河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

洛陽(yáng)市2024——2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義計(jì)算即得.【詳解】因，故故選：A.2.已知，則（）A. B.0 C.1 D.e【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求出，再賦值即可求出，最后求函數(shù)值即可.【詳解】由題意可得，，則，得，則，則.故選：D3.從2，4，8，14這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相減，可以得到不相等的差的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.10 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】先確定有無(wú)重復(fù)的情況，再根據(jù)排列數(shù)求值即可.【詳解】由題意，，，，，，.可得，即，，因此，可以得到不相等的差的個(gè)數(shù)為.故選：B.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】B【解析】【分析】利用整體思想將三項(xiàng)視為二項(xiàng)，連續(xù)用兩次通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以通?xiàng)公式，因?yàn)橐蟮南禂?shù)，所以令，此時(shí)，又的通項(xiàng)公式，令，解得，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為，因此，的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)排除B、D兩項(xiàng)，再用對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷上的單調(diào)性，即可判斷結(jié)果.【詳解】由可得，令，則，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故排除B、D兩項(xiàng)，由，令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以排除C項(xiàng).故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的點(diǎn)調(diào)性，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)的方法判斷單調(diào)性，考查學(xué)生對(duì)圖象分析能力.6.若函數(shù)在上存在最小值，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再根據(jù)函數(shù)在上存在最小值求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此，?dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以的極大值為，極小值為，令，得，化簡(jiǎn)得，解得或，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最小值，所以，解得，故選：C.7.的展開(kāi)式中系數(shù)最大的是（）A.的系數(shù) B.的系數(shù) C.的系數(shù) D.的系數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng)得不等式組可得答案.【詳解】設(shè)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，由題意可得，解得，因?yàn)樗?，所以的展開(kāi)式中系數(shù)最大的是的系數(shù).故選：B.8.若函數(shù)與函數(shù)的圖象有公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)，分別表示出切線，利用兩切線方程對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，解出，將看作關(guān)于變量的函數(shù)，求得函數(shù)的值域即可.【詳解】由題意，設(shè)公切線與函數(shù)相切于點(diǎn)，與函數(shù)相切于點(diǎn)；又，，則公切線的斜率，且；故切線方程為，化簡(jiǎn)得，也可以表示為，化簡(jiǎn)得，所以，則，又，則，則.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可.【詳解】A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D正確.故選：BD.10.如圖，正方形網(wǎng)格棋盤(pán)，其中，，，位于棋盤(pán)上一條對(duì)角線的4個(gè)交匯處．在棋盤(pán)M，N處的甲、乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別要到N，M處，它們分別隨機(jī)地選擇一條沿網(wǎng)格實(shí)線走的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則下列說(shuō)法正確的有（）A.甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為20B.甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的走法種數(shù)為9C.甲、乙能在處相遇的走法種數(shù)為36D.甲、乙能相遇的走法種數(shù)為164【答案】ABD【解析】【分析】由到的最短路徑需要走6格，其中向上3步，向右3步，問(wèn)題為6步中任選3步向上或向右走，再根據(jù)各選項(xiàng)的描述，同理分析各種走法的種數(shù)，即可確定答案.【詳解】A選項(xiàng)：需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：甲從到達(dá)，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有種走法，從到達(dá)，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有種走法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的走法種數(shù)為9，故B正確；C選項(xiàng)：由圖可知，甲走到處需要3步，且乙走到處需要3步，又因?yàn)?，甲?jīng)過(guò)的走法種數(shù)為9，乙經(jīng)過(guò)的走法種數(shù)為9，所以甲，乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：甲，乙兩人沿著最短路徑行走，可能在，，，處相遇，若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，必須向上走3格，乙經(jīng)過(guò)處，必須向左走3格，所以?xún)扇嗽谔幭嘤龅淖叻ㄓ?種；若甲，乙兩人或處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，必須向右走3格，乙經(jīng)過(guò)處，必須向下走3格，所以?xún)扇嗽谔幭嘤龅淖叻ㄓ?種.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為，故D正確.故選：ABD.11.已知，，，則下列大小關(guān)系中正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，變形可得，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因?yàn)?，，，因?yàn)?，故，即，即，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_____．【答案】【解析】【分析】對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式中的分別賦值，聯(lián)立方程即可求得.【詳解】對(duì)于，取，可得，再取，可得，故得.故答案為：.13.已知函數(shù)，，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】2【解析】【分析】求導(dǎo)得到，取得到，計(jì)算切線得到答案.【詳解】，則，取，故，，故切線方程為，取，解得，故的最小值.