2024-2025學年西師大版小學數(shù)學五年級下冊（全冊）知識點復習要點歸納

西師大版小學數(shù)學五年級下冊（全冊）知識點復習要點歸納倍數(shù)與因數(shù)倍數(shù)、因數(shù)定義：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。例如，在12÷3=4中，12是3和4的倍數(shù)，3和4是12的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨說某個數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)，必須說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。找因數(shù)和倍數(shù)的方法找因數(shù)：可以從1開始，一對一對地找，直到找完所有可能的組合。例如，找18的因數(shù)，1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。找倍數(shù)：用這個數(shù)分別乘1、2、3、4……所得的積就是這個數(shù)的倍數(shù)。例如，5的倍數(shù)有5、10、15、20……一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。2，3，5的倍數(shù)特征的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。例如，12、34、56等都是2的倍數(shù)。是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)，如1、3、5等是奇數(shù)。2.5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。例如，10、25、30等都是5的倍數(shù)。3.3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。例如，判斷123是否是3的倍數(shù)，計算1+2+3=6，6是3的倍數(shù)，所以123是3的倍數(shù)。合數(shù)、質數(shù)質數(shù)：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質數(shù)（或素數(shù)）。例如，2、3、5、7等都是質數(shù)，2是最小的質數(shù)，也是唯一的偶質數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。例如，4、6、8、9等都是合數(shù)。1既不是質數(shù)也不是合數(shù)。分解質因數(shù)：把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)相乘的形式，叫做分解質因數(shù)。通常用短除法來分解質因數(shù)，例如，分解24，先用2除24得12，再用2除12得6，繼續(xù)用2除6得3，所以24=2×2×2×3。公因數(shù)、公倍數(shù)公因數(shù)和最大公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。例如，12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12，18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18，12和18的公因數(shù)有1、2、3、6，最大公因數(shù)是6。求最大公因數(shù)可以用列舉法、分解質因數(shù)法或短除法。公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，4的倍數(shù)有4、8、12、16、20、24……6的倍數(shù)有6、12、18、24……4和6的公倍數(shù)有12、24……最小公倍數(shù)是12。求最小公倍數(shù)同樣可以用列舉法、分解質因數(shù)法或短除法。整理與復習在這部分的整理與復習中，要系統(tǒng)回顧倍數(shù)與因數(shù)相關的所有概念和方法。通過對比2、3、5的倍數(shù)特征，加深對不同數(shù)的倍數(shù)規(guī)律的理解；通過練習找公因數(shù)和公倍數(shù)，熟練掌握求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。同時，要注意區(qū)分質數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等概念，避免混淆?？梢酝ㄟ^做一些綜合性的題目，如判斷一個數(shù)是質數(shù)還是合數(shù)，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，并運用這些知識解決實際問題，檢驗自己對這一單元知識的掌握程度。你知道嗎：陳景潤與哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是數(shù)論領域中著名的難題，大致可以分為兩個猜想：每個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和；每個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇素數(shù)之和。