2023~2024學(xué)年江蘇無錫高三第二學(xué)期高考前適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高三下學(xué)期高考前適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】先求出集合，再由交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可.【詳解】由可得：，解得：，由可得：，解得：或，所以，，所以故選：D.2．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B．12 C． D．3【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算，可得答案.【詳解】由題意，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，故，解得，故選：C3．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)奇偶性和值域，運(yùn)用排除法求解.【詳解】設(shè)，則有，是奇函數(shù)，排除D；，排除B；當(dāng)時，，排除C；故選：A.4．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的角終邊與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題設(shè)易知，利用誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，由.故選：A5．已知△ABC是正三角形，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求出與的夾角，然后利用求投影向量的公式即可求解.【詳解】因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且，所以以為鄰邊作平行四邊形，則四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，所以，即與的夾角為，所以在上的投影向量為（其中表示與同方向的單位向量）.故選：B.6．如圖，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是上不同于的動點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)，得到和，兩式相除即可求解.【詳解】設(shè)，則，，兩式相乘得,①因?yàn)橹睆剿鶎Φ慕鞘侵苯?所以所以

,②①除以②得，故，故選：D7．已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【正確答案】C【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.8．從古至今，中國人一直追求著對稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對稱分布，壯美有序，和諧莊嚴(yán)，映襯著藍(lán)天白云，宛如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)的圖像來刻畫，滿足關(guān)于的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，且（其中），則的值為（）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】先確定函數(shù)的對稱性，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性確定根，從而列出關(guān)于的方程組，解方程組即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，所以的根應(yīng)成對出現(xiàn)，又因?yàn)榈姆匠糖∮腥齻€不同的實(shí)數(shù)根且，所以該方程的一個根是，得，且，所以，由得，當(dāng)，即，即時，，①則，②由①②得，解得，所以；當(dāng)，即，即時，，③，④由③④得，即，解得，此時，不合題意，舍去，綜上，.故選：B.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．某射擊運(yùn)動員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．對一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上【正確答案】BC【分析】對于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解判斷即可；對于B，根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差求解即可判斷；對于C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可判斷；對于D，結(jié)合線性回歸方程的定義即可判斷.【詳解】對于A，將10次射擊成績從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，由，則，即，則，故B正確；對于C，因?yàn)椋瑒t，所以，故C正確；對于D，數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯誤.故選：BC.10．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．若，則的最小值為B．若將的圖象向右平移個單位得到奇函數(shù)，則的最小值為C．若在單調(diào)遞減，則D．若在上只有1個零點(diǎn)，則【正確答案】ABC【分析】由可得關(guān)于對稱，所以，求出可判斷A；由三角函數(shù)的平移變換求出，因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以求出可判斷B；求出的單調(diào)減區(qū)間可判斷C；取，取在的零點(diǎn)可判斷D.【詳解】對于A，由可得關(guān)于對稱，所以，可得：，因?yàn)?，所以的最小值為，故A正確；對于B，將的圖象向右平移個單位得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，所以的最小值為，故B正確；對于C，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：，則，令，，則，故C正確；對于D，若在上只有1個零點(diǎn)，則，取，令，則，則，時，無零點(diǎn)，故D不正確.故選：ABC.11．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為，則（

）A．被截正方體的棱長為2B．被截去的一個四面體的體積為C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體外接球的表面積為【正確答案】ACD【分析】由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點(diǎn)均為正方體各個棱的中點(diǎn)，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)A項(xiàng)，可知四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，即可得出三棱錐的體積，判斷B項(xiàng)；根據(jù)B項(xiàng)的結(jié)果，以及正方體的體積公式，即可得出C項(xiàng)；設(shè)球心為，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理，即可求出，即外接球的半徑為，即可求出表面積得出D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點(diǎn)均為正方體各個棱的中點(diǎn)，如圖1，則，所以，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，如圖1，由A知，四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度為的三棱錐，所以，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，正方體的體積為，所以該二十四等邊體的體積為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，如圖2，設(shè)球心為，顯然是正方體的中心，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，該二十四等邊體外接球的半徑，表面積為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有高階等差數(shù)列?其前7項(xiàng)分別為5，9，17，27，37，45，49，設(shè)通項(xiàng)公式.則下列結(jié)論中正確的是（

