5的倍數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)找出最簡(jiǎn)便的解決途徑．考點(diǎn)5：3的倍數(shù)特征【典例分析09】（2022春?涇陽(yáng)縣月考）要使四位數(shù)415是3的倍數(shù)，中可以填的數(shù)有4個(gè)。（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】3的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除?！就暾獯稹拷猓?+1+5+2＝12是3的倍數(shù)，4+1+5+5＝15是3的倍數(shù)，4+1+5+8＝18是3的倍數(shù)，那么十位可以填2，5，8，能填的數(shù)只有3個(gè)。故答案為：×【考察注意點(diǎn)】此題考查了3的的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除?！镜淅治?0】（2021春?興慶區(qū)期末）用3，4，5組成的所有三位數(shù)都是（）的倍數(shù)．A．2 B．3 C．5 D．7【思路引導(dǎo)】根據(jù)3的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)．3、4、5這三個(gè)數(shù)字不論怎樣排列，所組成的三位數(shù)和各位上的數(shù)字之和都是3的倍數(shù)，因此，三張數(shù)字卡片組成的三位數(shù)一定都是3的倍數(shù)，解答即可．【完整解答】解：3+4+5＝12，12是3的倍數(shù)，因此，這三張數(shù)字卡片組成的三位數(shù)一定都是3的倍數(shù)．所以用3、4、5組成的所有三位數(shù)，一定都是3的倍數(shù)．故選：B。【考察注意點(diǎn)】本題是考查3的倍數(shù)特征．解題的關(guān)鍵是掌握3的倍數(shù)特征．屬于基礎(chǔ)知識(shí)，須記?。咀兪接?xùn)練51】（2016?寧波模擬）在用0、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，一共有個(gè)是3的倍數(shù)；把這些數(shù)從小到大排列起來(lái)，第五個(gè)是?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)3的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)。據(jù)此3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步得到把這些數(shù)從小到大排列起來(lái)的第五個(gè)數(shù)?！就暾獯稹拷猓涸谟?、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，有1047，1074，1407，1470，1704，1740，4017，4071，4107，4170，4701，4710，7014，7041，7104，7140，7401，7410，1479，1497，1749，1794，1947，1974，4179，4197，4719，4791，4917，4971，7149，7194，7419，7491，7914，7941，9147，9174，9417，9471，9714，9741，一共有42個(gè)是3的倍數(shù)；把這些數(shù)從小到大排列起來(lái)，第五個(gè)是1479。故答案為：42，1479。【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握3的倍數(shù)的特征及應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練52】是3的倍數(shù)的最小三位數(shù)是（）A．100 B．111 C．103 D．102【思路引導(dǎo)】最小三位數(shù)的百位上是1，能被3整除的數(shù)的特征是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，用1+2+0＝3，所以這個(gè)三位數(shù)最小是102，據(jù)此即可解答．【完整解答】解：根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征可得：這個(gè)三位數(shù)最小是102．故選：D．【考察注意點(diǎn)】此題主要考查能被3整除的數(shù)的特征的靈活應(yīng)用．基礎(chǔ)練一．選擇題1．（2022春?科左中旗月考）A是B的倍數(shù)，C是B的因數(shù)，那么A是C是（）A．因數(shù) B．倍數(shù) C．質(zhì)因數(shù) D．無(wú)法確定【思路引導(dǎo)】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果數(shù)A能被數(shù)B整除（B≠0），A就叫做B的倍數(shù)，B就叫做A的因數(shù)，由此解答即可。【完整解答】解：A是B的倍數(shù)，C是B的因數(shù)，那么A是C是倍數(shù)。故選：B。2．（2021秋?高邑縣期末）因?yàn)?5÷3＝5，15是3和5的倍數(shù)，15的因數(shù)共有（）個(gè)。A．2 B．3 C．4【思路引導(dǎo)】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。【完整解答】解：因?yàn)?5÷3＝5，15是3和5的倍數(shù)，15的因數(shù)共有：1、3、5、15，共4個(gè)。故選：C。3．（2021秋?金牛區(qū)期末）對(duì)于算式4×8＝32，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．4和8都是因數(shù)，32是倍數(shù) B．32是4和8的倍數(shù) C．4和8是32的因數(shù) D．