2023~2024學(xué)年四川成都高考熱身數(shù)學(xué)理試題帶解析

2023-2024學(xué)年四川省成都市高考熱身數(shù)學(xué)（理）模擬試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C2．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長(zhǎng)率，月度環(huán)比是指本月和上一個(gè)月相比較的增長(zhǎng)率，如圖是我國(guó)2022年1月至2022年12月居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)圖，則以下說(shuō)法正確的是（

）

A．在這12個(gè)月中，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.9%B．在這12個(gè)月中，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.4%C．在這12個(gè)月中，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最低是5月D．在這12個(gè)月中，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最高是10月【正確答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分別求出消費(fèi)同比數(shù)據(jù)，求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即可得答案．【詳解】在這12個(gè)月中，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.1%，A錯(cuò)；我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.0%，B錯(cuò)；根據(jù)環(huán)比數(shù)據(jù)知：我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最低是1月，我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最高是10月，C錯(cuò)，D對(duì).故選:D.3．實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】舉反例即可判定ABD，由，得出，利用指數(shù)函數(shù)的性即可判定C.【詳解】取,滿(mǎn)足,但,所以A錯(cuò)誤；取,滿(mǎn)足,但，所以B錯(cuò)誤；若，則,,所以C正確；取,則,所以D錯(cuò)誤.故選:C.4．早在公元5世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時(shí)，就創(chuàng)造性地提出了一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積、總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積、相等.根據(jù)“祖暅原理”，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)祖暅原理，判斷“”與“”之間的邏輯推理關(guān)系即可.【詳解】根據(jù)祖暅原理可知，當(dāng)時(shí)，一定有成立，反之，當(dāng)成立時(shí)，不一定有成立，比如兩個(gè)完全相同的三棱錐，正置和倒置時(shí)，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．已知向量，，且．則的值為（

）A． B．0 C． D．不存在【正確答案】C【分析】根據(jù)向量共線得到，利用二倍角正弦公式得到，再根據(jù)平方關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，?所以，即，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所?故選：C6．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．8 B．-8 C．4 D．-4【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，求首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，，所以.故選：B7．已知兩個(gè)平面，，及兩條直線，．則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，是異面直線，，，，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)面面的位置關(guān)系判斷C，根據(jù)面面平行的判定定理及異面直線的概念判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，A正確；對(duì)于B，若，，則，又，則，B正確；對(duì)于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以存在直線，，因?yàn)椋钱惷嬷本€，所以與相交，因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，，所以，D正確，故選：C8．已知函數(shù)，其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，并與過(guò)點(diǎn)A的直線相交于另外兩點(diǎn)C、D.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象結(jié)合三角函數(shù)求點(diǎn)，進(jìn)而求，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，可得，即，由圖可知：點(diǎn)A為減區(qū)間的對(duì)稱(chēng)中心，令，解得，取，則，即，可得，因?yàn)辄c(diǎn)A為線段CD的中點(diǎn)，則，所以.故選：B.9．算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱(chēng)“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字170，若在個(gè)、十、百、千位檔中，先隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于1000的概率為（

