專題22最佳對策問題（解析）-1

20222023學年小學六年級思維拓展舉一反三精編講義專題22最佳對策問題知識精講知識精講熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚長避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊含著數學道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。典例分析典例分析【典例分析01】兩個人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應移走7根火柴?！镜淅治?2】有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F在兩人通過抽簽決定誰先取。你認為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結局開始，倒推上去。不妨設甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時刻留下5粒棋子就行了。不妨設甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數與乙拿的粒數之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數總是5的倍數，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝?！镜淅治?3】在黑板上寫有999個數：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個數（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個數互質，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個數，分為499個數對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）?？梢娒恳粚抵械膬蓚€數互質。如果乙擦去某一對中的一個，甲則接著擦去這對中的另一個，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數、一對數地擦，最后剩下的一對數必互質。所以，甲必勝?！镜淅治?4】甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數的約數，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關鍵是第一次寫什么數，總共只有10個數，可通過歸納試驗。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個數中的一個，將這六個數分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當乙寫某組中的一個數，甲就寫另一個數，甲就能獲勝。【典例分析05】有一個3×3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個數。小兵和小強兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計算上、下兩行6個數的和；小強計算左、右兩列6個數的和，和數大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？由于4個角的數是兩人共有的，因而和數的大小只與放在A，B，C，D這4個格中的數有關。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數填入A或C格，盡可能將小數填入B格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應先將1放在B格，如小強把10放進D格，小兵再把9放進A格，這時不論小強怎么做，C格中一定是大于或等于3的數，因而小兵獲勝。