陳景潤是我國著名數(shù)學家，他在哥德巴赫猜想的研究上取得了舉世矚目的成就，證明了“1+2”，即任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成一個素數(shù)和不超過兩個素數(shù)乘積之和。他的研究成果推動了數(shù)學領域的發(fā)展，其堅持不懈、勇于探索的精神也激勵著無數(shù)數(shù)學愛好者投身于數(shù)學研究。了解陳景潤與哥德巴赫猜想的故事，有助于激發(fā)同學們對數(shù)學中數(shù)論知識的興趣，培養(yǎng)探索精神和科學態(tài)度。分數(shù)分數(shù)的意義分數(shù)的定義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。例如，把一個蛋糕看作單位“1”，平均分成4份，其中的1份就是14，3份就是3分數(shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫做分數(shù)單位。例如，35的分數(shù)單位是15，79真分數(shù)、假分數(shù)真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1，例如，12、34、假分數(shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分數(shù)叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1，例如，55、74、帶分數(shù)：由整數(shù)（不包括0）和真分數(shù)合成的數(shù)叫做帶分數(shù)。帶分數(shù)是假分數(shù)的另一種表示形式，例如，74=134，134分數(shù)的基本性質分數(shù)的基本性質是：分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。例如，12=1×22×2=24，36=約分、通分約分：把一個分數(shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。分子和分母只有公因數(shù)1的分數(shù)叫做最簡分數(shù)。約分的方法是：用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除分子、分母，通常要除到得出最簡分數(shù)為止。例如，將1218約分，先找出12和18的公因數(shù)2、3、6，用6去除分子分母，得到12÷618÷6=23通分：把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。通分的關鍵是確定幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)作為公分母。例如，將13和14通分，3和4的最小公倍數(shù)是12，23=1×44×3=412，14分數(shù)與小數(shù)分數(shù)化成小數(shù)：用分子除以分母，除不盡時，根據(jù)需要按“四舍五入”法保留一定的小數(shù)位數(shù)。例如，34=3÷4=0.75，23=2÷3小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個0作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。例如，0.25=25100=14，0.3=3整理與復習在分數(shù)單元的整理與復習中，要全面回顧分數(shù)的各個知識點。通過對比真分數(shù)、假分數(shù)和帶分數(shù)的特點，清晰掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；熟練運用分數(shù)的基本性質進行約分和通分操作；準確進行分數(shù)與小數(shù)的相互轉化?？梢酝ㄟ^做各種類型的分數(shù)計算題目，如分數(shù)的大小比較、分數(shù)與小數(shù)混合運算等，鞏固所學知識，提高對分數(shù)知識的綜合運用能力。同時，要善于總結在學習過程中出現(xiàn)的錯誤和問題，及時進行糾正和強化訓練。長方體正方體長方體、正方體的認識長方體的特征：長方體有6個面，每個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面完全相同；有12條棱，相對的棱長度相等；有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。正方體的特征：正方體的6個面都是正方形，6個面完全相同；12條棱的長度都相等；有8個頂點。正方體是特殊的長方體，可以看作是長、寬、高都相等的長方體。長方體和正方體的關系：長方體和正方體都屬于立體圖形，正方體具備長方體的所有特征，并且在棱長和面對稱性上更加特殊。通過對比兩者的特征，能更好地理解它們的結構特點。長方體、正方體的表面積表面積的定義：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。