湖北省宜昌市部分示范高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

宜昌市部分省級示范高中2025春季學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：宜昌市三峽高級中學(xué)命題人：宋知紅審題學(xué)校：宜昌市三峽高級中學(xué)審題人：郭永亮周可欣考試時間：120分鐘滿分：150分注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交，一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知直線，點和點，若，則實數(shù)的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，根據(jù)直線平行的斜率關(guān)系得出實數(shù)的值.【詳解】，由于，則直線的斜率為即，故選：B2.二項式展開式中，的系數(shù)等于（）A.60 B. C.240 D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于3，即可求得答案.【詳解】展開式通項為，令，解得：，所以的系數(shù)等于,故選：A3.在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差中項求解即可．【詳解】解：由等差數(shù)列得，解得.故選：A4.曲線在處的切線方程為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.【詳解】因為，所以，則當(dāng)時，，，故曲線在處的切線方程為，即．故選：D5.現(xiàn)要用種不同顏色對如圖所示的五個區(qū)域進行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）A.180種 B.192種 C.300種 D.420種【答案】D【解析】【分析】先涂區(qū)域，再涂區(qū)域，然后涂區(qū)域，分區(qū)域與區(qū)域同色、區(qū)域與區(qū)域不同色兩種情況討論，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】先涂區(qū)域有種選擇，再涂區(qū)域有種選擇，然后涂區(qū)域有種選擇，若區(qū)域與區(qū)域同色，此時區(qū)域有種選擇，若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，故有種涂色方法.故選：D6.設(shè)等比數(shù)列中，，使函數(shù)在時取得極值，則的值是（

）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在時取得極值，可求得，，代回驗證可得，，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，因為在時取得極值，所以，解得或，當(dāng)，時，，所以在上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)，時，，所以時，，時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得極小值，滿足題意，所以，又，，同號，所以.故選：.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，雙曲線的兩條漸近線分別交橢圓于A、C和B、D四點，若多邊形為正六邊形，則橢圓與雙曲線的離心率之和為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)及離心率的定義即可求解．【詳解】∵多邊形為正六邊形，設(shè)邊長為，∴，，故選：C．8.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點（不含端點），若線段上存在點（不含端點），使得異面直線與成的角，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先取取中點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的夾角公式列出等式，結(jié)合二次函數(shù)的值域即可求出線段長度的取值范圍.【詳解】如圖，取中點，連接，因平面，平面，故平面平面，因是以為斜邊的等腰直角三角形，故，又平面，且平面平面，所以平面，如圖分別以和過點與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，設(shè)，故，得又因為，且異面直線與成的角，故，即即因則有，則故得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查運用建系法求解空間角的問題，屬于較難題.解題關(guān)鍵是根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的夾角公式列出等式，然后利用二次函數(shù)的值域求參數(shù)取值范圍.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，在長方體中，若，E、F分別是、的中點，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.EF與垂直B.EF與所成的角大小為C.EF與平面所成角大小為D.直線EF與平面平行【答案】ACD【解析】【分析】A.連接，易得，再由平面判斷；B.易得EF與所成的角為判斷；C.易得平面，結(jié)合判斷；D.由判斷.【詳解】如圖所示：A.連接，則，由平面，平面，則，所以，故A正確；B.由選項A知：EF與所成的角為，因為長度不定，所以EF與所成的角不確定，故錯誤；C.易知平面，則平面，所以EF與平面所成角大小為，故正確；D.由選項A知：，且平面，平面，所以直線EF與平面平行，故正確，故選：ACD10.關(guān)于多項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.各項系數(shù)之和為1B.各項系數(shù)的絕對值之和為C.常數(shù)項為140D.的系數(shù)為40【答案】BD【解析】【分析】利用賦值法可計算并判斷A，B；利用通項公式可計算并判斷C，D.【詳解】對于A，令，可得各項系數(shù)之和為，故A錯誤；對于B，多項式的展開式各項系數(shù)的絕對值之和與多項式的展開式各項系數(shù)之和相等，在多項式中，令，可得各項系數(shù)之和為，故B正確；對于C，展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，令，則有4種情況：當(dāng)時，該項為；當(dāng)時，該項為；當(dāng)時，該項為；當(dāng)時，該項為.故常數(shù)項為，故C錯誤；對于D，令，結(jié)合，則有，解得或，當(dāng)時，該項為；當(dāng)時，該項為，所以，系數(shù)為，故D正確.故選：BD.11.已知數(shù)列和滿足，，，.則（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.【答案】BCD【解析】【分析】通過合理賦值即可判斷A，對B兩式作和即可判斷，對C兩式作差即可判斷，對D，通過BC選項求出，則可判斷D正確.【詳解】對A選項，令，則，，則，則，則，則A錯誤，