如小強把3放進A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）在搶“32”的游戲中，規(guī)則是第一個人先說1或1、2，第二個人要接著往下說一個或兩個數，然后又輪到第一個人，再接著往下說一個或兩個數，這樣兩人反復輪流，每人每次說一個或兩個數，但不可以連續(xù)說三個數，誰先搶到“32”誰就勝，那么取適當的策略后其后果是（）A．先報數者勝 B．后報數者勝 C．兩者都有可能 D．很難預料【思路點撥】先報數者報兩個數1、2，然后第二個人無論說一個或兩個數，先報數者都與第二個人說的數湊成3個數，這樣進行下去…，最后剩下的數是30，31，32．第二個人無論再說一個或兩個數，先報數者一定能搶到32．【規(guī)范解答】解：先報數者首先報兩個數1，2，然后第二個人接著無論說一個或兩個數，先報數者都與第二個人說的數湊成3個數，如此循環(huán)，最后剩下的三個數是30，31，32．第二個人無論再說一個或兩個數，先報數者一定能搶到32得勝．故選：A．【考點評析】解此題的策略是最終剩下的數是3個數是先報數者得勝，如果剩下4個數，后報數者得勝．2．（2分）一把鑰匙只能開一把鎖，現有4把鑰匙4把鎖，但不知哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試（）次能將所有的鎖都找到相對應的鑰匙．A．4 B．6 C．16【思路點撥】根據最不利原理原理，試開第一把鎖，試了3把鑰匙都沒有打開，則第4把鑰匙一定能打開；同理，還剩3把鎖，最多要試2把鑰匙，即試開2次打開；還剩2把鎖，最多要試1把鑰匙，即試開1次打開；最后剩一把鎖，一把鑰匙，開一次即能打開，所以一共要開：3+2+1＝6（次）．【規(guī)范解答】解：3+2+1＝6（次）；答：最多試6次能將所有的鎖都找到相對應的鑰匙．故選：B．【考點評析】完成本題要注意每試開一把鎖都要根據最不利原理進行計數．3．（2分）兩個人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝．那么先放著在（）處就必勝．A．周長上 B．直徑上 C．半徑上 D．圓心上【思路點撥】我們用對稱的思想來分析一下．圓是關于圓心對稱的圖形，若A是圓內除圓心外的任意一點，則圓內一定有一點B與A關于圓心對稱（其中AO＝OB）如圖：所以，圓內除圓心外，任意一點都有一個（關于圓心的）對稱點．假設這兩個人一個是甲，一個是乙，由此可以想到，只要甲把第一枚硬幣放在圓桌面的圓心處，以后無論乙將硬幣放在何處，甲一定能找到與之對稱的點放置硬幣．也就是說，只要乙能放，甲就一定能放．最后無處可放硬幣的必是乙．【規(guī)范解答】解：假設這兩個人一個是甲，一個是乙；甲的獲勝策略是：把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以后總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣．答：如果甲先放，他要把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以后總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣，這樣才能取勝．故選：D．【考點評析】此題較難，應利用對稱思想獲勝，對稱思想獲勝策略體現出了一種機智，而這種機智來源于數學思想，應靈活運用數學知識解決問題．4．（2分）一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。明明和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要（）分鐘。A．10 B．15 C．20【思路點撥】要求明明和爸爸、媽媽三人每人都玩2局，至少要多少分鐘，則三個人兩兩雙人玩，只需3局：爸爸和媽媽、媽媽和明明、爸爸和明明，即可得解?！疽?guī)范解答】解：三個人兩兩雙人玩，只需3局，5×3＝15（分鐘）答：至少要15分鐘。故選：B?！究键c評析】統(tǒng)籌安排時間，要兼顧使事情能夠順利完成，本題關鍵是理解每人都想玩2局，只有雙人玩時間的總和最少。5．（2分）一把鑰匙只能打開一把鎖，現在有6把鑰匙．但不知哪把鑰匙開哪把鎖．最多要（）次才能打開所有的鎖．A．25 B．21 C．5【思路點撥】次數最多，則假設每次試開鎖都到最后一把鎖才能打開，第一把鎖要用5次才能保證找到正確的鑰匙，第2把鎖要4次，第3把鎖要3次，第4把鎖要2次，剩下最后1把需要1次，把所有次數都加起來，再加上6即可求解．