7.4 解一元一次不等式組【知識精研】七年級數(shù)學(xué)下冊（華東師大版2024）

7.4解一元一次不等式組主講：華東師大版七年級

第7章

一元一次不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)11、掌握一元一次不等式組的概念；2、學(xué)會解一元一次不等式組；3、掌握一元一次不等式組的實際應(yīng)用；重點(diǎn)21.通過具體操作，在解一元一次不等式組的過程中形成正確的解不等式的思路與方法;2.掌握將一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上正確的表示.難點(diǎn)31.解較復(fù)雜的一元一次不等式組;2.一元一次不等式組的實際應(yīng)用.溫故知新解一元一次不等式的一般步驟:①去分母——不等式性質(zhì)2或3；②去括號——去括號法則和分配律；③移項——移項法則（不等式性質(zhì)1）；④合并同類項——合并同類項法則；⑤把系數(shù)化成1——不等式基本性質(zhì)2或性質(zhì)3.注意:在①和⑤中，如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù)，要把不等號的方向改變.

新課講授

知識點(diǎn)一

一元一次不等式組的概念問題：從北京甲地到天津乙地

，有幾條可供選擇的路線，它們的路程在240km到300km之

間(包括240km和300km).如果汽車的平

均速度是每小時80km,那么從北京甲地到天津乙地

所需的行駛時間在什么范圍內(nèi)?新課講授設(shè)汽

車

從

北

京

甲

地到

天

津

乙地

需

要xh.根

據(jù)

題

意

，

汽

車

行

駛

的距

離80xkm應(yīng)該在240～300km,即行駛時間x應(yīng)同時滿足不等式80x≥240①和80x≤300②新課講授由于不等式①和②是同時存在的，我們可以把這兩個不等式放在一起，寫為80x≥240①80x≤300②這樣就組成一個一元一次不等式組新課講授不等式組中的各個不等式的解集的公共部分，就

是不等式組中x的可取值的范圍.80x≥240①80x≤300②由不等式①解得：x≥3由不等式②解得：

新課講授在同一數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如圖303.75公共部分①②可以看出，使不等式①②同時成立的x的值是3和3.75之

間的所有數(shù)(包括3和3.75)新課講授不等式①②的解集的公共部分，叫作由不等式①②所組成的一元一次不等式組的解集．不等式組的解集可以記作3≤x≤3.75這樣，上面問題的答案應(yīng)該是：從北京甲地到天津乙地所需的行駛時間的范圍在3～3.75h（包括3和3.75）．新課講授知識要點(diǎn)

一般地，關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起,就組成一個一元一次不等式組.一元一次不等式組的概念：典例分析【例1】判斷下列是否為一元一次不等式組：××√√新課講授

知識點(diǎn)二

一元一次不等式組的解集

【問題】某工程隊用每小時可抽30t水的抽水機(jī)來抽污水管道里積存的污水，估計積存的污水超過1200t而不足1500t，求將污水抽完所用時間的范圍是什么？

要求“將污水抽完所用時間的范圍”就必須滿足兩個條件，即抽出的污水要超過1200t且不足1500t.

設(shè)用xh能將污水抽完，則x同時滿足不等式30x＞1200，①30x＜1500.②新課講授

怎樣確定不等式組中x的取值范圍呢？

類似方程組的解，不等式組中的各不等式解集的公共部分，就是不等式組中x的取值范圍.

由不等式①，解得

x＞40.由不等式②，解得

x＜50.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(如圖).

就容易看出不等式①和②的解集的公共部分，所以不等式組中x的取值范圍是04050新課講授

40＜x＜50.

這就是說，將污水抽完所用時間多于40h而少于50h.

一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫作由它們所組成的不等式組的解集．解不等式組就是求它的解集．

例如，不等式組

的解集是40＜x＜50.30x＞1200，30x＜1500.典例分析

解不等式②，得x>4.解:解不等式①，得x>2.【例2】解不等式組：①②把不等式①、②的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖：所以,這個不等式組的解集是x>4.練一練1、解下列不等式組：（1）

（2）2x-1＞x+1，①x+8＜4x-1.②

解：(1)解不等式①，得x＞2.解不等式②，得

x＞3.把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來.023從上圖可以找出兩個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集x＞3.練一練

0

8從上圖可以看到這兩個不等式的解集沒有公共部分，不等式組無解.新課講授

知識點(diǎn)三

解復(fù)雜的一元一次不等式組

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如下圖:

①②

公共部分.同小取小典例分析在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如下圖:

公共部分.

同大取大練一練議一議：是否存在實數(shù)x，使得x+3<5，且x-2>4?在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如下圖:

所以,原不等式組無解.