）（參考公式：）A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的前11項(xiàng)和最大C．D．【正確答案】AC【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合累加法、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、題中所給的公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以數(shù)列前6項(xiàng)分別為，設(shè)，所以數(shù)列前5項(xiàng)分別為，顯然數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由題中定義可知數(shù)列為二階等差數(shù)列，因此選項(xiàng)A正確；，于是有，因此有，因?yàn)?，所以?shù)列的前11項(xiàng)和最大不正確，因此選項(xiàng)B不正確；因此選項(xiàng)C正確；，因此選項(xiàng)D不正確；故選：AC關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用累加法，結(jié)合題中定義、所給的公式是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則實(shí)數(shù)的值為___________.【正確答案】1【分析】令即可求解.【詳解】令，可得，解得.故答案為:1.14．已知拋物線，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【正確答案】/【分析】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立拋物線與直線方程即可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，由得，綜合即可得點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】由題可設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，恒成立，所以①，②又因?yàn)?，結(jié)合圖形可得③聯(lián)立①②③可得，，所以即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為.15．已知三點(diǎn)在圓上，的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則周長的最大值為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)，且點(diǎn)到圓與軸的正半軸交點(diǎn)的距離為4，正好是的關(guān)系，而三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)，所以不妨認(rèn)為圓與軸的正半軸交點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)，從而可知另兩個頂點(diǎn)正好是圓的直徑的兩個端點(diǎn)，從而可以得到三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而借助基本不等式求出結(jié)果.【詳解】由圓得圓心，半徑圓，如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，由于的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且,所以為圓的直徑，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以周長的最大值為.故答案為.16．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如.已知函數(shù)有且只有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性與最值，再求出時的解析式，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，則有且只有4個根.當(dāng)時，,當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)?，由圖可知.故答案為:.四、解答題17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法1：由可得，由累加法求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法2：由可得，可證得為常數(shù)數(shù)列，求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；方法3：由可得，兩式相減可明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由（1）知，所以，方法1：由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；方法2：由錯位相減求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）方法1：，時，，累加得：，時也成立，.，是等差數(shù)列方法2：，，為常數(shù)數(shù)列，，，，是等差數(shù)列.方法3：當(dāng)時，①，②，②-①可得：，是等差數(shù)列，因?yàn)?（2）由（1）知，所以，方法1：并項(xiàng)求和當(dāng)為偶數(shù)時，，方法2：錯位相減求和①②①-②：18．為貫徹落實(shí)他關(guān)于學(xué)生近視問題的指示精神和《教育等八部門關(guān)于印發(fā)<綜合防控兒童青少年近視實(shí)施方案>的通知》以及《中國防治慢性病中長期規(guī)劃（2017-2025年）》等文件要求，切實(shí)提升我省兒童青少年視力健康整體水平，實(shí)施了，“明眸”工程.各中小學(xué)為推進(jìn)近視綜合防控，落實(shí)“明眸”工程，開展了近視原因的調(diào)查.其校為研究本校的近視情況與本校學(xué)生是否有長時間使用電子產(chǎn)品習(xí)慣的關(guān)系，在已近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，同時在未近視的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：長時間使用電子產(chǎn)品非長時間使用電子產(chǎn)品近視4555未近視2080(1)能否有99%的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)？(2)據(jù)調(diào)查，某?；冀晫W(xué)生約為46%，而該校長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生約為30%，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天非長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他患近視的概率.附：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)有的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用公式求出，即可判斷出結(jié)果；（2）先弄清事件的構(gòu)成，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）零假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān).根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷出成立，所以不成立，即有的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān).（2）設(shè)“長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生”，“非長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人患近視”，則，且互斥，，根據(jù)全概率公式有，所以19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【正確答案】（1）見解析；（2）.【詳解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點(diǎn)睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.20．在銳角中，角所對的邊分別為，已知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且.(1)求角；(2)求邊的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角以及兩角差的余弦公式化簡即可得出答案；（2）因?yàn)?，由余弦定理代入化簡可得，令，結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式求出的范圍，即可求出邊的取值范圍.【詳解】（1），，∵，，，又∵為銳角三角形，，.（2），，，，，，為銳角三角形，所以，，令，，令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即，∴，則，,即的取值范圍為.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，且M，N的中點(diǎn)H在直線上，求面積的最大值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，再根據(jù)的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D，可得軸，求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得即可得解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)直線的距離，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，故點(diǎn)到直線的距離等于，因?yàn)榈膬?nèi)心恰好是點(diǎn)D，所以點(diǎn)到直線的距離相等且為，則即為點(diǎn)到直線的距離，所以，即軸，由，令，則，不妨取，則，故直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，即，又，所以，所