對B選項，由題意中兩式相加得，故B正確，對C選項，由題意中兩式作差得，即，則C正確，對D選項，由B得，，兩式相加得，則，則若，顯然，則成立,故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將5名同學(xué)安排到3個小區(qū)參加創(chuàng)建文明城市宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】150【解析】【分析】首先確定將5名同學(xué)分成3組共有兩種分法，接著計算每種分法下安排方法種數(shù)，最后相加即可.【詳解】將5名同學(xué)安排到3個小區(qū)參加創(chuàng)建文明城市宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，分組方法有（113），（122）兩種分法，當(dāng)分成（113）時，有種安排方法；當(dāng)分成（122）時，有種安排方法；綜上，共有150種安排方法.故答案為：150【點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．13.若圓與直線相交于點A，B，且，則k的值為______．【答案】【解析】【分析】由圓的方程得出圓心與半徑，根據(jù)已知及點到直線的距離公式列出方程求解即可．【詳解】由得，，圓心，半徑，所以，又，所以圓心到直線的距離為，解得，故答案為：．14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，判斷為偶函數(shù)，考慮x>0時，的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，則在是偶函數(shù)，當(dāng)時，，由得，記，，，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡運算能力和推理能力，屬于難題.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某市場上供應(yīng)的氣球中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠生產(chǎn)的氣球合格率為90%，乙廠生產(chǎn)的氣球合格率為80%．（1）從該市場上隨便購買一個氣球，求它是合格產(chǎn)品的概率；（2）如果小李購買了一個氣球是次品，求該氣球是甲廠生產(chǎn)的概率．【答案】（1）0.86（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“氣球合格”為事件，“氣球是甲廠生產(chǎn)”為事件，“氣球是乙廠生產(chǎn)的為事件，根據(jù)全概率公式求解即可；（2）根據(jù)條件概率公式求解即可．【小問1詳解】設(shè)“氣球合格”為事件，“氣球是甲廠生產(chǎn)”為事件，“氣球是乙廠生產(chǎn)的為事件，由題可知，，則．【小問2詳解】．16.已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）對題設(shè)中的遞推關(guān)系變形后可得，故可得是等比數(shù)列；（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求；（3）利用分組求和法可求.【小問1詳解】對整理有：，等式兩邊同時除以可得，等式兩邊再同時減得，即，又由，可得，故，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得的通項公式為，得，所以．【小問3詳解】由（2）知，所以．17.如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，且平面平面．（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)AB和CD交于點，取BE中點，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定得出，由線面平行的判定即可證明；（2）先由線面平行的性質(zhì)得出，以為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面夾角的余弦公式即可求解．【小問1詳解】設(shè)AB和CD交于點，取BE中點，連接，，∵平面平面BDE，平面平面，平面，平面BDE，為正方形，，平面，平面，，平面平面BDE，故，又平面平面平面BEF．【小問2詳解】、為中點，，，平面平面，平面，四點共面，平面平面，，，為平行四邊形，故，以為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，設(shè)平面法向量，則，令，故，設(shè)平面法向量，則，令，故，設(shè)平面與平面的所成的二面角為，所以，所以二面角所成角的正弦值．18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分、兩種情況研究的正負性即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，只需滿足即可.【小問1詳解】定義域為，，令得和-1①若，則在上恒成立，則在單調(diào)遞增；②若，則由解得，解得，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上所述，時，在單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時，，欲證，只需證，即證，令，則又，則，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，又，所以，使得，即，即，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所以，故命題得證.19.已知橢圓的右焦點為，右頂點為，離心率為，且點在橢圓上．（1）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點，且，試探究直線是否恒過一個定點，若是，求出該定點，若不是，說明理由．【答案】（1）（2）直線過定點．【解析】【分析】（1）利用給定的離心率和橢圓經(jīng)過的點求出基本量，進而得到橢圓方程即可.（2）聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理得到，再