高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離問題練習(xí)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離問題A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改成10°，則斜坡長為()A．1 B．2sin10°C．2cos10° D．cos20°解析：原來的斜坡、覆蓋的地平線及新的斜坡構(gòu)成等腰三角形，這個(gè)等腰三角形的底邊長就是所求．答案：C2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)A．30m B.eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．45m解析：在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(102＋（5\r(19)）2－152,2×10×5\r(19))＝eq\f(7,2\r(19))，∠ABC∈(0°，180°)，所以sin∠ABC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2\r(19))))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(3),2\r(19))，所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5eq\r(19)×eq\f(3\r(3),2\r(19))＝eq\f(15,2)eq\r(3)(m)．答案：B3．甲騎電動(dòng)自行車以24km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔SA．6kmB．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)kmD．3km解析：由題意知，AB＝24×eq\f(1,4)＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS＝eq\f(ABsin∠BAS,sin∠ASB)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．答案：C4．設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，則A、BA．40mB．50mC．60mD．70m解析：如下圖所示，△ABC是Rt△，AB＝eq\f(1,2)AC，所以AB＝50m.答案：B5．兩燈塔A、B與海洋視察站C的距離都等于2eq\r(2)km，燈塔A在視察站C的北偏東30°，燈塔B在視察站C南偏東60°，則A、B之間的距離為()A．2kmB．3kmC．4kmD．5km解析：如下圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2eq\r(2)，在△ABC中由勾股定理得：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(8＋8)＝4.答案：C二、填空題6．已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離相等，燈塔A在視察站C的北偏東40°，燈塔B在視察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的________．解析：如下圖所示，因?yàn)锳C＝BC，所以∠CAB＝∠CBA.又∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，所以∠CAB＝∠CBA＝50°.故A在B的北偏西10°的方向．答案：北偏西10°7．已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個(gè)湖隔開，測(cè)得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，則A、C兩地的距離為________．解析：依據(jù)題意，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，代入數(shù)值得eq\f(3,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)8．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，則a＝________．解析：因?yàn)锽＝30°，C＝135°，所以A＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2sin15°,sin30°)＝4sin15°.又sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6),4)－eq\f(\r(2),4)，所以a＝eq\r(6)－eq\r(2).答案：eq\r(6)－eq\r(2)三、解答題9．要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．解：如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，所以BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，所以AB＝eq\r(5)(km)．所以A、B之間的距離為eq\r(5)km.10．如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船馬上前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1°)?解：如圖，連接BC，由余弦定理得：BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.于是，BC＝10eq\r(7).因?yàn)閑q\f(sin∠ACB,20)＝eq\f(sin120°,10\r(7))，所以sin∠ACB＝eq\r(\f(3,7))，因?yàn)椤螦CB＜90°，所以∠ACB＝41°.所以乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援．B級(jí)實(shí)力提升1．如圖所示，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車干脆沿直線AB行駛．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走(結(jié)果精確到0.1km；參考數(shù)據(jù)；eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)()A．3.4km B．2.3kmC．5km D．3.2km解析：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10kmCD＝eq\f(1,2)AC＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5eq\r(3)(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝eq\f(CD,sin45°)＝5eq\r(2)(km)．AB＝AD＋BD＝(5eq\r(3)＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5eq\r(2)＝(5eq\r(3)＋5)＝5＋5eq\r(2)－5eq\r(3)≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．答案：A2．如圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/時(shí)．解析：由題可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理eq\f(MP,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)得MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6).所以速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/時(shí))．答案：eq\f(17\r(6),2)3.如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科學(xué)家考察船從港口O動(dòng)身，沿北偏東30°的OA方向以20海里/時(shí)的速度行駛，一艘快艇從港口B動(dòng)身，以60海里/時(shí)的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去．現(xiàn)兩船同時(shí)動(dòng)身，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為1小時(shí)，則快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過多少小時(shí)才能和考察船相遇？解：設(shè)快艇駛離港口B后，經(jīng)過x小時(shí)，在OA上的點(diǎn)D處與考察船相遇．如圖所示，連接CD，則快艇沿線段BC，CD航行．在△OBC中，由題意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，因?yàn)锽O＝120，所以BC＝60，OC＝60eq\r(3).故快艇從港口B到小島C須要1小時(shí)，所以x