沒有公共部分.大大小小無處找新課講授知識要點(diǎn)注意：(1)不等式中有分母、有括號的要先去分母、去括號，分別計算出兩個不等式的解集后分別表示在數(shù)軸上，由公共部分確定不等式組的解集.(2)解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集時，要注意實心圓點(diǎn)與空心圓圈的區(qū)別.練一練因為不等式組的解集為:-1<x<1,所以(a+1)(b－1)=2×(-3)=-6.

新課講授

知識點(diǎn)四

一元一次不等式組的應(yīng)用

因為x只能取整數(shù),所以x=6,即有6輛汽車運(yùn)這批貨物.做一做：用若干輛載重量為8t的汽車運(yùn)一批貨物，若每輛汽車只裝4t，則剩下20t貨物；若每輛汽車裝滿8t，則最后一輛汽車不滿也不空.請你算一算：有多少輛汽車運(yùn)這批貨物？

解：設(shè)有x輛汽車，則這批貨物共有（4x+20

）t.解不等式組，得5＜x

＜7.依題意得新課講授知識要點(diǎn)

利用一元一次不等式解決實際問題時，首先列出準(zhǔn)確的一元一次不等式組是關(guān)鍵，其次未知數(shù)的取值要符合實際意義.典例分析【例4】把一籃蘋果分給幾個學(xué)生，若每人分4個，則剩余

3個；若每人分6個，則最后一個學(xué)生最多分2個.求學(xué)生人數(shù)和蘋果分別是多少？解：設(shè)學(xué)生有x個,則蘋果有(4x+3)個,根據(jù)題意,得(4x+3)-6(x-1)>0，(4x+3)-6(x-1)≤2.解不等式組，得3.5≤x<4.5.根據(jù)題意,x的值應(yīng)是整數(shù)，所以x=4，則4x+3=19.答：學(xué)生有4人，蘋果有19個.練一練1、暑期中，哥哥和弟弟分別編織28個中國結(jié)，已知弟弟單獨(dú)編織一周(7天)不能完成，而哥哥單獨(dú)編織不到一周就已完成.已知兩人每天編織的中國結(jié)數(shù)量都是固定的，均為整數(shù)，且哥哥每天比弟弟多編2個.(1)哥哥和弟弟每天各編織多少個中國結(jié)?(2)若弟弟先編織2天，哥哥才開始編織，那么哥哥編織幾天，兩人所編織的中國結(jié)數(shù)量相同?練一練

(2)設(shè)哥哥編織m天，兩人所編織的中國結(jié)數(shù)量相同.依題意，得3(m+2)=5m，解得m=3.答：哥哥編織3天，兩人所編織的中國結(jié)數(shù)量相同.學(xué)以致用

D學(xué)以致用2．如圖是上海市2025年4月20日的天氣，這天的最高氣溫是22℃，最低氣溫是17℃，設(shè)當(dāng)天某一時刻的氣溫為t(℃)，則t的變化范圍是

(

)A．t>22 B．t<17 C．18<t<21 D．17≤t≤22D學(xué)以致用

3．下列不等式中，與－x＞1組成的不等式組無解的是

．x＞2－1學(xué)以致用

m≤4

m≥2－3≤a＜－2學(xué)以致用

解不等式②，得x＜6.8.解不等式組：解:解不等式①，得①②

把不等式①、②的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖：306因此，原不等式組的解集為學(xué)以致用

解不等式②，得9.解不等式組：解:解不等式①，得

x>2.①②

把不等式①、②的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖：204

由圖可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x>4，所以這個不等式組的解集是x>4.學(xué)以致用10.某單位舉辦活動,計劃購買甲、乙兩種紀(jì)念品共100件進(jìn)行發(fā)放,其中甲種紀(jì)念品每件售價120元,乙種紀(jì)念品每件售價80元.(1)如果購買甲、乙兩種紀(jì)念品一共花費(fèi)了9600元,求購買甲、乙兩種紀(jì)念品各多少件;解:(1)設(shè)購買甲種紀(jì)念品x件,則購買乙種紀(jì)念品(100-x)件.根據(jù)題意,得120x+80(100-x)=9600,解得x=40,則100-x=60.故購買甲種紀(jì)念品40件,購買乙種紀(jì)念品60件.學(xué)以致用(2)設(shè)購買甲種紀(jì)念品m件,如果購買乙種紀(jì)念品的件數(shù)不超過購買甲種紀(jì)念品件數(shù)的2倍,并且總費(fèi)用不超過9400元,那么購買甲、乙兩種紀(jì)念品共有幾種方案?請一一列明,并指出哪一種方案所需總費(fèi)用最少,最少總費(fèi)用是多少元.

課堂小結(jié)一般地，關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起,就組成一個一元一次不等式組.一元一次不等式組概念解集解法解不等式組一元一次不等式組中各個不等式的