專題04實(shí)數(shù)估算與新定義專練

同步高分必練專題04實(shí)數(shù)估算與新定義專練（解析版）（3大類型精選30題）1．（2425七年級(jí)下·廣西玉林·期中）閱讀材料：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎?事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)的整數(shù)部分是_____，小數(shù)部分是_____；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．【答案】(1)，(2)3(3)【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小估算、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算、二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解此題的關(guān)鍵．（1）估算出，即可得出答案；（2）估算出，，即可得出的值，代入進(jìn)行計(jì)算即可；（3）估算出，得出，從而得出的值，計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：，，即，的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，故答案為：4，；（2）解：，，即，，，，即，，；（3）解：，，即，．，其中m是整數(shù)，且，，，，∴的相反數(shù)為．2．（2425七年級(jí)下·安徽合肥·期中）實(shí)數(shù)由整數(shù)部分和小數(shù)部分組成，若一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)開不盡方的正數(shù)的算術(shù)平方根，其整數(shù)部分和小數(shù)部分可根據(jù)算術(shù)平方根的相鄰兩個(gè)正整數(shù)來(lái)確定．例如：因?yàn)椋?，所以的整?shù)部分為3，小數(shù)部分為．(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；(2)若小數(shù)部分是p，小數(shù)部分是q，且，請(qǐng)求出滿足條件的x的值．【答案】(1)8，(2)或【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，利用平方根解方程．（1）找出與被開方數(shù)相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù)，從而估計(jì)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，再根據(jù)小數(shù)部分=實(shí)數(shù)整數(shù)部分即可得解；（2）由得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可．【詳解】（1）解：，即，的整數(shù)部分為8．，，的小數(shù)部分為．故答案為：8，；（2）由（1）知，又∵，，，的小數(shù)部分；，即，∵1的平方根是1和，或，故可得或．3．（2425七年級(jí)下·廣東中山·期中）下面是小茗同學(xué)的學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此，的小數(shù)部分我們不能全部寫出來(lái)，就用來(lái)表示的小數(shù)部分．原因是的整數(shù)部分為1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是它的小數(shù)部分，又如：．．的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．任務(wù)：(1)根據(jù)小茗筆記內(nèi)容可知，的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是_________；(2)已知：，其中x是整數(shù)，且，求的平方根．【答案】(1)6，(2)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、無(wú)理數(shù)的大小估算、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小．（1）先估算出的范圍，即可得出答案；（2）先估算出的范圍，求出x、y的值，再代入求解即可．【詳解】（1）解∶∵，∴，即，∴的整數(shù)部分是6，小數(shù)部分是，故答案為∶6，；（2）解：∵，∴，即，∴，即∵，其中x是整數(shù)，且，∴，，∴，∴的平方根是．4．（2425七年級(jí)下·吉林·期中）【閱讀材料】是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是用來(lái)表示的小數(shù)部分．解答下列問(wèn)題，(1)的整數(shù)部分是____，小數(shù)部分是___；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)已知，其中是整數(shù)，且，直接寫出的相反數(shù)．【答案】(1)5；(2)2(3)【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的大小估算、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的大小估算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得，結(jié)合題意即可求解；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得，，結(jié)合題意得到的值，即可求解；（3）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得，結(jié)合題意得到，，再計(jì)算的相反數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分是，故答案為：5；．（2）解：，，的小數(shù)部分為，，，的整數(shù)部分為，．（3）解：，，，的整數(shù)部分是12，小數(shù)部分是，由題意得，，，，的相反數(shù)為．5．（2425八年級(jí)上·江蘇南京·期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(2)已知：，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小估算、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件估算無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵；（1）仿照材料求出，，再代入計(jì)算即可；（2）求出，，再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，；；的值是；（2）解：，，，，，，的值為．6．（2425七年級(jí)下·陜西延安·期中）大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?，所以的整?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．