【規(guī)范解答】解：根據題意及運氣最壞原理可知，最多要試：5+4+3+2+1+6＝21（次），答：最多要21次才能打開所有的鎖．故選：B?！究键c評析】完成本題要注意每試開一把鎖都要根據最壞原理進行計數．解決此題的關鍵在于要考慮最壞情況，每次試開鎖都到最后一把鎖才能打開，用運用類推的方法解答問題．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）有240人去春游，想準備一些飲料，商店“優(yōu)惠告示”寫著本店飲料，6只空瓶可換一瓶飲料，240人至少買200瓶飲料，就能保證每人都喝一瓶．【思路點撥】6只空瓶可換一瓶飲料，就是說花6瓶的錢可以喝到7瓶飲料，還余出1個瓶子，湊夠6個空瓶還可以再換1瓶飲料，就盡量的讓剩下的空瓶都利用．【規(guī)范解答】解：240÷7＝34…2，34×6＝204（瓶），花204瓶的錢，可喝到的瓶數為：204+204÷6＝238（瓶），剩下204÷6＝34個空瓶，此法浪費，花203瓶的錢，可喝到的瓶數為：203+203÷6＝236（瓶），剩下203÷6+5＝38個空瓶，38個空瓶再換6瓶飲料，還剩8個空瓶，此法浪費花202瓶的錢，可喝到的瓶數為：202+202÷6＝235（瓶），剩下202÷6+4＝37個空瓶，37個空瓶再換6瓶飲料，還剩7個空瓶，此法浪費，花201瓶的錢，可喝到的瓶數為：201+201÷6＝234（瓶），剩下201÷6+3＝36個空瓶，36個空瓶再換6瓶飲料，還剩6個空瓶，此法浪費；花200瓶的錢，可喝到的瓶數為：200+200÷6＝233（瓶），剩下200÷6+2＝35個空瓶，35個空瓶再換5瓶飲料，共計還剩10個空瓶，先拿6個空瓶換1瓶，喝完后再與其它的4個空瓶合計是5個空瓶，如果能夠賒一瓶飲料，喝完后與那5個空瓶共計6個空瓶，正好抵擋剛才賒的那瓶飲料，所以買200瓶飲料，一個空瓶都不剩．答：240人至少買200瓶就可以了．故答案為：200．【考點評析】本題的關鍵是空瓶的再次利用，讓最后剩下的空瓶越少越好．7．（2分）兩人輪流報數，每次只能報1或2，把兩人報的所有數加起來，誰報數后和是20，誰就獲勝。如果讓你先報數，為了確保獲勝，你第一次應該報2；接下來應該報前面數與3的差?！舅悸伏c撥】因為20÷（1+2）＝6……2，所以，先報的一定要報2，然后每次報的數始終都與另一人的和是3，一定會贏?！疽?guī)范解答】解：先報數的人第一次一定要報2，和還剩20﹣2＝18，18是3的倍數，所以，以后每次報的數始終都與另一人報的數的和是3，最后一次總是先報數的人，所以只要這樣做先報數的人一定會贏。答：你第一次應該報2；接下來應該報前面數與3的差。故答案為：2，3?！究键c評析】本題關鍵根據余數確定先先報的數，以后每次報的數始終都與另一人報的數的和是3，一定會贏。8．（2分）兩個人做移火柴棍游戲．比賽規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完為止，誰最后移走火柴就算誰贏．如果開始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走1根時才能在游戲中保證獲勝．【思路點撥】根據游戲規(guī)則，先移火柴的人要想獲勝，要設法最后只留下6根給對方，55﹣6＝49，因此他應移走第49根才能獲勝．同理為了移走第49根他必須移走第43根，依此類推他應移走第37根、第31根、第25根、…，這些數除以6余數均為1，因此首先移火柴的人在第1次應該移走1根，以后游戲過程中他只要保證兩人每次共移走6根，就必能在游戲中獲勝．【規(guī)范解答】解：根據游戲規(guī)則，先移火柴的人要想獲勝，要設法最后只留下6根給對方，55÷6＝9（次）……1（根）答：首先移火柴的人在第1次應該移走1根，以后游戲過程中他只要保證兩人每次共移走6根，就必能在游戲中獲勝．故答案為：1【考點評析】本題主要考查最佳策略問題，關鍵根據比賽規(guī)則找到要保證獲勝，最后需要給對手留幾根火柴，然后根據需要求出剩余的根數，就是第一次取的根數．9．（2分）桌上有8根木棒，現小明和小剛玩一個游戲，每個人只能抽取1或2根木棒，最后抽完的人勝利，小明先抽，為了讓自己一定取得勝利，則小明第一次先抽取2根。【思路點撥】只要把小棒總數除以二人每次取的小棒的和，如果沒有余數，就讓對方先拿。有余數，就自己先拿，而小明先拿，并一定取得勝利，即先取余數，接著小剛取n，自己拿的根數和小明拿的根數合起來是3，則小明保證能獲勝。