河南省信陽市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年普通高中高一下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算即可.【詳解】，故選：C.2.的值等于（）A. B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】運用正弦函數(shù)兩角和公式計算.【詳解】，故選：B.3.已知向量，的夾角為，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】相應(yīng)值代入投影向量公式即可得解.【詳解】在上的投影向量為.故選：A4.函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)求得已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)已知即可求得.【詳解】，令，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由，得，而，所以所求單調(diào)遞增區(qū)間是和.故選：C.5.已知向量，滿足，，且，則（）A B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示求出，，再利用模長公式求解即可．【詳解】因為，，，所以，則，故，所以，則．故選：A.6.已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域為C.函數(shù)的圖象的對稱中心為，D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】C【解析】【分析】由正切型函數(shù)的最小正周期公式求函數(shù)的最小正周期可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域，可判斷B；由正切函數(shù)的對稱中心求函數(shù)的對稱中心，可判斷C；由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期，A正確；對于B，由，，得，，所以函數(shù)的定義域為，B正確；對于C，由，，得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，C錯誤；對于D，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，D正確.故選：C7.將函數(shù)圖象上所有點橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得曲線上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象變換求函數(shù)的解析式，根據(jù)條件及三角函數(shù)性質(zhì)列方程求，再確定其最小值即可.【詳解】可化為，所以，由條件可得，因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，所以，，又，所以的最小值為，故選：A.8.在中，角，，的對邊分別為，，，且面積為.若，，則角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，可得，由余弦定理，三角形面積公式可求得，結(jié)合，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得答案【詳解】因為，所以由正弦定理得,所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，故選：D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求，根據(jù)虛部的定義求復(fù)數(shù)的虛部判斷A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義求，判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)，判斷D.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為，A錯誤；因為，所以，B正確，因為，所以，C正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點位于復(fù)平面的第一象限內(nèi)，D錯誤；故選：BC.10.信陽是中國十佳宜居城市之一，氣候宜人，環(huán)境優(yōu)美.如圖是信陽市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，的部分圖象，則下列說法正確的是（）A.該函數(shù)的周期是B.該函數(shù)的解析式是，C.該函數(shù)圖象的對稱中心是D.該函數(shù)圖象的對稱軸是直線【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖象得出該函數(shù)的周期，可判斷A選項的正誤；結(jié)合圖象求出該函數(shù)的解析式，可判斷B選項的正誤；再求函數(shù)的對稱中心判斷C，求函數(shù)的對稱軸判斷D.【詳解】對于A選項，由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B選項，由圖象可得，解得，，圖象經(jīng)過點，，.，，則，，所以，函數(shù)解析式為，，B選項正確；對于C選項，令，，可得，，所以函數(shù)圖象的對稱中心為，C選項錯誤；對于D選項，令，，可得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故D選項正確.故選：ABD.11.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法正確的是（）A.若，，，則滿足條件的三角形有兩個B.若，則C.若，，則的最大值為D.若，且，則等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】計算，比較，，的大小，根據(jù)所得結(jié)果判斷A，舉反例判斷B，由條件結(jié)合三角形面積公式可得，結(jié)合余弦定理，基本不等式可得，結(jié)合平方關(guān)系可求的最大值，判斷C，由條件可得的角平分線與垂直，由條件可求，由此判斷D.【詳解】A選項，若，，，則，所以，所以滿足條件三角形有兩個，所以A選項正確.B選項，若，如，，，，則，，故，所以B選項錯誤.C選項，，，余弦定理得，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由于三角形中，，所以，則，又，即，整理得，記得，所以的最大值為，所以C選項正確.D選項，表示方向的單位向量；表示方向的單位向量，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知與的角平分線共線，由可知的角平分線與垂直，所以三角形是等腰三角形.