以上選項(xiàng)都錯(cuò)誤【思路引導(dǎo)】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓?×8＝32，則32÷4＝8，即4和8是32的因數(shù)，32是4和8的倍數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。故選：A。4．（2021秋?開化縣期末）下面（）的最大因數(shù)與最小因數(shù)的差是99。A．101 B．100 C．99 D．98【思路引導(dǎo)】根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓?01﹣1＝100100﹣1＝9999﹣1＝9898﹣1＝97所以，100的最大因數(shù)與最小因數(shù)的差是99。故選：B。二．填空題5．（2022春?興仁市校級(jí)月考）某排戰(zhàn)士發(fā)裝備，一共有30套軍裝，71個(gè)水壺和79雙軍鞋，每個(gè)戰(zhàn)士拿的一樣多，最后一共剩下19件物品沒有發(fā)出去。那么一共有23名戰(zhàn)士?！舅悸芬龑?dǎo)】30套軍裝、71個(gè)水壺、79雙軍鞋，總共180件物品，最后一共剩下19件物品沒有發(fā)出去，那么發(fā)出去了161件物品，由于每個(gè)戰(zhàn)士拿的一樣多，那么161是總?cè)藬?shù)的倍數(shù)。【完整解答】解：30+71+79﹣19＝161161的因數(shù)有1，7，23，161；（1）當(dāng)有7名戰(zhàn)士時(shí)，30÷7＝4（套）……2（套）71÷7＝10（個(gè)）……1（個(gè)）79÷7＝11（雙）……2（雙）因?yàn)?+1+2＝5（件），5≠19，所以有7名戰(zhàn)士不符合題意．（2）當(dāng)有23名戰(zhàn)士時(shí)，30÷23＝1（套）……7（套）71÷23＝3（個(gè)）……2（個(gè)）79÷23＝3（雙）……10（雙）因?yàn)?+2+10＝19（件）所以一共有23名戰(zhàn)士，每名戰(zhàn)士分得1套軍裝，3個(gè)水壺和3雙軍鞋。綜上，可得一共有23名戰(zhàn)士。答：一共有23名戰(zhàn)士。故答案為：23。6．（2021秋?細(xì)河區(qū)期末）37至少加1才是2的倍數(shù)，至少減2才是5的倍數(shù)。【思路引導(dǎo)】根據(jù)2的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位如果是偶數(shù)（0、2、4、5、8）這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)的個(gè)位是7，至少加1就是8，這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)，解答即可；根據(jù)5的倍數(shù)特征：個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是0或5是5的倍數(shù)的數(shù)，37個(gè)數(shù)位上是7，至少減去2是5的倍數(shù)，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓?7至少加1才是2的倍數(shù)，至少減2才是5的倍數(shù)。故答案為：1，2。7．（2021秋?安丘市期末）從2018年開始，山東省中小學(xué)全部實(shí)行小班化，每班學(xué)生不超過(guò)45人。相州小學(xué)五年級(jí)共3個(gè)班，學(xué)生總?cè)藬?shù)正好是2、3、5的倍數(shù)。相州小學(xué)五年級(jí)最多有30名學(xué)生。【思路引導(dǎo)】找出不超過(guò)45的2、3、5的最大倍數(shù)即可?！就暾獯稹拷猓翰怀^(guò)45的出2、3、5的公倍數(shù)是30，所以相州小學(xué)五年級(jí)最多有30名學(xué)生。故答案為：30。三．判斷題8．（2021秋?宿州期末）因?yàn)?4÷4＝6，所以24是倍數(shù)，4和6是因數(shù)?！粒ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答。【完整解答】解：因?yàn)?4÷4＝6，所以24是4或6的倍數(shù)，4和6是24的因數(shù)，原題說(shuō)法錯(cuò)誤。故答案為：×。9．（2021秋?定州市期末）所有大于0的自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)?！粒ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義：一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)．一個(gè)自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)．1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，由此解答。【完整解答】解：自然數(shù)根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)的多少可以分為：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三類，因此，一個(gè)不為0的自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)，此說(shuō)法錯(cuò)誤。故答案為：×。四．應(yīng)用題10．（2022春?科左中旗月考）五1班有48人參加興趣小組，要求每組4﹣8人，可以怎樣分組？【思路引導(dǎo)】要求每組4﹣8人，可從4人一組，分12組；6人一組，分8組；8人一組，分6組分析即可。【完整解答】解：48÷4＝12（組）48÷6＝8（組）48÷8＝6（組）答：可以4人一組分12組；6人一組分8組；8人一組分6組。