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為切線方程是解題的關(guān)鍵.14.目前我省高中數(shù)學(xué)試卷中多選題的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次高中數(shù)學(xué)考試中，洛洛同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題和第二小題都隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，他的多選題的總得分（相同總分只記錄一次）共有n種情況，則除以64的余數(shù)是_________．【答案】17【解析】【分析】先分析得這位同學(xué)第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，再列舉出所有的得分，找到，利用二項(xiàng)式定理解決余數(shù)問(wèn)題．【詳解】這位同學(xué)第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，如圖，當(dāng)?shù)谌}得0分時(shí)，有可能總得分為：0，4，6，8，10，12，當(dāng)?shù)谌}得2分時(shí)，有可能總得分為：2，6，8，10，12，14，當(dāng)?shù)谌}得3分時(shí)，有可能總得分為：3，7，9，11，13，15，所以這位同學(xué)的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即，則又，則．則除以64的余數(shù)是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得極值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，又，所以在點(diǎn)處切線的方程為：，化簡(jiǎn)得：.【小問(wèn)2詳解】由題意，，.，令，解得或，列表如下：12

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，函數(shù)的極大值為；極小值為.16.用0，1，2，3，4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．（1）偶數(shù)共有多少個(gè)？（2）比30000大的偶數(shù)共有多少個(gè)？（3）1，2相鄰的偶數(shù)共有多少個(gè)？【答案】（1）60（2）30（3）24【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊元素0是否在個(gè)位分成兩類(lèi)，再根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理相加即可；（2）根據(jù)特殊位置，即萬(wàn)位是3或4分類(lèi)，再根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理相加即可；（3）根據(jù)特殊位置，即個(gè)位是0或2或4分類(lèi)，其中個(gè)位是4的情況可以用剔除法解決，再根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理相加即可；【小問(wèn)1詳解】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是2或4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)萬(wàn)位是3時(shí)，共有種情況；當(dāng)萬(wàn)位是4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).【小問(wèn)3詳解】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是2時(shí)，則十位是1，共有種情況；當(dāng)個(gè)位是4時(shí)，共有種情況；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：符合題意的偶數(shù)有個(gè).17.已知，二項(xiàng)式展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.（1）求展開(kāi)式的第5項(xiàng)；（2）設(shè)展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)可得，即可根據(jù)通項(xiàng)求解常數(shù)項(xiàng)得，進(jìn)而可求解，（2）利用賦值法可得系數(shù)法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，所以.二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)是，所以當(dāng)時(shí)展開(kāi)式中的有常數(shù)項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以展開(kāi)式第5項(xiàng)是.【小問(wèn)2詳解】令，二項(xiàng)式展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和，故.18.已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）函數(shù)，記為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求證：．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而求最小值即可；（2）研究的單調(diào)性，得出，進(jìn)而化簡(jiǎn)，再利用求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】欲證，只需證，即證，令，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，故命題得證.【小問(wèn)2詳解】因，則，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又，則由零點(diǎn)存在性定理可知，在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)其零點(diǎn)分別為，且，則是方程的兩根，則，得；，得或，則在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，則在處取極大值，因?yàn)楹瘮?shù)的極大值點(diǎn)，則，且，，則，所以.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由，按照的取值分類(lèi)討論函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到最值，計(jì)算驗(yàn)證即得的值；（2）由，得方程，顯然為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解．當(dāng)時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值即可求解.【小問(wèn)1詳解】由求導(dǎo)得：，因，當(dāng)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，顯然不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，顯然不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由，可得，符合題意.故實(shí)數(shù)a的值為.【小問(wèn)2詳解】由，可得，顯然是該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為，設(shè)函數(shù)，則，由可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，即對(duì)任意的，恒成立，故方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn).綜上，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn).20.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若“，，，”為真命題，求實(shí)數(shù)a取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求得的定