2023~2024學(xué)年四川成都簡陽高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)理試題帶解析

2023-2024學(xué)年四川省成都市簡陽市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】化簡集合，根據(jù)并集的定義求.【詳解】因為不等式的解集為，所以，函數(shù)的值域為，所以，所以，故選：B.2．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可得解.【詳解】因為，則，所以在復(fù)平面上所對應(yīng)的點為位于第二象限.故選：B.3．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．12 B． C．6 D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，由二項式的展開式可得只有中的與中的相乘才會得到，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以只有中的與中的相乘才會得到，即，所以的系數(shù)為.故選:D.4．如圖所示是世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖：下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢【正確答案】D【分析】利用折線圖、條形圖及扇形圖的特點即可求解.【詳解】對于A，從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；對于B，從扇形圖中能夠明顯地看出2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確；對于C，從條形圖中能夠明顯地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平，故C正確；對于D，由題中三幅統(tǒng)計圖并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故D錯誤.故選：D.5．如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．平面平面 B．C． D．平面【正確答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，由分別為所在棱的中點得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A選項正確；對于B選項，為下底面的中心，故為的中點，因為為所在棱的中點，所以，故B選項正確；對于C選項，若，由B選項知，則有，令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，所以，不滿足，故C選項錯誤；對于D選項，由A選項知，由正方體的性質(zhì)易知，所以，平面，平面，所以平面，故D選項正確.故選：C6．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是（

）A．2 B． C．3 D．4【正確答案】C【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示（陰影部分），解方程組，得，故，解，可得，故，表示的是可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，,根據(jù)的幾何意義可知的最大值為2，的最大值為.故選：C.7．在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【詳解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內(nèi)角，，∴，∵，，則，故B錯誤；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正確，D錯誤.又，所以，則三角形為等邊三角形，所以，則，故A錯誤.故選：C.8．為弘揚傳統(tǒng)文化，某校進(jìn)行了書法大賽，同學(xué)們踴躍報名，在成績公布之前，可以確定甲、乙、丙、丁、戊5名從小就練習(xí)書法的同學(xué)鎖定了第1至5名．甲和乙去詢問成績，組委會對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是五人中最差的．”則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】分甲是最后一名，則乙可能是二、三、四名和甲不是最后一名，則甲乙需排在二、三、四名求出總事件的個數(shù)，再求出最終丙和丁獲得前兩名的方法總數(shù)，再由古典概率公式代入即可得出答案.【詳解】由概率的相關(guān)性質(zhì)，只需分析甲乙丙丁戊五人情況即可．①若甲是最后一名，則乙可能是二、三、四名，剩下三人共有種情況，此時共有種情況；②若甲不是最后一名，則甲乙需排在二、三、四名，有種情況，剩下三人共有種情況，此時有種情況．則一共有種不同的名次情況，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，故丙和丁獲得前兩名的概率．故選：D.9．已知，若恒成立，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和輔助角公式化簡，求出，此時，則，由誘導(dǎo)公式即可得出答案.【詳解】，其中，，所以當(dāng)時，.若恒成立，則，此時，則，即，.故選：A.10．定義：設(shè)不等式的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解．若關(guān)于x的不等式有最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，根據(jù)的取值范圍分類，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求得的取值范圍.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，則原不等式化為.易知m＝0時不滿足題意.當(dāng)m>0時，要存在唯一的整數(shù)，滿足，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，如圖1所示

則，即，解得.當(dāng)m<0時，要存在唯一的整數(shù)，滿足，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，如圖2所示

則，即，解得.綜上，實數(shù)m的取值范圍是.故選：D11．以雙曲線的實軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則該雙曲線的離心率為（

）A．或2 B．2或 C． D．【正確答案】B【分析】先由雙曲線與圓的對稱性得到，再將代入，從而得到，，進(jìn)而結(jié)合得到關(guān)于的齊次方程，由此轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線離心率的方程即可得解.【詳解】依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對稱性，可得四邊形為矩形，如圖，不放設(shè)點位于第一象限，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，以雙曲線的實軸為直徑的圓的方程為，則，將代入，得，則，即，所以，則，故，又，所以，則，則，所以，則，即，所以，即，解得或，因為，所以或.故選：B.12．已知函數(shù)和的定義域為，且為偶函數(shù)，，且為奇函數(shù)，對于，均有，則（

