連續(xù)機(jī)率分配

連續(xù)機(jī)率分配學(xué)習(xí)目標(biāo)了解連續(xù)機(jī)率分配的觀念。計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量的期望值、變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。熟悉常態(tài)分配之意義、特性及其應(yīng)用。了解二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系。利用Excel求算常態(tài)分配值并繪制圖形。本章架構(gòu)7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義7.2常態(tài)分配7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配7.4常態(tài)分配機(jī)率之計(jì)算7.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系機(jī)率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction;p.d.f.)

令X為一連續(xù)隨機(jī)變量，則其機(jī)率密度函數(shù)f(x)必須滿足下列條件對(duì)所有的x而言，f(x)0。。注:(i)間斷變量之p.m.f.f(x)>1

不可能以點(diǎn)機(jī)率表示P(X=a)=f(a)>0(ii)連續(xù)變量之p.d.f.f(x)1

有可能以區(qū)間面積表示機(jī)率值,故以積分求其機(jī)率值,

但其點(diǎn)機(jī)率值P(X=a)=0,故P(X=a)f(a)7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義圖7.1連續(xù)隨機(jī)變量之機(jī)率分配7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義(續(xù))令w表示組距，則圖7.1之每一矩形面積為w＊f(x)，因?yàn)檫B續(xù)隨機(jī)變量于特定區(qū)間發(fā)生的機(jī)率值即為f(x)下該特定區(qū)間之面積，且根據(jù)機(jī)率之性質(zhì)，機(jī)率值必須介于0和1之間，及機(jī)率總和必須等于1，因此7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義(續(xù)1)假設(shè)X為一連續(xù)隨機(jī)變量，試問是否為一機(jī)率密度函數(shù)？解：因?yàn)?.2.因此，f(x)是一機(jī)率密度函數(shù)。例7.1累積機(jī)率函數(shù)令X為一連續(xù)隨機(jī)變量，則其累積機(jī)率函數(shù)F(x)定義為

又點(diǎn)機(jī)率:P(X=c)=P(cXc)=F(c)–F(c)=0

P(Xc)=P(X<c)+P(X=c)=F(c)

故P(aXb)=P(a<Xb)=P(Xb)P(Xa) =F(b)F(a)注:(i)F(x)之圖形為上升且連續(xù)函數(shù)

(ii)d(F(x)/dx=f(x)F(x)為f(x)反導(dǎo)數(shù)7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義(續(xù)2)連續(xù)機(jī)率分配例:

令X為一連續(xù)變量,其機(jī)率密度函數(shù)(p.d.f.)f(x)為

f(x)=kx(1-x),0

x

1,(1)求k值使f(x)滿足機(jī)率密度函數(shù)性質(zhì)

(2)求P(1/4<x<1/2)解:(1)(i)P(0

x

1)=1

01f(x)dx=1k=6

(ii)f(x)=6x(1-x)0,0

x

1

k=6使f(x)滿足機(jī)率密度函數(shù)性質(zhì)

(2)求X之c.d.f.F(x),F(x)=P(Xx)=0xf(t)dt=3x–2x2

P(1/4<X<1/2)=F(1/2)–F(1/4)=3/8注:此連續(xù)變量X為Beta分配連續(xù)隨機(jī)變量之期望值與變異數(shù)：令X為一連續(xù)隨機(jī)變量，則其期望值與變異數(shù)分別定義為

=

2=

注:Var(X)=E(X2)-

2

E(g(X))=-

g(x)f(x)dx7.1連續(xù)機(jī)率分配之意義(續(xù)3)求連續(xù)隨機(jī)變量X之期望值與變異數(shù)。解：根據(jù)(7.1)式和(7.2)式，

X之期望值與變異數(shù)分別為例7.2續(xù)例7.1例7.2續(xù)例7.1(續(xù))連續(xù)變量之常用分配1.常態(tài)分配(Normaldistribution)X~N(,2)2.連續(xù)均勻分配(Uniformdistribution)X~U(a,b)3.指數(shù)分配(Exponentialdistribution)X~Exp()常態(tài)(Normal)機(jī)率密度函數(shù)，， 此處

為平均數(shù)，

為標(biāo)準(zhǔn)差，

＝3.1416，e=2.7183。

和

為常態(tài)分配之參數(shù)，一般以X~N(

,

2)表示之。注:(i)f(x)之分布呈單峰對(duì)稱(即鐘形分布)(ii)平均數(shù)(mean)=中位數(shù)(Me)=眾數(shù)(Mo)=

(iii)若=0,2=1,則稱標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配,以Z~N(0,1)表示7.2常態(tài)分配推論統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)常態(tài)分配及常態(tài)曲線(TheNormalCurve)的觀念，在統(tǒng)計(jì)中十分重要，它們是推論統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。