11．（2021秋?城固縣期末）選用哪種包裝箱能正好把64本書裝完？寫出你的理由?！舅悸芬龑?dǎo)】依據(jù)整除的意義，誰(shuí)能整除64，就選那種包裝箱，據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓?4÷6＝10（箱）......4（本）64÷8＝8（箱）64÷5＝12（箱）......4（本）答：第二個(gè)包裝箱正好把這些面包裝完，因?yàn)樗梢哉?4。12．（2021秋?通渭縣期中）為配合全民健身運(yùn)動(dòng)，春苑小區(qū)40名老年人參加體操表演，隊(duì)形不能為一行1人或一行40人，要求每行人數(shù)相同，有幾種排法？【思路引導(dǎo)】根據(jù)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，可以一對(duì)一對(duì)的找，最小的是1，最大的是它本身即40，1和40不符合題意，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓?0＝2×2040＝4×1040＝5×8每排2人，排20排；每排4人，排10排；每排5人，排8排；每排8人，排5排；每排10人，排4排；每排20人，排2排。所以共6種排法。13．（2021秋?廣平縣校級(jí)月考）一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)和最小倍數(shù)相加等于28，寫出這個(gè)數(shù)的所有因數(shù)?！舅悸芬龑?dǎo)】一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)也是它本身，因此，一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)和最大因數(shù)的和是28，則28是這個(gè)數(shù)2倍，然后用除法解答求出這個(gè)數(shù)，然后再按照順序?qū)懗鲞@個(gè)數(shù)的所有因數(shù)即可。【完整解答】解：因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)是它本身，以這個(gè)數(shù)是：28÷2＝14，14＝1×14＝2×7，所以14的因數(shù)：1、2、7、14。14．（2021秋?涇陽(yáng)縣期中）連一連。【思路引導(dǎo)】利用求倍數(shù)的的方法求出5和8的倍數(shù)，再進(jìn)行連線即可?！就暾獯稹拷猓?的倍數(shù)：15、20、30；8的倍數(shù)：16、48、80；連線如下：15．（2021秋?花都區(qū)期末）教師節(jié)，郭老師帶了600元錢，要為全校12位老師每人選購(gòu)一束同樣的花，假如你是郭老師，你認(rèn)為有哪些花束可以選擇？寫出計(jì)算過(guò)程。【思路引導(dǎo)】根據(jù)郭老師帶了600元錢，要為全校12位老師每人選購(gòu)一束同樣的花，可知每束花的價(jià)錢最多是600÷12＝50（元），然后根據(jù)康乃馨、百合花、玫瑰花每束的錢數(shù)，進(jìn)行大小比較，即可得到郭老師哪些花束可以選擇。【完整解答】解：600÷12＝50（元）因?yàn)?5＞50＞32，所以可以從康乃馨、玫瑰花兩種花里面選擇提高練一．選擇題1．（2021春?興文縣期中）34□是一個(gè)三位數(shù)，要使它是3的倍數(shù)，方框里最大填（）A．9 B．8 C．5【思路引導(dǎo)】3的倍數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。【完整解答】解：3+4＝7，7+2＝9是3的倍數(shù)，7+5＝12是3的倍數(shù)，7+8＝15是3的倍數(shù)，那么□最大填8。故選：B。2．（2021春?濱海縣期中）正方形的邊長(zhǎng)是質(zhì)數(shù)，它的周長(zhǎng)是（）A．質(zhì)數(shù) B．合數(shù) C．既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) D．無(wú)法確定【思路引導(dǎo)】根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義，及正方形的周長(zhǎng)計(jì)算方法，可知它的周長(zhǎng)一定是合數(shù)。【完整解答】解：正方形的周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4，它的周長(zhǎng)至少有三個(gè)約數(shù)，所以說(shuō)一定是合數(shù)。故選：B。3．（2021?大邑縣）古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為：如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）之和，那么這個(gè)數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個(gè)因數(shù)1、2、3、6，除6本身以外，還有1、2、3三個(gè)因數(shù)，6＝1+2+3，恰好是所有因數(shù)之和，所以6就是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是（）A．12 B．24 C．28 D．36【思路引導(dǎo)】根據(jù)完全數(shù)的定義，可將下列選項(xiàng)中的數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案。