）A．1 B．66 C．72 D．2022【正確答案】C【分析】根據(jù)，求出的周期，由為偶函數(shù)求出；根據(jù)，求出的周期，由求出；再根據(jù)，均有，令即可列出關(guān)于的方程組，求出，最后根據(jù)函數(shù)的周期性可得.【詳解】依題意，因為，所以，所以，所以的周期，所以，又因為為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以；因為，即，所以，所以的周期，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以；因為對于，均有，所以，，所以，由，解得：，所以，故選：C.本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性以及對稱性，利用題設(shè)給定的公式轉(zhuǎn)化化簡是關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化時要注意奇偶性的運用，可以利用函數(shù)的周期將問題轉(zhuǎn)化到題中給定函數(shù)的區(qū)間內(nèi)，最后進(jìn)行對賦值即可得到相應(yīng)的方程組，求解方程組即可.二、填空題13．已知直線與圓相交，則整數(shù)的一個取值可能是__________.【正確答案】3（或，只需填寫一個答案即可）【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓相交的條件即可求解.【詳解】由圓，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，因為直線與圓相交所以，解得，所以整數(shù)的所有可能取值為.故3（或，只需填寫一個答案即可）.14．已知點在直線上，點在直線外，若，且，，則的最小值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)條件可得出從而得出，進(jìn)而得出BC，根據(jù)題意知，當(dāng)時，最小，從而得出可得出的最小值．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，最小；由，，∴，即，∴，∴當(dāng)時，由面積法得，，所以的最小值為.故15．已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐的外接球的表面積為________．【正確答案】/【分析】先把三視圖還原成幾何體，設(shè)為矩形的中心，為的外心，為四棱錐的外接球的球心，由平面，平面可證明四邊形為矩形，在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理求出外接球半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】如圖，根據(jù)三視圖可還原得四棱錐：設(shè)為矩形的中心，為的外心，為四棱錐的外接球的球心，過做平面，連接由三視圖可知四邊形為矩形，,,為的中點，，.因為四棱錐外接球的球心滿足平面，平面，所以，又平面，所以，同理得.所以四邊形為矩形.在矩形中，，在中，因為，即，所以，在中，外接球半徑，所以外接球的表面積為.故16．已知在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍________．【正確答案】【分析】令，再分和兩種情況討論，當(dāng)時，不等式即為在上恒成立，令，即，易得函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，顯然題設(shè)不成立，當(dāng)時，在上恒成立，即，即在上恒成立，令，即，因為，所以函數(shù)在上遞增，所以在上恒成立，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以時，在上恒成立，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.故答案為.方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.三、解答題17．已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列前項積為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂項相消求和法求得.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，即：，又，，.又，當(dāng)時，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.18．如圖，在四棱錐中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，求平面PCD與平面PAD所成銳二面角的余弦值．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．（2）作輔助線，利用線面垂直的判定證明PH⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接DB交AC于點O，連接PO．因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點．因為PB＝PD，所以PO⊥BD．又因為AC，平面APC，且，平面APC所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）取AB中點M，連接DM交AC于點H，連接PH．因為，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．又因為PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是邊長為2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O(shè)為坐標(biāo)原點，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，所以，令得．設(shè)平面的法向量為，所以，令得．設(shè)平面與平面的夾角為．所以，所以，平面與平面夾角的余弦值為．19．設(shè)兩名象棋手約定誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.已知每局甲贏的概率為p(0<p<1)，乙贏的概率為1－p，且每局比賽相互獨立.在甲贏了m(m<k)局，乙贏了n(n<k)局時，比賽意外終止.獎金該怎么分才合理？請回答下面的問題.(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏k局而比賽意外終止的情況，那么甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比進(jìn)行分配.若a=243，k=4，m=2，n=1，，則甲應(yīng)分得多少獎金？(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去且乙贏得全部獎金”，試求當(dāng)k=4，m=2，n=1時比賽繼續(xù)進(jìn)行下去且甲贏得全部獎金的概率f(p).規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，請判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.【正確答案】(1)216元(2)不一定，理由見解析【分析】（1）根據(jù)比賽繼續(xù)進(jìn)行的局?jǐn)?shù)進(jìn)行分類討論，求得甲贏得全部獎金的概率，進(jìn)而求得甲應(yīng)分得的獎金.（2）先求得、，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，從而求得的最大值，由此作出判斷.【詳解】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎金，則最后一局必然甲贏.由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部獎金.當(dāng)X=2時，甲以4：1贏，得；當(dāng)X=3時，甲以4：2贏，得；當(dāng)X=4時，甲以4：3贏，得.于是，甲贏得全部獎金的概率為，進(jìn)而得甲應(yīng)分得的獎金為（元）.（2）設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行Y局且乙贏得全部獎金，則最后一局必然乙贏.當(dāng)Y=3時，乙以4：2贏，得；當(dāng)Y=4時，乙以4：3贏，得.所以，乙贏得全部獎金的概率.于是，甲贏得全部獎金的概率.對f(p)求導(dǎo)，得.因為，所以，得f(p)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是.由此可知，，即乙贏的最大概率大于0.05，所以事件A不一定是小概率事件.20．已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【正確答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算判斷作答.【詳解】（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且，因為，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因為在橢圓上，即，即，，從而，，又因為不在直線上，則有，即，所以為定值，且.方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值．(2)若有三個極值點，且，①求實數(shù)的取值范圍；②證明：．【正確答案】(1)極小值為，無極大值(2)①；②證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值；（2）①當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，說明不合題意，當(dāng)時，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)情況，結(jié)合零點存在定理，判斷函數(shù)有三個零點，符合題意；②由題意可判斷三個零點的范圍且滿足，因為要證明，即，也即，又因為，故只要證明，故構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性證明即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，所以時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有極小值為，無極大值；（2）①解：由，所以，因為,僅當(dāng)時取等號，于是，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時至多有一個零點，不符合，當(dāng)時，令，得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，當(dāng)時，，所以，，又，，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，所以，故，則，，因此在內(nèi)恰有一個零點（即在有一個零點），在內(nèi)有一個零點，即，在內(nèi)有一個零點，故有三個零點，則；②證明：由題