而，所以為銳角，且，所以是等邊三角形.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在中，是上靠近的一個三等分點，，，則可以用，表示為______.【答案】【解析】【分析】由條件可得，結(jié)合向量的線性運算法則求結(jié)論.【詳解】因為是上靠近的一個三等分點，所以，又，，所以，故答案為：.13.若是三角形的一個內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由條件求的范圍，再求，的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由，可得，又是三角形的一個內(nèi)角，所以，故，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，解得，又，所以的取值范圍為，故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若方程在上恰有1個實數(shù)根，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式及余弦函數(shù)的對稱性求出a，即可得到函數(shù)解析式，再求出端點處函數(shù)值與最大值，依據(jù)題意方程在上恰有1個實數(shù)根，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，其中,又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且，所以，解得，所以，當(dāng)時，令，因為方程在上恰有1個實數(shù)根，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時，的最大值為4；時，的最小值為【解析】【分析】（1）由已知可得，則，從而可求出x的值；（2）根據(jù)題意可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為，，，所以．若，則，與矛盾，故，于是．又，所以．【小問2詳解】．因為，所以，從而．所以，于是，當(dāng)，即時，取到最大值；當(dāng)，即時，取到最小值．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角與鈍角的終邊與單位圓分別交于A，B兩點，x軸正半軸與單位圓交于點M，已知，點B的縱坐標(biāo)是．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積求解出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解出的值，最后根據(jù)兩角差的余弦公式求解出的值；（2）根據(jù)二倍角公式求解出的值，然后根據(jù)兩角差的正弦公式求解出的值，結(jié)合角的范圍求解出的值.【詳解】解：（1）由題意，．，為銳角，，．又點B的縱坐標(biāo)是且為鈍角，，．．（2），，，，．又，故．17.近年來，西安市長安區(qū)認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向，為擴大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計劃在如圖所示的扇形區(qū)域內(nèi)修建矩形水池，矩形一邊在上，點C在圓弧上，點D在邊上，且，米，設(shè).（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積；當(dāng)為何值時，取得最大值，并求出這個最大值.【答案】（1）平方米；（2），當(dāng)時，取得最大值平方米.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式列式即得.（2）利用直角三角形利用半徑與分別表示出，進而可得矩形面積表達式；再由輔助角公式將化簡變形，結(jié)合角的范圍求最大值可得.【小問1詳解】依題意，，扇形半徑即米，則扇形OMN的面積為平方米.【小問2詳解】在中，，，在中，，則，于是，則矩形面積，，所以；由，得，則當(dāng)時，即時，，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為平方米.18.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合和差公式整理即可得的值，進而即可求解；（2）結(jié)合（1），先根據(jù)正弦定理得，，再根據(jù)余弦定理得，從而可得到，結(jié)合題意可得到的取值范圍，從而確定的取值范圍，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】根據(jù)題意，由正弦定理得，又在中，有，所以，所以，所以．【小問2詳解】結(jié)合（1）可得，，由，則根據(jù)正弦定理有，得，，根據(jù)余弦定理有，得，所以，又為銳角三角形，則有，，得，所以，所以，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)正弦定理，余弦定理將求的范圍轉(zhuǎn)化為求正弦型函數(shù)的值域，結(jié)合題意得到的取值范圍，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)是解答小問（2）的關(guān)鍵．19.若函數(shù)在定義域區(qū)間上連續(xù)，對任意恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的上凸函數(shù)，若恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的下凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，這個性質(zhì)稱為函數(shù)的凹凸性．上述不等式可以推廣到取函數(shù)定義域中的任意n個點，即若是上凸函數(shù)，則對任意恒有，若是下凸函數(shù)，則對任意恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．應(yīng)用以上知識解決下列問題：（1）判斷函數(shù)（，），，在定義域上是上凸函數(shù)還是下凸函數(shù)；（只寫出結(jié)論，不需證明）（2）利用（1）中的結(jié)論，在中，求的最大值；（3）證明函數(shù)是上凸函數(shù)．【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用上凸函數(shù)、下凸函數(shù)的定義，作差，結(jié)合和角及二倍角的正弦推理判斷即可.（2）利用（1）結(jié)論，結(jié)合三角形三內(nèi)角和定理求出最大值.（3）作差，結(jié)合對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)