常態(tài)分配及曲線是一種理論模式，但透過這理論模式，我們可以對(duì)實(shí)證研究所得之資料分配，做相當(dāng)精確之描述及推論。能做到這一點(diǎn)是因常態(tài)分配本身有些重要且已知的特性，而實(shí)際之資料分配也往往接近常態(tài)分配。常態(tài)分配的重要性常態(tài)分布之所以重要，原因很多，三個(gè)主要的原因?yàn)椋菏紫仁浅B(tài)分布在分析上較易處理。其次是常態(tài)分布之機(jī)率分配圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve)，再加上對(duì)稱性，使得很適合當(dāng)做不少母體之機(jī)率模式。當(dāng)然我們知道鐘形且具對(duì)稱的分布也有不少，但通常不像常態(tài)分布，在分析上如此容易駕馭。第三個(gè)原因是由于在中央極限定理(CentralLimitTheorem)，使得在不太強(qiáng)的條件下，常態(tài)分布可當(dāng)做不少大樣本的近似分布。7.2常態(tài)分配(續(xù))常態(tài)分配之性質(zhì)不同的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差形成不同的常態(tài)分配（見圖7.2與圖7.3

）。常態(tài)分配系以平均數(shù)

為中心的對(duì)稱分配，即平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)都相等。常態(tài)機(jī)率函數(shù)下之面積總和等于1。常態(tài)分配曲線的尾部兩端無限延伸。較常用的常態(tài)分配機(jī)率范圍見圖7.4。圖7.2N(2,0.25)和N(5,0.25)之比較x7.2常態(tài)分配(續(xù)1)7.2常態(tài)分配(續(xù)2)圖7.3N(0,1)和N(0,0.16)之比較7.2常態(tài)分配(續(xù)3)圖7.4常態(tài)分配曲線下之面積常態(tài)分配的應(yīng)用實(shí)例(一)股市技術(shù)面衡量指標(biāo)：超買超賣（ＯＢＯＳ）一.定義：利用一段時(shí)間內(nèi)股市漲跌家數(shù)的累計(jì)差關(guān)系，以研判大盤買賣氣勢(shì)之強(qiáng)弱及未來走向。公式如下：

10日ＯＢＯＳ值＝10日內(nèi)股票上漲累計(jì)家數(shù)－10日內(nèi)股票下跌累計(jì)家數(shù)二.研判技巧：10

日ＯＢＯＳ值通常在-600至+700之間呈現(xiàn)常態(tài)分配。10

日ＯＢＯＳ值超過700時(shí)，股市呈現(xiàn)超買現(xiàn)象，是賣出時(shí)機(jī)，

反之10

日OBOS值低于-600時(shí)，股市呈現(xiàn)超賣現(xiàn)象，是買進(jìn)時(shí)機(jī)。當(dāng)10

日ＯＢＯＳ走勢(shì)與大盤指數(shù)走勢(shì)呈現(xiàn)背離時(shí)，大盤可能隨時(shí)會(huì)做反轉(zhuǎn)，尤其在高檔形成Ｍ頭為賣出時(shí)機(jī)，低檔形成Ｗ底為買進(jìn)時(shí)機(jī)。常態(tài)分配的應(yīng)用實(shí)例(二)教育部于民國八十六年七月六日在屏東召開教育廳局行政協(xié)調(diào)會(huì)報(bào)，重申貫徹「常態(tài)編班」的政策，并獲得地方行政單位的支持。常態(tài)編班學(xué)生異質(zhì)性高，目前臺(tái)灣省各國中，若利用校務(wù)行政網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行常態(tài)編班，其方式約有三種：（1）S型編班：作業(yè)前先將每位學(xué)生順序編排號(hào)碼，可以是隨機(jī)數(shù)編碼（但為了日后各班級(jí)程度一致，最好避免以此方式編碼）或經(jīng)由智力測(cè)驗(yàn)、學(xué)科測(cè)驗(yàn)的名次來編碼。編班時(shí)，按其編碼順序地進(jìn)行「S型」由前至后，再由后至前的將學(xué)生編于各班。（2）分組隨機(jī)數(shù)編班：如上述先給予每位學(xué)生一個(gè)編碼，若預(yù)編為８班則將學(xué)生１--８，９--16，17--24依此類推，每八位學(xué)生為一組，再將每組學(xué)生以隨機(jī)數(shù)方式編排至８個(gè)班級(jí)中。（3）純隨機(jī)數(shù)編班：如（1）所述給予每位學(xué)生一個(gè)編碼后，不考慮順序，完全以計(jì)算機(jī)隨機(jī)數(shù)處里，將學(xué)生編入班級(jí)中。標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(standardnormaldistribution)：當(dāng)常態(tài)隨機(jī)變量之期望值為0且變異數(shù)為1時(shí)，一般以