請(qǐng)根據(jù)上述材料解答：(1)已知的立方根是2，b是的整數(shù)部分，求的平方根；(2)已知，其中x是整數(shù)，且，請(qǐng)你求出的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算、求一個(gè)數(shù)的平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了立方根的定義、無(wú)理數(shù)的估算、平方根的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)立方根的定義求出，估算出得出，求出的值，再根據(jù)平方根的定義求解即可；（2）先求出，再求出，代入所求式子即可得解．【詳解】（1）解：∵的立方根是2，∴，解得，∵，∴的整數(shù)部分是3，∴，∴，∵4的平方根為，∴的平方根為；（2）解：∵，其中x是整數(shù)，且，而，∴，∴，∴，∴，則的值為．7．（2425七年級(jí)下·山西朔州·期中）綜合與探究下面是小明同學(xué)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)后的感悟，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：7是有理數(shù)，當(dāng)一個(gè)正方形的面積為7時(shí)，它的邊長(zhǎng)是，而是無(wú)理數(shù)．無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，下面是小明確定的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法．如：確定的小數(shù)部分，首先要明確7在完全平方數(shù)4和9之間，再求解．∵，∴（依據(jù)）．∴．∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是．任務(wù)一：（1）小明的感悟中，依據(jù)是：被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根__________；（2）已知的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值；（3）直接比較和的大?。蝗蝿?wù)二：（4）設(shè)，a是整數(shù)，b滿足，求的值．【答案】（1）越大；（2）5；（3）；（4）【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小估算、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算【分析】本題考查無(wú)理數(shù)整數(shù)部分及小數(shù)部分的計(jì)算：（1）根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可；（2）仿照題干中的做法求出a和b的值，再代入求值；（3）仿照題干中的做法求出和的范圍，即可求解；（4）求出的整數(shù)部分a和小數(shù)部分b，再代入求值．【詳解】解：（1）被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大，故答案為：越大；（2）∵，∴，即，∴的整數(shù)部分為2，∴的小數(shù)部分，∵，∴，即，∴的整數(shù)部分，∴；（3）∵，∴，即，∴，即，∵，∴，即，∴；（4）∵，∴，即，∴，即，∵，a是整數(shù)，b滿足，∴，，∴．8．（2425七年級(jí)下·安徽淮南·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)由整數(shù)部分和小數(shù)部分組成，若一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)開不盡方的正數(shù)的算術(shù)平方根，其整數(shù)部分和小數(shù)部分可根據(jù)算術(shù)平方根的相鄰的兩個(gè)正整數(shù)確定．例如：因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為3，小數(shù)部分為．(1)的整數(shù)部分是______；(2)若的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，且，請(qǐng)求出滿足條件的的值．【答案】(1)8；(2)或．【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，利用平方根解方程．（1）估算出即可得解；（2）估算出得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴的整數(shù)部分是；（2）解：因?yàn)?，所以，所以，所以的小?shù)部分．因?yàn)?，所以的小?shù)部分，所以，即，因?yàn)?的平方根是1和，所以或，故可得或．9．（2425七年級(jí)下·遼寧大連·期中）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．根據(jù)以上材料，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求整數(shù)部分和小數(shù)部分；(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的算術(shù)平方根；(3)已知：，其中x是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．【答案】(1)的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為(2)1(3)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的大小估算、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的表示方法，首先估算這個(gè)無(wú)理數(shù)的大小，即它處在哪個(gè)連續(xù)的整數(shù)范圍內(nèi)，那么它的整數(shù)部分就是比它小的那個(gè)整數(shù)，小數(shù)部分就是用它減去它的整數(shù)部分．（1）根據(jù)材料提示，即，由此即可求解；（2）根據(jù)材料提示可得，，代入計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)材料提示可得，由此可得的值，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，即，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為；（2）解：∵，即，∴，∵，即，∴，∴，∴其算術(shù)平方根為1；（3）解：∵的整數(shù)部分為，∴，∵是整數(shù)，，且，∴，∴，∴的相反數(shù)為．10．（2425七年級(jí)下·廣東廣州·期中）閱讀材料：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，用減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么_____，______；(2)已知，，且為的整數(shù)部分，為的小數(shù)部分，比較與的大小．【答案】(1)3，(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)的大小估算、無(wú)理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查的是無(wú)理數(shù)的估算，熟知估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法即可得到答案；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法求出，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，是整數(shù)，且，，，故答案為：3，；（2）解：，，為的整數(shù)部分，為的小數(shù)部分，，，，．