【完整解答】解：A.12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6＝16，所以12不是“完全數(shù)”，故不符合題意；B.24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24，1+2+3+4+6+8+12＝36，所以24不是“完全數(shù)”，故不符合題意；C.28的因數(shù)有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全數(shù)”，故符合題意；D.36的因數(shù)有：1、2、3、4、9、12、18、36，1+2+3+4+9+12+18＝49，所以36不是“完全數(shù)”，故不符合題意。故選：C。二．填空題4．（2022春?成武縣校級(jí)月考）16的因數(shù)有1、2、4、8、16。40以內(nèi)7的倍數(shù)有7、14、21、28、35?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法，進(jìn)行列舉即可。【完整解答】解：16的因數(shù)有：1、2、4、8、16；40以內(nèi)7的倍數(shù)有：7、14、21、28、35；故答案為：1、2、4、8、16；7、14、21、28、35。5．（2021秋?城區(qū)期末）在1，2，5，12，27，36中，12的因數(shù)有1、2、12，12的倍數(shù)有12、36。【思路引導(dǎo)】根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是本身，沒有最大的倍數(shù)．【完整解答】解：在1，2，5，12，27，36中，12的因數(shù)有1、2、12，12的倍數(shù)有12、36。故答案為：1、2、12，12、36。6．（2022春?浠水縣校級(jí)月考）把下列數(shù)字寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)和的形式：12＝5+715＝2+1320＝3+17＝7+1324＝5+19＝11+13．【思路引導(dǎo)】在分?jǐn)?shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)．據(jù)此根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行填空即可．【完整解答】解：12＝5+715＝2+1320＝3+17＝7+1324＝5+19＝11+13故答案為：5、7；2、13；3、17，7、13；5、19，11、13．7．（2021?英山縣）“哥德巴赫猜想”認(rèn)為，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)（既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)）之和。如6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7＝5+5，……100寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和是3+97（答案不唯一）?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；一個(gè)自然數(shù)如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個(gè)自然數(shù)如果除了1和它本身還有其它的因數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)叫做合數(shù)，由此即可寫出兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和是100的素?cái)?shù)?！就暾獯稹拷猓?00＝3+97100＝89+11故答案為：3+97（答案不唯一）。三．判斷題8．（2022春?涇陽(yáng)縣月考）要使四位數(shù)415是3的倍數(shù)，中可以填的數(shù)有4個(gè)?！粒ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】3的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除?！就暾獯稹拷猓?+1+5+2＝12是3的倍數(shù)，4+1+5+5＝15是3的倍數(shù)，4+1+5+8＝18是3的倍數(shù)，那么十位可以填2，5，8，能填的數(shù)只有3個(gè)。故答案為：×9．（2021春?金川區(qū)校級(jí)期中）1是1，2，3，4，5的因數(shù)√．（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身．據(jù)此判斷．【完整解答】解：1的因數(shù)只有1，2的因數(shù)有1和2，3的因數(shù)有1和3，4的因數(shù)有1、2和4，5的因數(shù)有1和5．所以，1是所有非0自然數(shù)的因數(shù)．所以1是1，2，3，4，5的因數(shù)說(shuō)法正確．故答案為：√．10．（2020秋?惠陽(yáng)區(qū)期末）18的因數(shù)有6個(gè)，18的倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．√（判斷對(duì)錯(cuò)）【思路引導(dǎo)】根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，列舉出18的所有因數(shù)；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)；據(jù)此判斷即可．【完整解答】解：由分析知，18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18，共6個(gè)；18的倍數(shù)有：18、36、54、…，無(wú)數(shù)個(gè)；故答案為：√．四．應(yīng)用題11．一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是20cm，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是