表面積計算公式長方體表面積公式：S=(ab+ah+bh)×2，其中a表示長，b表示寬，h表示高。例如，一個長方體的長是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米，它的表面積為(5×4+5×3+4×3)×2=(20+15+12)×2=47×2=94平方厘米。正方體表面積公式：S=6a2，其中a表示正方體的棱長。例如，一個正方體的棱長是6分米，它的表面積為6×62=6×36=216平方分米。體積與體積單位體積的定義：物體所占空間的大小叫做物體的體積。體積單位：常用的體積單位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。1立方厘米相當于一個棱長為1厘米的正方體的體積，1立方分米相當于一個棱長為1分米的正方體的體積，1立方米相當于一個棱長為1米的正方體的體積。相鄰兩個體積單位之間的進率是1000，即1m3=1000dm3，1dm3=1000cm3。容積與容積單位：容器所能容納物體的體積，叫做它們的容積。計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，常用容積單位升（L）和毫升（mL），1L=1dm3，1mL=1cm3，1L=1000mL。長方體和正方體的體積計算長方體體積公式：V=abh，即長方體的體積等于長×寬×高。例如，一個長方體的長是8米，寬是5米，高是3米，它的體積為8×5×3=120立方米。正方體體積公式：V=a3，即正方體的體積等于棱長×棱長×棱長。例如，一個正方體的棱長是4厘米，它的體積為4×4×4=64立方厘米。統(tǒng)一體積公式：長方體和正方體的體積還可以用統(tǒng)一公式V=Sh計算，其中S表示底面積，h表示高。對于長方體，底面積S=ab；對于正方體，底面積S=a2。問題解決運用長方體和正方體的知識解決實際問題時，要根據(jù)具體情況分析問題。例如，計算制作一個長方體無蓋魚缸所需的玻璃面積，就是求這個長方體5個面的面積之和（少一個頂面）；計算一個長方體水箱能裝多少水，就是求這個水箱的容積。在解決問題過程中，要注意單位的換算和統(tǒng)一，準確運用表面積、體積和容積的計算公式。同時，要善于將實際問題轉化為數(shù)學模型，通過畫圖、分析等方法理清數(shù)量關系，提高解決實際問題的能力。整理與復習在長方體和正方體單元的整理與復習中，要再次熟悉長方體和正方體的特征，能夠準確區(qū)分它們的異同點。熟練掌握表面積、體積和容積的計算公式及其推導過程，通過做不同類型的題目，如求不規(guī)則物體的體積（可以用排水法等）、計算物體包裝紙的面積等，鞏固所學知識。還可以通過制作長方體和正方體的模型，增強對立體圖形的空間觀念和直觀認識，提高運用知識解決實際問題的靈活性。綜合與實踐：設計長方體的包裝方案在“設計長方體的包裝方案”綜合與實踐活動中，同學們需要運用長方體的表面積等知識，對多個長方體物體的包裝進行設計和優(yōu)化。首先要考慮如何擺放這些長方體物體，使得拼成的大長方體表面積最小，從而節(jié)省包裝材料。這就需要分析不同的擺放方式對表面積的影響，通過計算比較不同方案的表面積大小。例如，將幾個相同的長方體盒子包裝在一起，是將最大的面重合、最小的面重合還是其他面重合更節(jié)省包裝紙。在設計過程中，還可以考慮實際情況，如包裝的美觀性、方便性等，培養(yǎng)同學們綜合運用數(shù)學知識和解決實際問題的能力，以及創(chuàng)新思維和團隊合作精神。你知道嗎：阿基米德巧辨皇冠真假阿基米德在解決皇冠是否摻假的問題時，利用了物體浸入水中排開的水的體積等于物體自身的體積這一原理。他將皇冠和等重量的純金分別放入水中，通過比較它們排開的水的體積是否相同來判斷皇冠是否摻假。如果皇冠排開的水的體積與純金排開的水的體積不同，就說明皇冠不是純金制成的。這個故事體現(xiàn)了數(shù)學和科學知識在實際生活中的重要應用，展示了阿基米德的智慧和創(chuàng)新思維，激勵同學們善于運用所學知識解決生活中的實際問題，培養(yǎng)探索精神和科學素養(yǎng)。分數(shù)加減法分數(shù)加減法1.同分母分數(shù)加減法算理理解：同分母分數(shù)的分數(shù)單位相同，所以在計算時，只需將表示分數(shù)單位個數(shù)的分子進行加減運算，分母保持不變，這和整數(shù)加減法中相同計數(shù)單位的數(shù)相加減的道理一致。1.異分母分數(shù)加減法關鍵步驟：通分的關鍵是確定幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)作為公分母，這樣才能保證分數(shù)的大小不變且分數(shù)單位統(tǒng)一，從而進行加減運算。分數(shù)加減混合運算運算順序：分數(shù)加減混合運算的運算順序與整數(shù)加減混合運算的順序相同。沒有括號的，按照從左到右的順序依次計算；有括號的，先算括號里面的，再算括號外面的。例如，，先計算12+13=36+26=56，再計算56-14=1012-312=712；而12+13-14，先算括號里的13-14=412-簡便運算：整數(shù)加法的交換律、結合律對于分數(shù)加法同樣適用。利用這些運算律可以使一些分數(shù)加減混合運算更加簡便。