【規(guī)范解答】解：由題可得：8÷（2+1）＝2…2；有余數，則讓小明先取，取2根，接著小剛取n，小明就?。?﹣n）根即可獲勝。故答案為：2。【考點評析】本題的關鍵是讓小明先拿，接著小剛取n，小明就?。?﹣n）根即可獲勝。10．（2分）甲、乙二人做報數游戲，規(guī)定：A，按順序從1開始報數，每次最少報一個數，最多報兩個數；B，后一人接著前一個人的數往后報；C，誰先報出25誰贏；D，甲先乙后，甲乙都很聰明，結果是甲贏乙輸．【思路點撥】因為每次最少報一個數，最多報兩個數，所以后面報數的人只要報的數的個數和是3，那么24是3的倍數，所以第一次只要報一個數1，那么無論第二個怎么報，第一次報數的人一定贏．【規(guī)范解答】解：①甲先報數：報125﹣1＝24②那么乙要么報2，要么報2和3，如果乙報2，那么甲報3和4；如果乙報2和3，甲就報4；因為24是3的倍數，甲報完數字1后還剩下24個數，只要甲從第二次開始報數的個數與乙報數的個數和是3，那么甲一定贏．故答案為：甲贏乙輸．【考點評析】此題屬于數字問題，考查了數字的倍數等有關知識．11．（2分）小軍和小紅做游戲，桌上放著14枚棋子，兩人輪流取走1枚或2枚，誰拿到最后一枚誰就獲勝．如果小軍先取2枚有必勝的策略．【思路點撥】兩人輪流取走1枚或2枚，即每輪最多拿3枚，14÷3＝4（輪）…2（枚），所以如果小軍先取要想取勝，需要先拿2枚，剩下的如果小紅拿1枚，小軍就拿2枚，若小紅拿2枚，小軍就拿1枚，即始終保持每一輪兩個人拿走的枚數和是3，即可保證小軍必勝．【規(guī)范解答】解：1+2＝3（枚）14÷3＝4（輪）…2（枚）答：如果小軍先取2枚有必勝的策略．故答案為：2．【考點評析】此題考查的知識點是推理與論證，解答此題需要逆向思維，最后一輪剩下3枚，無論小紅拿1或2枚，總有小軍的最后1枚或2枚，小軍必勝．12．（2分）有26個不同國家的集郵愛好者，想通過互相通信的方法交換各國最新發(fā)行的紀念郵票，為了使這26人每人都擁有這26個國家的一套最新紀念郵票，他們至少要通50封信?！舅悸伏c撥】每個人都需要送出25張郵票，也要收到25張郵票，將送出和收到都一次性完成，他們所需要的通信的次數最少，因此，其中25個人留下一張自己的郵票后，全部郵寄給第26個人，第26個人，再根據其他25人需要的郵票郵寄回去即可?！疽?guī)范解答】解：（26﹣1）×2＝25×2＝50（次）答：他們至少要通50封信。故答案為：50?！究键c評析】本題主要考查了最佳對策問題，每人的需要和送出的數量是一定的，盡量減少郵寄出去的次數就可以減少通信的總次數。13．（2分）兩人做一種游戲：輪流報數，報出的數只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把兩人報出的數連加起來，誰報數后，加起來的數是123，誰就獲勝，讓你先報，就一定會贏，那么你第一個數報6．【思路點撥】因為123÷9＝13…6，報出的數只能是1，2，3，4，5，6，7，8．不論對方報什么數，你總是可以做到兩人所報數之和為9．那就得你第一個數報6以后，對方報數后，你再報數，使一輪中兩人報的數和為9，最后相加的和是123，由此解決問題．【規(guī)范解答】解：對方至少要報數1，至多報數8，不論對方報什么數，你總是可以做到兩人所報數之和為9．123÷9＝13…6．你第一次報數6．以后，對方報數后，你再報數，使一輪中兩人報的數和為9，你就能在13輪后達到123．答：第一個數報6．故答案為：6．【考點評析】此題關鍵是明白對方至少要報數1，至多報數8，不論對方報什么數，你總是可以做到兩人所報數之和為9；123不是9的倍數，除以9得到余數，由此探討找到結論．三．應用題（共15小題，滿分74分）14．（4分）水果店有蘋果90千克，如果大小分開賣，大蘋果每千克4元，小蘋果每千克的售價是大蘋果的，如果混合著賣每千克元．如果你是店主，你打算怎么賣？【思路點撥】先計算全部混合賣，一共可以賣多少錢：90×＝315（元），現在考慮當大蘋果有多少千克時分開賣的總價等于混合賣的價格．【規(guī)范解答】解：設大蘋果有x千克，小蘋果有（90﹣x）千克．4x+（90﹣x）×4×＝90×4x+270﹣3x＝315x＝315﹣270x＝45答：當大蘋果有45千克，小蘋果有45千克時分開賣與混合賣收入一樣，當大蘋果超過45千克時分開賣收入更高，當大蘋果小于45千克時混合賣收入更高．