Z~N(0,1)表示之，其機(jī)率函數(shù)如圖7.7所示

,

注:(z)=f(z)

標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配Z之累積分配函數(shù)c.d.f.F(z)為

F(z)=P(zz)=-zf(t)dt=(z)

注:(i)因?yàn)榉e分復(fù)雜故需藉由查表才能求得機(jī)率值

(ii)P(a<Z<b)=P(aZ<b)=P(a<Zb)=P(aZb)=(b)-(a)(iii)P(Z>c)=1–P(Zc)=(c)7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配查表I.給定分位數(shù)z求機(jī)率值

1.P(Z>1.96)=0.0252.P(Z>-1.96)=0.9753.P(0.15<Z<1.96)=0.41544.P(|Z|<1)=P(-1<Z<1)=0.6826P(|Z|<2)=P(-2<Z<2)=0.9544P(|Z|<3)=P(-3<Z<3)=0.99745.(i)分位數(shù)z四舍五入:P(Z<1.458)=P(Z<1.46)=0.9279(ii)內(nèi)差法:P(Z<1.458)=0.2

P(Z<1.45)+0.8

P(Z<1.46)=0.20.92265+0.80.9279=0.927627.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配查表II.給定機(jī)率值

求分位數(shù)z1.P(Z<a)=0.025a=-1.962.P(0.15<Z<b)=0.4154b=1.963.P(|Z|<c)=0.6826c=14.(i)利用機(jī)率值

近似值:P(Z>d)=0.10d=1.28(ii)利用內(nèi)差法:P(Z>d)=0.10d=0.81.28+0.21.29=1.282注:以下為比較常用分位數(shù)z(1)P(Z>z)=0.10z=1.282

(2)P(Z>z)=0.05z=1.645(3)P(Z>z)=0.025z=1.96(1)P(Z>z)=0.01z=2.326圖7.7標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(續(xù))7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(續(xù)1)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配之性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配系以0為中心之對(duì)稱分配，即

P(Z0)=P(Z0)=0.5。2.標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率函數(shù)下之面積總和等于1。常態(tài)分配曲線的尾部兩端無限延伸。X~N(,2),X轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配Z之公式:Z=(X-)/~N(0,1)

求p(a<X<b)時(shí)需將X轉(zhuǎn)換為Z=(X-)/

即p(a<X<b)=p(a*<Z<b*)=p(查表)

如P(X)=P(Z0)=0.5P(X-)=P(Z1)=0.8413表7.1標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機(jī)率表7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(續(xù)2)驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)法則：7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(續(xù)3)圖7.8標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配曲線下之面積7.3標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(續(xù)4)例7.3求P(Z>0.72)之機(jī)率值。解：例7.3求P(-0.12Z0.72)之機(jī)率值。解：求P(0.12

Z

0.72)之機(jī)率值。解：例7.37.2常態(tài)分配(續(xù)3)

因?yàn)閄之分布呈鐘形分布,對(duì)照經(jīng)驗(yàn)法則(i)P(|Z|1)=0.68,(ii)P(|Z|2)=0.95,(iii)P(|Z|3)=0.68圖7.4常態(tài)分配曲線下之面積X~N(,2)

，X介于a和b之機(jī)率值，其程序必須先將常態(tài)隨機(jī)變量X透過標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)隨機(jī)變量Z，即。7.4常態(tài)分配機(jī)率之計(jì)算例7.6大學(xué)聯(lián)考成績某次大學(xué)聯(lián)考，考生之分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)常態(tài)分配，其中

=500、

=100，現(xiàn)隨機(jī)抽取一人，其成績介于325和675分之間的機(jī)率為何？隨機(jī)抽出5個(gè)人時(shí),試問只有2個(gè)人成績介于325和675分之間的機(jī)率為何？解：令隨機(jī)變量X定義為考生之大學(xué)聯(lián)考成績，則X之機(jī)率分配為平均數(shù)