11．（2425七年級(jí)下·安徽淮北·期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：，等式右邊是通常的加減運(yùn)算，例如：．(1)的立方根為________；(2)若關(guān)于的不等式組解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)3；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的立方根、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了新定義，求一個(gè)數(shù)的立方根，解一元一次不等式組，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義計(jì)算出，再根據(jù)立方根的定義可得答案；（2）根據(jù)新定義可得，解不等式組得到，再由不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解得到，解不等式組即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴的立方根為；（2）解：∵，∴根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，解得：，∵不等式組的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為，∴，解得：12．（2425七年級(jí)下·福建福州·期中）【閱讀理解】公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)．定義：可以表示為兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看做分母為1的有理數(shù)；反之為無(wú)理數(shù)．如不能表示為兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)的商，所以是無(wú)理數(shù)．可以這樣證明：設(shè)，與是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則，即①．因?yàn)槭钦麛?shù)且不為0，所以是不為0的偶數(shù)．設(shè)（是整數(shù)，且），則．所以②．所以也是偶數(shù)，與是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．所以是無(wú)理數(shù)．【解決問(wèn)題】(1)寫出①，②表示的代數(shù)式，使證明過(guò)程完整；(2)證明：是無(wú)理數(shù)．【答案】(1)①；②(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的立方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的分類【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三．（1）根據(jù)等式性質(zhì)得出結(jié)論即可；（2）類比是無(wú)理數(shù)的證明進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：設(shè)，a與b是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則即．因?yàn)閎是整數(shù)且不為0，所以a是不為0的偶數(shù)．設(shè)（n是整數(shù)，且），則．所以．所以b也是偶數(shù)，與a，b是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．所以是無(wú)理數(shù)．（2）設(shè)，a與b是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則，所以，∵a，b是整數(shù)且不為0，∴a為6的倍數(shù)．設(shè)（n是整數(shù)），∴，∴，∴b也是6的倍數(shù)，與a與b是互質(zhì)的整數(shù)矛盾，∴是無(wú)理數(shù)．13．（2425七年級(jí)下·山東臨沂·階段練習(xí)）定義：若正整數(shù)和滿足，則稱的“共同體區(qū)間”為，例如：因?yàn)?，所以的“共同體區(qū)間”為．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)的“共同體區(qū)間”為_____；(2)若的“共同體區(qū)間”為，求的“共同體區(qū)間”．【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的乘方運(yùn)算、估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查了算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的大小估算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題干中的方法，根據(jù)“共同體區(qū)間”的定義求解；（2）先根據(jù)無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”求出a的取值范圍，再求出的取值范圍，再根據(jù)“共同體區(qū)間”的定義求解．【詳解】（1）解：，的“共同體區(qū)間”是，故答案為：；（2）解：∵無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”為，，即，∴，的“共同體區(qū)間”為．14．（2425七年級(jí)下·北京·期中）【定義】用表示一個(gè)數(shù)對(duì)，其中為任意數(shù)，．記，，將數(shù)對(duì)和稱為數(shù)對(duì)的一對(duì)“開方對(duì)稱數(shù)對(duì)”．例如：數(shù)對(duì)的開方對(duì)稱數(shù)對(duì)為和．【知識(shí)運(yùn)用】(1)直接寫出數(shù)對(duì)的開方對(duì)稱數(shù)對(duì)_______；(2)若數(shù)對(duì)的一個(gè)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)是，求，的值；(3)若數(shù)對(duì)的一個(gè)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)是，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，涉及立方根和算術(shù)平方根的概念理解，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)新定義運(yùn)算解答即可求解；（）先得到，，再根據(jù)新定義即可求解；（）根據(jù)新定義，分兩種情況解答即可求解；【詳解】（1）解：，，∴數(shù)對(duì)的開方對(duì)稱數(shù)對(duì)，；（2）解：∵，，將數(shù)對(duì)和稱為數(shù)對(duì)的一對(duì)“開方對(duì)稱數(shù)對(duì)”，∴，∵數(shù)對(duì)的一個(gè)開方對(duì)稱數(shù)對(duì)是，∴，；（3）解：若，，則，，∴；若，，則，，∴；的值為或．