【考點評析】先找到分開賣與混合賣收入相等時兩種蘋果的各自重量是解題的關鍵．15．（5分）小猿和車甫正在玩一個卡片游戲。桌上一共有21張卡片，上面分別寫著1～21，并且按順序排成了一行。從小猿開始，每人輪流拿走3張卡片，要求拿走的3張卡片上的數必須是連續(xù)的3個數，誰先無法按照規(guī)則拿走卡片或無卡片可以拿誰輸。請你幫小猿想一個必勝的方法。（卡片不能旋轉）【思路點撥】讓小猿必勝，就是要控制從這21張卡片中只能按規(guī)則拿出奇數次，5張連續(xù)的卡片只能拿1次，8張連續(xù)的卡片必然拿2次，13張連續(xù)的卡片最少能拿3次，據此可以設計讓小猿必勝的方案?！疽?guī)范解答】解：小猿第一次拿走6、7、8，把卡片分為前面連續(xù)的5張，后面連續(xù)的13張；第二次輪到小猿拿時，因為13和17之間有3張卡片，在后面連續(xù)的13張中小猿必然能拿到11、12、13或17、18、19，這13張中剩下的10張被分為連續(xù)的2張和連續(xù)的8張，做到以上兩點，無論車甫怎么拿，連續(xù)的8張必然拿2次，1～5必然拿一次，21張卡片拿出5次連續(xù)的3張后就不能再拿出連續(xù)的3張，小猿必勝。（答案不唯一）【考點評析】解答此題的關鍵在于如何控制21卡片拿出連續(xù)3張的次數必然為奇數次。16．（5分）前面有一條河，假設人只能騎牛過河，共有A、B、C、D頭牛，A牛過河要2分鐘，B牛過河要3分鐘，C牛過河要4分鐘，D牛過河要7分鐘，每次只能趕兩頭牛過河，人要把4頭牛都趕到對岸去，最少要幾分鐘？【思路點撥】根據題意，A和B先送到對岸，需3分鐘，然后騎A回來2分鐘；C和D送過河，需7分鐘，騎B回來；A和B再過河，需3分鐘，據此解答。【規(guī)范解答】解：A和B先送到對岸，需3分鐘，然后騎A回來2分鐘；C和D送過河，需7分鐘，騎B回來；A和B再過河，需3分鐘，3+2+7+3+3＝18（分鐘）答：最少要18分鐘。【考點評析】本題主要考查最佳對策問題，關鍵找到正確的組合一起過河。17．（5分）在一堆棋子（22枚）中，兩個人輪流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的為勝利者．第一個取的人應采取怎樣的策略，才能保證自己勝利？【思路點撥】因為每人每次可取2枚或3枚棋子，所以只要第一個人先拿2枚，另一個人就只能拿3枚，如果先取3枚，剩下的就取2枚，反正第一個人先拿走后和另一個人再拿的枚數和起來是5，則保證甲獲勝．【規(guī)范解答】解：第一次取的時候直接取2枚，以后對方取2枚我方就取3枚；對方取3枚我方就取2枚，這樣就一定能保證自己勝利．【考點評析】關鍵是保證第一個人先拿走后和另一個人再拿的枚數和起來是5．18．（5分）兩人輪流報數，每次只能報1或3，把兩人報的數加起來．（1）誰報數后和是33，誰就獲勝．想一想：為了確保獲勝，你應該先報還是后報？應該怎樣報？（2）誰報數后和是44，誰就獲勝，如果讓你先報，你能保證一定獲勝嗎？為什么？【思路點撥】（1）3+1＝4，33÷4＝8……1，所以我應該先報1，然后每次保證他和我報的數和是4即可；（2）44÷4＝11，沒有余數，所以如果我先報，無論報1或者3，只要對方報的數和我報的數和為4，對方一定會獲勝?！疽?guī)范解答】解：（1）3+1＝433÷4＝8……1所以我應該先報1，然后每次保證他和我報的數和是4即可；（2）44÷4＝11，沒有余數，所以如果我先報，無論報1或者3，只要對方報的數和我報的數和為4，對方一定會獲勝。所以，不能保證一定獲勝。【考點評析】本題主要考查了最佳對策問題，用目標數除以每次報數的和，看是否有余數來判斷先報還是后報，是本題解題的關鍵。19．（5分）有一個3×3的棋盤方格和9張大小與一個小方格相同的卡片，在每一張卡片上寫著1～9中的一個數。甲、乙兩人做游戲，輪流選取一張卡片放到9格中的一格，對甲計算上、下兩行6個數字的和，對乙計算左、右兩列（豎行）6個數字的和，和數大者為勝。試說明若甲先選卡片放，則甲有必勝的策略?！舅悸伏c撥】左右上方4個數字是雙方共用的，無論取什么都一樣，不做考慮，所以甲要有必勝的策略，先從中間一格制定策略?！疽?guī)范解答】解：因為甲、乙的6個數字和中四角上的數字是相同的，故甲只需保證第1、3行中間的數字和比乙第1、3列中間的數字和大即可。