=500、標(biāo)準(zhǔn)差

=100之常態(tài)分配，故考生成績介于325和675分之間的機(jī)率為例7.6大學(xué)聯(lián)考成績(續(xù))大學(xué)聯(lián)考成績(續(xù))(2)p=P(325X675)=0.9198

令Y表此5人成績介于325和675分之間的人數(shù),所以Y為近似二項(xiàng)式分配,Y

B(n,p),其中n=5,p=0.9198P(Y=2)=C25(0.9198)2(0.0802)3=0.0044注:此Y~HG(N,K,5),因?yàn)閚/N<0.05

所以YB(n,p),其中n=5,p=0.9198

若某生想考上國立大學(xué)，則成績須名列前15%才有希望，試問他必須考多少分才有希望考上國立大學(xué)？(求分位數(shù))解：假設(shè)某生必須考a分才有希望考上國立大學(xué)，則例7.7續(xù)例7.6

因此， 查表可知 所以某生必須考604分才有希望考上國立大學(xué)。例7.7續(xù)例7.6(續(xù))7.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系二項(xiàng)分配vs.常態(tài)分配二項(xiàng)分配，若試驗(yàn)次數(shù)n固定，則當(dāng)p<0.5時(shí)，其分配呈現(xiàn)右偏；當(dāng)p>0.5時(shí)，其分配呈現(xiàn)左偏；當(dāng)p=0.5時(shí)，其分配呈現(xiàn)對(duì)稱。二項(xiàng)分配，若試驗(yàn)次數(shù)n愈大時(shí)，則無論成功機(jī)率p值為何，其分配會(huì)愈來愈呈現(xiàn)對(duì)稱的情形。在實(shí)務(wù)應(yīng)用中，只要當(dāng)np

5且n(1－p)

5時(shí)，則可使用常態(tài)分配作為二項(xiàng)分配之近似分配。

X~B(n,p)X~N(np,npq)

np

5且n(1－p)

5

27.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系(續(xù))連續(xù)校正因子(correctionforcontinuity)二項(xiàng)分配系屬于間斷機(jī)率分配，其隨機(jī)變量之任一可能值發(fā)生的機(jī)率是存在的，而常態(tài)分配系屬于連續(xù)機(jī)率分配，其隨機(jī)變量之任意可能數(shù)值發(fā)生的禨率皆為0。連續(xù)校正因子系指加減0.5個(gè)單位。透過連續(xù)校正因子，可利用常態(tài)分配來求得二項(xiàng)分配的機(jī)率。圖7.18B(10,0.5)和N(5,2.5)之比較7.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系(續(xù)1)圖7.19二項(xiàng)分配和常態(tài)分配之比較7.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系(續(xù)2)7.5二項(xiàng)分配與常態(tài)分配之關(guān)系(續(xù)3)連續(xù)校正因子的使用方式設(shè)X為二項(xiàng)分配(X~B(n,p))，Y為常態(tài)分配(Y~N(np,npq))P(a<X<b)P(a+0.5Yb-0.5)P(a

X<b)P(a-0.5Yb-0.5)P(a<X

b)P(a+0.5Yb+0.5)P(a

X

b)P(a-0.5Yb+0.5)注:以上將Y轉(zhuǎn)為Z分配,Z=(Y–np)/(npq)1/2當(dāng)計(jì)算Xa之機(jī)率時(shí)，因包含a點(diǎn)，故以Ya－0.5之機(jī)率為近似值。當(dāng)計(jì)算X>a之機(jī)率時(shí)，因不包含a點(diǎn)，故以Ya＋0.5之機(jī)率為近似值。當(dāng)計(jì)算Xb之機(jī)率時(shí)，因包含b點(diǎn)，故以Yb＋0.5之機(jī)率為近似值。當(dāng)計(jì)算X<b之機(jī)率時(shí)，因不包含b點(diǎn)，故以Yb－0.5之機(jī)率為近似值。例7.8丟擲一均勻銅板50次丟擲一均勻銅板50次，試問：其出現(xiàn)20次正面之機(jī)率為何？其出現(xiàn)正面的次數(shù)超過20次，但少于30次之機(jī)率為何？解：1.令隨機(jī)變量X為50次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則X~B(50,0.5)P(X=20)=C2050(0.5)20(0.5)30=C2050(0.5)50=0.04186

因?yàn)閚p=255且nq=255

所以XY~N(25,12.5)P(X=20)