例如，27+35+57=(27+57)+35=1+探索規(guī)律在分數(shù)加減法的學習中，探索規(guī)律主要體現(xiàn)在尋找算式之間的內(nèi)在聯(lián)系和變化趨勢。例如，觀察12-13=16，13-14=112，14-15綜合與實踐：一年“吃掉”多少森林在“一年‘吃掉’多少森林”綜合與實踐活動中，同學們需要運用分數(shù)加減法等數(shù)學知識，對生活中紙張等森林資源消耗相關的數(shù)據(jù)進行收集、整理和分析。比如，統(tǒng)計家庭每月紙張的使用量，計算一年的用紙總量，再通過相關數(shù)據(jù)估算出這些紙張對應的森林砍伐量。在活動過程中，要學會將實際問題轉化為數(shù)學問題，運用分數(shù)運算解決問題，同時增強環(huán)保意識，認識到節(jié)約資源的重要性。方程用字母表示數(shù)意義和作用：用字母表示數(shù)可以簡明地表示數(shù)量關系、運算定律和計算公式等，具有概括性和普遍性。例如，用s表示路程，v表示速度，t表示時間，那么路程、速度、時間的關系可以用字母公式s=vt表示；加法交換律用字母表示為a+b=b+a。書寫規(guī)則數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“?”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。例如，a×5寫成5a，a×b寫成ab或a?b。兩個相同的字母相乘，可以寫成平方的形式。例如，a×a寫成a2。1與任何字母相乘，1都可以省略不寫。例如，1×a寫成a。等式定義：表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式相等關系的式子叫做等式。等式的兩邊可以是數(shù)字、字母或含有運算的式子。例如，3+2=5，a+5=10，2x-3=7等都是等式。等式的性質等式的性質1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或式子，左右兩邊仍然相等。用字母表示為：若a=b，則a+c=b+c，a-c=b-c。等式的性質2：等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數(shù)或式子，左右兩邊仍然相等。用字母表示為：若a=b，則a×c=b×c，a÷c=b÷c（）。認識方程方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。例如，3x+5=17，2y-6=8等都是方程。方程必須同時滿足兩個條件：一是含有未知數(shù)，二是是一個等式。方程與等式的關系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式包含的范圍更廣，方程是等式中含有未知數(shù)的那一部分。例如，5+3=8是等式，但不是方程；而x+3=8既是等式也是方程。解方程解方程的依據(jù)：解方程主要依據(jù)等式的性質。通過在等式兩邊進行相同的運算，使方程逐步變形，最終求出未知數(shù)的值。解方程的步驟例如，解方程3x+5=17：第一步，根據(jù)等式的性質1，方程兩邊同時減去5，得到3x+5-5=17-5，化簡為3x=12。第二步，根據(jù)等式的性質2，方程兩邊同時除以3，得到3x÷3=12÷3，解得x=4。檢驗：將x=4代入原方程左邊，3×4+5=12+5=17，方程右邊是17，左邊等于右邊，所以x=4是原方程的解。問題解決運用方程解決實際問題的關鍵是找出題目中的等量關系。具體步驟如下：分析題意：認真讀題，理解題目中的數(shù)量關系，找出已知條件和所求問題。設未知數(shù)：一般設要求的問題為x。列方程：根據(jù)找出的等量關系，列出含有未知數(shù)的方程。例如，一個數(shù)的3倍比這個數(shù)多10，設這個數(shù)為x，等量關系是“這個數(shù)的3倍-這個數(shù)=10”，則可列出方程3x-x=10。解方程：按照解方程的步驟求出未知數(shù)的值。檢驗并作答：把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗，看等式是否成立，然后寫出答案。你知道嗎：古老的方程方程有著悠久的歷史，古代許多文明都對方程進行了研究。例如，古埃及的紙草書中就記載了一些方程問題。隨著時間的推移，方程的理論和應用不斷發(fā)展和完善。了解古老的方程，可以讓同學們感受到數(shù)學文化的源遠流長，激發(fā)對數(shù)學學習的興趣，同時認識到方程在解決實際問題中的重要性和廣泛應用。折線統(tǒng)計圖特點：折線統(tǒng)計圖不僅能清楚地反映出數(shù)量的多少，還能清晰地表示出數(shù)量的增減變化情況。通過折線的上升或下降，我們可以直觀地看出數(shù)據(jù)的變化趨勢。例如，統(tǒng)計某地區(qū)一周的氣溫變化情況，使用折線統(tǒng)計圖能很明顯地看出氣溫是升高還是降低。繪制方法整理數(shù)據(jù)：收集并整理需要統(tǒng)計的數(shù)據(jù)。畫出橫軸和縱軸：在圖紙上畫出橫軸和縱軸，分別表示統(tǒng)計的項目和數(shù)量。通常橫軸表示時間、類別等，縱軸表示數(shù)量。確定單位長度：根據(jù)數(shù)據(jù)的大小，確定合適的單位長度，在縱