15．（2425七年級(jí)下·福建福州·期中）【生活發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，把兩個(gè)面積為1的小正方形分別沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到了一個(gè)面積為2的大正方形，則大正方形邊長(zhǎng)為______．根據(jù)有理數(shù)的定義：可以表示為兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無(wú)理數(shù)．【提出猜想】通過(guò)不斷估算，發(fā)現(xiàn)不能表示為兩個(gè)互質(zhì)（沒(méi)有相同的因數(shù)）的整數(shù)的商．因此，提出猜想：不是有理數(shù)．【數(shù)學(xué)證明】假設(shè)：為有理數(shù)，那么存在（與是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且），則，即．是整數(shù)且不為0，是2的倍數(shù)．設(shè)（是整數(shù)，且），則．．也是2的倍數(shù)，與，是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．不是有理數(shù)．【類比遷移】（2）如圖2，是一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合的正方形，且該正方形面積為5，請(qǐng)你利用尺規(guī)，在數(shù)軸上標(biāo)出表示的點(diǎn)；（3）請(qǐng)你模仿上述過(guò)程，證明：不是有理數(shù)．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用、實(shí)數(shù)與數(shù)軸【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小面積之和，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）該正方形面積為5，則邊長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為；（3）依照例題求解即可．【詳解】解：（1）由題意可知：兩個(gè)小正方形的面積分別為1，∴大正方形的面積之和為：2，∴大正方形的邊長(zhǎng)為；故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)即為所作；；（3）假設(shè)：為有理數(shù)，那么存在（與是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且），則，即．是整數(shù)且不為0，是10的倍數(shù)．設(shè)（是整數(shù)，且），則．．也是2的倍數(shù)，與，是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．不是有理數(shù)．16．（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）定義：若無(wú)理數(shù)的被開方數(shù)（為正整數(shù)）滿足（其中為正整數(shù)），則稱無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”為．例如：因?yàn)椋缘摹肮餐w區(qū)間”為．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)的“共同體區(qū)間”為________；(2)若無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”為，求的“共同體區(qū)間”；(3)若整數(shù)，滿足關(guān)系式：，求的“共同體區(qū)間”．【答案】(1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、無(wú)理數(shù)的大小估算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查了算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的大小估算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)．（1）仿照題干中的方法，根據(jù)“共同體區(qū)間”的定義求解；（2）先根據(jù)無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”求出a的取值范圍，再求出的取值范圍，再根據(jù)“共同體區(qū)間”的定義求解；（3）先根據(jù)已知得，進(jìn)而得出或或，分別代入求值，再根據(jù)“共同體區(qū)間”的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴的“共同體區(qū)間”是，故答案為：；（2）解：∵無(wú)理數(shù)的“共同體區(qū)間”為，∴，即，∴，即，∴，∴的“共同體區(qū)間”為；（3）解：∵整數(shù)，滿足關(guān)系式：，∴或，解得或或，分以下三種情況：當(dāng)，時(shí)，，∵，∴的“共同體區(qū)間”為；當(dāng)，時(shí)，，∵，∴的“共同體區(qū)間”為；當(dāng)，時(shí)，，∵，∴的“共同體區(qū)間”為；綜上，的“共同體區(qū)間”為或．17．（2425七年級(jí)下·廣東陽(yáng)江·期中）定義：若點(diǎn)滿足，則稱這個(gè)點(diǎn)為“理想點(diǎn)”．例如，，故點(diǎn)是“理想點(diǎn)”．(1)點(diǎn)，，中，不是“理想點(diǎn)”的是_____．(2)若點(diǎn)是“理想點(diǎn)”，求x的值．(3)是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)M是“理想點(diǎn)”？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)和(2)；(3)的值為0或．【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根應(yīng)用，理解題意，掌握“理想點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“理想點(diǎn)”的定義，計(jì)算即可判斷；（2）根據(jù)“理想點(diǎn)”的定義，列出方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)“理想點(diǎn)”的定義，求得的值，再代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，又∵，∴點(diǎn)是“理想點(diǎn)”；∵，，又∵，∴點(diǎn)不是“理想點(diǎn)”；∵，，又∵，∴點(diǎn)是“理想點(diǎn)”；故答案為：和；（2）解：∵點(diǎn)是“理想點(diǎn)”，∴，∴，解得；（3）解：∵點(diǎn)是“理想點(diǎn)”，∴，整理可得，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的值為0或．18．（2425八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）觀察下列兩個(gè)等式：，給出定義如下：我們稱使成立的一對(duì)有理數(shù)為“共生有理數(shù)對(duì)”，記為，如數(shù)對(duì)都是“共生有理數(shù)對(duì)”．