江西省撫州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)撫州市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題卷說(shuō)明：1．本卷共有4大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分．3．所有考試結(jié)束3天后，考生可憑準(zhǔn)考證號(hào)登錄智學(xué)網(wǎng)（）查詢考試成績(jī)，密碼與準(zhǔn)考證號(hào)相同．一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求．1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：B.2.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】,故選：A3直線與平面不平行，則（）A.與相交 B.C.與相交或l?α D.以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的概念，結(jié)合題意，即可得到答案.【詳解】由直線與平面的位置關(guān)系概念，可得直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交三種位置關(guān)系，因?yàn)橹本€與平面不平行，所以與相交或.故選：C.4.在中，若，則邊的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得：，故選：B.5.在中，邊上的中線與邊上的中線的交點(diǎn)為，若，則（）A.1 B.-1 C. D.【答案】D【解析】【分析】易得E為三角形的重心，然后利用平面向量基本定理求解.【詳解】解：由題可知E為三角形的重心，則，∴，，∴．故選：D6.如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中與底面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由展開(kāi)圖得到正方體的直觀圖，則即為與底面的夾角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】由展開(kāi)圖可得如下直觀圖，由正方體的性質(zhì)可知平面，則即為與底面的夾角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，所以，即與底面的夾角的余弦值為.故選：D7.如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，則塔高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函數(shù)的定義，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】在中，，所以所以，由正弦定理，可得，在直角中，因?yàn)樗裕此邽椋蔬x：C．8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，D，E分別為BC和BA的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D靠近點(diǎn)B，AD交CE于點(diǎn)P，設(shè)，，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用表示，結(jié)合平面向量基本定理得到方程組，求解后代入即可求得.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)按比例得分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，利用正弦函數(shù)值域即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，，因?yàn)?，，所以，，即的范圍?故選：BC10.如圖，正方體中，，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.平面C.三棱錐體積為定值 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】在正方體中，易得平面，可判定A正確；過(guò)點(diǎn)作，得到平面即為平面，結(jié)合與不垂直，可判定B不正確；由平面平面，證得平面，得到點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離，且為定值，可判定C正確；將繞著展開(kāi)，使得平面與平面重合，連接，得到時(shí)，取得最小值，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，如圖（1）所示，在正方體中，連接，連接，在正方形中，可得，由平面，平面，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，連接，同理可證平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)點(diǎn)不與重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋裕云矫婕礊槠矫?，如圖所示，在正方形中，與不垂直，所以與平面不垂直，所以B不正確；對(duì)于C中，分別連接，在正方體，因?yàn)?，平面平面，所以平面，同理可證：平面，因?yàn)榍移矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槭巧系囊粍?dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，且為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；對(duì)于D中，將繞著展開(kāi)，使得平面與平面重合，如圖（2）所示，連接，當(dāng)為和的交點(diǎn)時(shí)，即為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)檎襟w中，，可得，，在等邊中，可得，在直角中，可得，所以最小值為，所以D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.的一條對(duì)稱軸為C.把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，則D.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用周期及特殊點(diǎn)求出函數(shù)解析式，然后利用余弦函數(shù)性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，，所以，則，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，所以，又，所以，所以，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，故A正確；令，則，當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱軸為，故B正確；令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為，故D正確；把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，則，故C錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：共3小題，每題5分，共15分．12.計(jì)算:________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】．故答案為：．13.已知，，，，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)_____（用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以向量在向量上的投影向量?故答案為：.14.四面體中，，，，則該四面體體積__________．【答案】8【解析】【分析】把四面體放置在一個(gè)長(zhǎng)方體中，列方程組求得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，進(jìn)而求得四面體的體積.【詳解】如圖所示，把四面體放置在一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為，可得，解得，所以長(zhǎng)方體的體積為，又由，所以四面體的體積為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．15.如圖，在圓錐中，已知，的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，連接，證得和，證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）連接并延長(zhǎng)，與與平行的直線交于點(diǎn)，可得，進(jìn)而得到面，得出直線與平面的夾角即為，在直角中，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)椋颐?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】解：連接并延長(zhǎng)，與過(guò)點(diǎn)且與平行的直線交于點(diǎn)，可得，由（1）知平面，所以面，所以直線與平面的夾角即為，又由，，在直角中，可得，即直線與平面的夾角的正弦值為.16.已知函數(shù)的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)周期求，再根據(jù)求，即可求函數(shù)的解析式；（2）首先利用平移規(guī)律求的解析式，再化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】由已知得的最小正周期，所以，從而，又，，所以,所以．【小問(wèn)2詳解】由已知得．故，令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．17.若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.（1）求角A；（2）若，求△ABC周長(zhǎng)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關(guān)系以及和差角公式可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得：，，，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長(zhǎng)因?yàn)?，則，所以故求周長(zhǎng)的取值范圍為.18.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).設(shè)向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由題可知：，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）利用向量在向量上的投影向量為求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知：，則.【小問(wèn)2詳解】記與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.19.如圖所示，四棱錐中，四邊形是菱形，棱長(zhǎng)為2，，，.（1）證明：（2）若，求（3）若，為邊的中點(diǎn)，為四棱錐表面上一動(dòng)點(diǎn)且恒有，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，即可證明平面，即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接并與交于點(diǎn)，即可證明平面，利用三角形相似求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；（3）作出截面圖形，再計(jì)算相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可求出軌跡長(zhǎng)；【小問(wèn)1詳解】連接，依題意為的中點(diǎn)，∵，∴，又∵四邊形是菱形，所以，因?yàn)?，平面，∴平面，平面，∴．【小?wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接并與交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，∴為等邊三角形，所以為其重心，∴為的三等分點(diǎn)且，，又∵，∴，又，所以，，平面，∴平面，又平面，∴，由（1）知平面，平面，∴，又