P(20Y20)=P(19.5Y20.5)=P(-1.56Z-1.27)=0.0426

例7.8丟擲一均勻銅板50次(續(xù))現(xiàn)令隨機(jī)變量，因且，故

利用常態(tài)分配求得之機(jī)率值與二分配之機(jī)率值非常相近。例7.8丟擲一均勻銅板50次(續(xù)1)2.同理可得

P(20<X<30)=

2129Cx50(0.5)x(0.5)50-x

例:續(xù)前例,若此銅幣為不公平,即正面出現(xiàn)率為反面3倍,試回答上述4題結(jié)果例7.8丟擲一均勻銅板50次(續(xù)2)兩獨(dú)立常態(tài)分配變量定理:

若X~N(

1,12),Y~N(

2,22)且X,Y獨(dú)立則

(1)當(dāng)W=X+Y,則W~N(

1+2,12+22)(2)當(dāng)W=X-Y,則W~N(

1-2,12+22)(3)當(dāng)W=kX,則W~N(k

1,k2

12)(4)當(dāng)W=kX+cY,則W~N(k

1+c2,k2

12+c2

22)補(bǔ)充:均勻分配(Uniformdistribution)定義:均勻分配若連續(xù)變量X為均勻分配,以X~U(a,b)

則X之機(jī)率密度函數(shù)p.d.f.f(x)為

f(x)=1/(b-a),a

x

b注:(i)f(x)圖形為水平線

(ii)X之c.d.fF(x)=(x-a)/(a-b),a

x

bF(x)圖形為斜率為1/(b-a)之直線

(iii)X~U(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)均勻分配,Y=F(X)~U(0,1)其中X為任何分配之變量定理:

若X~U(a,b),則=(a+b)/2,2=(b-a)2/12注:若X為間斷均勻分配(f(x)=1/n,x=1,2,...,n)

則=(1+n)/2,2=(n2–1)/12均勻分配例:

假設(shè)某班次火車開車時(shí)間依過去記錄在上午8:10~8:20，假設(shè)開車時(shí)間(X:分)呈均勻分配，試回答下列問題

(1)某人在上午8:13到車站，則此人可搭上此班火車機(jī)率

(2)試問此班火車平均開車時(shí)間解:X~U(10,20)c.d.f.F(x)=(x-10)/(20-10)(1)P(X>13)=1–P(X13)=1–3/10=0.7(2)E(X)=(10+20)/2=15

所以此班火車平均開車時(shí)間為上午8:15注:某人在上午8:00到車站，則此人可搭上此班火車機(jī)率為1P(X>0)=P(X>10)=1–P(X10)=1-0=1補(bǔ)充:指數(shù)分配(Exponentialdistribution)定義:指數(shù)分配若連續(xù)變量X為指數(shù)分配,以X~Exp(

)則X之機(jī)率密度函數(shù)p.d.f.f(x)為

f(x)=(1/)e-x/,x>0注:(i)f(x)圖形為嚴(yán)格下降曲線

(ii)X表兩事件發(fā)生之間隔時(shí)間

(iii)

為間隔時(shí)間期望值(即(X)=),(ii)和(iii)時(shí)間單位需一致

(iv)指數(shù)分配的參數(shù)

單位為

平均時(shí)間/次波松分配的參數(shù)

單位為

平均次數(shù)/單位時(shí)間

指數(shù)分配定義:指數(shù)分配若連續(xù)變量X為指數(shù)分配,以X~Exp(

)則X之機(jī)率密度函數(shù)p.d.f.f(x)為

F(x)=P(Xx)=1-e-x/,x>0注:(i)P(Xa)=1-e-a/

(ii)P(X>a)=e-a/

(iii)P(aXb)=P(Xa)–P(X>b)=e-a/-e-b/

定理:

若X~Exp(

)則=E(X)=,2=2指數(shù)分配例:

假設(shè)某超市客人進(jìn)入流程是穩(wěn)定流程,依過去記錄平均每4分鐘進(jìn)來一個(gè)客人,令X(分)表兩客人進(jìn)入此超市之間隔時(shí)間,試回答下列問題:(1)X之分配為何

(2)若某客人于上午9:00進(jìn)入后,求下一位在上午9:04~9:08進(jìn)入之機(jī)率

(3)若某客人于上午9:00進(jìn)入后,經(jīng)8分鐘仍無人進(jìn)入之機(jī)率

(4)若某客人于上午9:00進(jìn)入后,后面有5個(gè)客人依序進(jìn)來中,

試問只有兩人之間隔時(shí)間超過4分鐘之機(jī)率

(5)若某客人于