(1)判斷數(shù)對(duì)是否為“共生有理數(shù)對(duì)”，并說(shuō)明理由；(2)若是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，求的值；(3)若是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，求的值．【答案】(1)不是，理由見詳解(2)64(3)16【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的乘方運(yùn)算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、已知式子的值，求代數(shù)式的值、冪的乘方運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)題目中的定義，可以計(jì)算出數(shù)對(duì)是否為“共生有理數(shù)對(duì)”；（2）根據(jù)是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，可以求得的值；（3）根據(jù)是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，可以求得的值；本題考查新定義，已知式子的值求代數(shù)式的值，冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．【詳解】（1）解：不是“共生有理數(shù)對(duì)”，理由：，，不是“共生有理數(shù)對(duì)”；（2）是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，，解得，；（3）解：∵是“共生有理數(shù)對(duì)”，且，∴，∴，則．19．（2425七年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）定義，如．已知，已知（為常數(shù)）(1)若，求的值；(2)若的代數(shù)式中不含的一次項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了新定義，完全平方公式，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義可得方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)新定義計(jì)算出A的展開結(jié)果，再根據(jù)的代數(shù)式中不含的一次項(xiàng)求出n的值，再求出A、B的值即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∵的代數(shù)式中不含的一次項(xiàng)，∴，∴，∵，∴，∵，，∴．20．（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）對(duì)數(shù)運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常用的一種重要手段，它的定義為，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：，例如，則，其中的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，此時(shí)可記為，當(dāng)，且時(shí)，．(1)解方程．(2)計(jì)算．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘方逆運(yùn)算、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，及其乘方的逆用，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵是理解給出的對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算法則．（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：由得，，，．（2）解：．21．（2425七年級(jí)下·四川南充·階段練習(xí)）【問(wèn)題情景】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過(guò)程，探求規(guī)律：；；；…【實(shí)踐探究】(1)按照此規(guī)律，計(jì)算：__________．(2)計(jì)算：；【遷移應(yīng)用】(3)若符合上述規(guī)律，請(qǐng)直接寫出x的值．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、數(shù)字類規(guī)律探索【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的規(guī)律問(wèn)題，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給算式總結(jié)規(guī)律計(jì)算即可；（2）利用題中所給規(guī)律可進(jìn)行求解；（3）由題中所給規(guī)律可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：；；；…；∴，的正整數(shù)，∴．故答案為：；（2）解：；（3）解：∵符合，∴，∴，∴．22．（2425七年級(jí)下·安徽合肥·期中）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：①；②；③(1)請(qǐng)寫出第④個(gè)等式：_________；(2)猜想第n個(gè)等式：________；（用含n的式子表示）(3)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，掌握題干規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．（1）觀察所給的幾個(gè)等式直接寫出第④個(gè)等式即可；（2）觀察所給的幾個(gè)等式的規(guī)律直接寫出第n個(gè)等式即可；（3）根據(jù)（2）中規(guī)律化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：∵①；②；③根據(jù)以上規(guī)律可得第④個(gè)等式是：．（2）解：根據(jù)以上規(guī)律可得第n個(gè)等式是：．（3）解：．23．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）按要求填空：(1)填表并觀察規(guī)律：a4400(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知：，則______；已知：，，則______；(3)從以上問(wèn)題的解決過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡(jiǎn)要說(shuō)明．