）

A． B． C． D．【正確答案】D【分析】所撥數(shù)字共有，所撥數(shù)字大于1000包含兩種:①上珠撥的是千位檔，②上珠撥不是千位檔，這兩種情況進(jìn)行分析求解，由此能求出所撥數(shù)字大于1000的概率．【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能，要使所撥數(shù)字大于1000，則：①上珠撥的是千位檔,則所撥數(shù)字一定大于1000，有種;②上珠撥不是千位檔,則再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位必有千分位,有種,則所撥數(shù)字大于1000的概率為.故選:D.10．設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意方程求得，設(shè)，利用傾斜角的概念以及兩角差的正切公式，基本不等式，正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得：，則，所以.因?yàn)辄c(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，不妨設(shè),設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最大值是.故選:A.11．某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬(wàn)元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【正確答案】C【分析】復(fù)利計(jì)息問(wèn)題，逐年分析尋找規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由題意，2023年存的2萬(wàn)元共存了10年，本息和為萬(wàn)元，2024年存的2萬(wàn)元共存了9年，本息和為萬(wàn)元，2032年存的2萬(wàn)元共存了1年，本息和為萬(wàn)元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢(qián)數(shù)約為萬(wàn)元，故選：C.12．如圖，球的半徑為，球面上的三個(gè)點(diǎn)，，的外接圓為圓，且，則三棱錐的體積最大值是（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設(shè)圓的半徑為，即可表示、，從而得到，再利用均值不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，又，所以，所以，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，所以三棱錐的體積最大值是.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是通過(guò)三角關(guān)系表示出，再利用三元均值不等式求出的最大值.二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則__________.【正確答案】5【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得、，即可求出，從而得解.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所?故14．已知變量滿(mǎn)足約束條件，則的最大值__________.【正確答案】5【分析】作出可行域,設(shè)，根據(jù)的幾何意義，求得的最小值和最大值，進(jìn)而得到的最大值.【詳解】作出可行域，如圖，令，可得，令，可得，設(shè)，則直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，因此的最大值是5.故答案為:5.15．某地鐵換乘站設(shè)有編號(hào)為，，，的四個(gè)安全出口，若同時(shí)開(kāi)放其中的兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需時(shí)間如下表：安全出口編號(hào)，，，，疏散乘客用時(shí)（秒）120140190160則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由題意可得同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口所用時(shí)間比較可得比快，若同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口的用時(shí)間比較可得比快，若同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口所用時(shí)間比較可得比快，從而可得結(jié)論.【詳解】同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快；同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快，同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開(kāi)放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快，綜上所述：疏散乘客用時(shí)最短的一個(gè)安全出口的編號(hào)是.故16．等比數(shù)列的公比為，其前n項(xiàng)和為，且，．若仍為等比數(shù)列，則______．【正確答案】【分析】由題意求得，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求得，因?yàn)槿詾榈缺葦?shù)列，則，代入求解即可得出答案.【詳解】由得：，則，所以，又，所以，又，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，解得：，?dāng)時(shí)，是等比數(shù)列.故答案為.三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)求角C的大??；(2)已知，的面積為6，求的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變形，求角的值；（2）首先根據(jù)面積公式求，再根據(jù)余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）即，則,且，則；，（2），所以，根據(jù)余弦定理可知，,即，根據(jù)正弦定理，，即，解得.18．如圖，在正六棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)證明線線平行證明四點(diǎn)共面即可；（2）空間向量法求面面角余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦值即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接,又為的中點(diǎn)，再結(jié)合正六棱柱的性質(zhì)易得：，且,四邊形為平行四邊形，，又均為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，，，，，四點(diǎn)共面；（2）根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可得：兩兩相互垂直，分別以直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得：,,根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)知平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,則,令，則,設(shè)平面與平面所成角平面與平面所成角的余弦值為：所以平面與平面所成角的正弦值為19．環(huán)保部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了某市2022年中100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到江邊綠道鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)1（優(yōu)）610252（良）910123（輕度污染）7874（中度污染)321若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”．(1)估計(jì)該市2022年（365天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【正確答案】(1)天(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【分析】（1）由頻數(shù)分布表得到空氣質(zhì)量等級(jí)為或的概率，從而得到“空氣質(zhì)量好”的概率，即可估計(jì)天數(shù)；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，所以“空氣質(zhì)量好”的概率為，所以該市年（天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)為（天）.（2）依題意列聯(lián)表如下所示：人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好所以，因此沒(méi)有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作，垂足為M，且．

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡C于S，T．證明：以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．【正確答案】(1)；(2)以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?所以，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線，與軌跡的方程聯(lián)立，以線段為直徑的圓的方程為，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，由的任意性即可得證.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?所以，化簡(jiǎn)得，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)直線，聯(lián)立得,,從而，于是,.以線段為直徑的圓的方程為,即，所以.由對(duì)稱(chēng)性知定點(diǎn)在軸上,令得，于是，由的任意性,所以，解得.所以以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)為.

21．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出的范圍即可；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.【詳解】（1）由題意可得有兩個(gè)兩側(cè)異號(hào)的零點(diǎn)，又,于是.令,則,令,則，當(dāng)時(shí),,于是,所以在上單調(diào)遞減且.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞增.又且時(shí),.且時(shí),.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)?所以.于是，從而.下面證明，即證明.令,即證明，即證明.令,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以恒成立.所以在上單調(diào)遞增,所以.從而，所以，于是.由（1）知,,從而.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．22．如圖所示形如花瓣的曲線稱(chēng)為四葉玫瑰線，在極坐標(biāo)系中，其極坐標(biāo)方程為．

(1)若射線與相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)，求；(2)若