【答案】(1)見解析(2)，68(3)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位【知識(shí)點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先求出每個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可；（2）根據(jù)（1）可得規(guī)律：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位，由此即可得；（3）根據(jù)（1）解題過(guò)程找出規(guī)律即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，，，，填表如下：4400220（2）解：由（1）可知，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位，∵，∴被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位得到580，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)1位，即；∵，，∴將被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)4位即可得到，∴；故答案為：，68．（3）解：從以上問(wèn)題的解決過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位．24．（2425七年級(jí)下·云南昭通·階段練習(xí)）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：第一個(gè)等式；第二個(gè)等式；第三個(gè)等式．(1)根據(jù)上述三個(gè)等式提供的信息，請(qǐng)你猜想第六個(gè)等式；(2)請(qǐng)按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第個(gè)等式（為正整數(shù)）；(3)對(duì)于任何實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，計(jì)算：的值．【答案】(1)(2)(3)2025【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算律、與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題、分式加減混合運(yùn)算【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索，正確找到題中的規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中所給信息可判結(jié)果；（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)果用字母代替數(shù)字即可；（3）根據(jù)規(guī)律將原式進(jìn)行正確變形求解．【詳解】（1）解：∵第一個(gè)等式；第二個(gè)等式；第三個(gè)等式，∴根據(jù)規(guī)律可猜測(cè)第六個(gè)等式為．（2）解：根據(jù)（1）總結(jié)規(guī)律可得：第個(gè)等式為．（3）解：根據(jù)規(guī)律可化簡(jiǎn)．25．（2425七年級(jí)下·廣西南寧·期中）完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估計(jì)和的值；(結(jié)果保留四位小數(shù))(3)若，估計(jì)的值．（參考數(shù)據(jù)：)．（結(jié)果保留四位小數(shù)）【答案】(1)80，4(2)，(3)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題、求一個(gè)數(shù)的立方根、與立方根有關(guān)的規(guī)律探索【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，及其規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，熟練掌握計(jì)算方法和規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義計(jì)算，根據(jù)立方根的規(guī)律求解．（2）根據(jù)表格得出算術(shù)平方根的規(guī)律，即可求解．（3）根據(jù)（2）中規(guī)律求出a，根據(jù)表格得出立方根的規(guī)律，然后求出b，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：80，4；（2）解：從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：開算術(shù)平方根時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)兩位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左（或向右）移動(dòng)一位．∵，∴，；（3）解：根據(jù)平方根的變化規(guī)律得：∵，∴又，∴，從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)三位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左（或向右）移動(dòng)一位．∵∴，∴．26．（2425七年級(jí)下·江蘇南通·期中）觀察下列式子：①；②；③；④．根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問(wèn)題：(1)根據(jù)上述等式的規(guī)律，寫出一個(gè)類似的等式：__________；(2)由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納出一個(gè)這樣的結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a，b，若__________，則，反之也成立；(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，解答問(wèn)題：若與的值互為相反數(shù)，求x的值；(4)若與的值互為相反數(shù)，且，求a的值．【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3)；(4)．【知識(shí)點(diǎn)】利用平方根解方程、與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題【分析】本題考探索數(shù)字規(guī)律及立方根的含義，利用平方根的含義解方程，解題的關(guān)鍵是觀察閱讀材料得到規(guī)律，掌握立方根的定義．（1）觀察規(guī)律，寫出一個(gè)類似的等式即可；（2）用含、的式子表達(dá)規(guī)律即可得答案；（3）根據(jù)相反數(shù)的定義列方程求出的值．（4）根據(jù)相反數(shù)的定義可得，結(jié)合，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：（答案不唯一）；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，反之也成立；（3）解：∵與的值互為相反數(shù)，則，解得．（4）解：與的值互為相反數(shù)，，，，，，．27．（2425八年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】先觀察下列等式，再回答下列問(wèn)題：①；②；③．（1）請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗(yàn)證；【實(shí)踐探究】（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）；【拓展延伸】