為此，甲先取9放在第1行中間一格，如果乙第1次取數不放在第3行中間一格，則甲可取7、8之一放到第3行中間一格，甲必勝；如果乙第1次取放在第3行中間一格，則甲可取剩下7個數中最大者放到第2列中間一格，然后，甲第3次再取剩下數中最小者放到第1或第3列中間。這樣甲必勝。【考點評析】本題是一道有關最佳對策問題的題目；關鍵是從中間一格制定策略。20．（5分）有12枚棋子，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者為勝者．如果甲先取，那么誰有必勝策略？如果取走最后一枚棋子者為敗者，并且仍然是甲先取，那么誰有必勝策略？【思路點撥】①通過分析可知，因為每人每次可取1枚、2枚或3枚，所以只要甲先拿，甲無論是拿1枚、2枚還是3枚，乙再拿時，拿的枚數和甲的枚數合起來是4，則保證乙獲勝；據此解答即可。②因為1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2，3，4都是12的因數，只要甲總是取一枚，無論乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必勝；據此解答即可?！疽?guī)范解答】解：①因為，12÷4＝3，沒有余數，所以只要甲先拿，甲無論是拿1枚、2枚還是3枚，乙再拿時，拿的枚數和甲的枚數合起來是4，則保證乙獲勝。②因為1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，而2，3，4都是12的因數，只要甲總是取一枚，無論乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必勝。【考點評析】如何制定最佳策略，要根據具體的“對策現象”來分析；一般來說，要結合余數問題來選擇制勝策略。21．（5分）羊羊運動會上，綿羊家族和山羊家族各派3名乒乓球選手進行比賽，共打三場，3場2勝即為贏．如果你是綿羊家族的領隊，你將怎么安排本隊的3名選手與對方對陣，才有可能贏得比賽？【思路點撥】可用“田忌賽馬”的方法進行安排選手，即是用上對中，中對下，下對上．進行比賽．據此解答．【規(guī)范解答】解：如果我是綿羊的領隊，我將做如下安排：（1）用我隊第一名的選手和對方第二名的選手對陣，勝．（2）用我隊第二名的選手和對方第三名的選手對陣，勝．（3）用我隊第三名的選手和對方第一名的選手對陣，負．三場比賽可贏得二場，我方可獲勝．【考點評析】本題的關鍵是要想贏得勝利，就必須做到2勝，要想2勝，用我隊的第一名和對方的第一名比試獲勝的機率不大，所以可采用“田忌賽馬”的方法來安排比賽．22．（5分）有四個人夜間過一座獨木橋，他們只有一只手電筒．而這座獨木橋一次最多允許兩人同時通過，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去．兩人同行時以較慢者的速度為準，四人過橋時間分別是1分、2分、5分和10分．他們四人過完橋最少需要17分鐘．【思路點撥】根據要求出四個人過橋最少時間，即可得出應首先讓用時最少的兩人先過橋，讓他們往返送手電筒會節(jié)省時間，進而分別分析得出即可．【規(guī)范解答】解：根據要求出四個人過橋最少時間，即可得出應首先讓用時最少的兩人先過橋，讓他們往返送手電筒會節(jié)省時間，故：（1）1分鐘的和2分鐘的先過橋（此時耗時2分鐘）．（2）1分鐘的回來，（此時共耗時3分鐘）．（3）5分鐘的和10分鐘的過橋（共耗時2+1+10＝13分鐘）．（4）2分鐘的回來（共耗時2+1+10+2＝15分鐘）．（5）1分鐘的和2分鐘的過橋（共耗時2+1+10+2+2＝17分鐘）．此時全部過橋，共耗時17分鐘．故答案為：17．【考點評析】此題主要考查了應用類問題，結合實際發(fā)現用時最少的兩人先過橋往返送手電筒會節(jié)省時間是解題關鍵．23．（5分）有分別裝7根和10根的兩盒火柴，甲、乙兩人輪流在某一盒中任取，但不能同時在兩盒中都取，也不能不取，規(guī)定取到最后火柴者為勝．問甲先取時是否有必勝的策略？（請你寫出取勝的策略）【思路點撥】由題意可知，兩盒火柴相差3根，若甲先取，則先在10根里取3根，結果造成兩盒都是7根，然后乙取幾，則甲跟著在另一盒中取相同的數目的火柴，則甲必勝；據此解答．【規(guī)范解答】解：10﹣7＝3（根），由于兩盒火柴相差3根，若甲先取，則先在10根里取3根，結果造成兩盒都是7根，然后乙取幾，則甲跟著在另一盒中取相同的數目的火柴，則甲必勝．【考點評析】關鍵是先取的一方取出兩盒火柴相差的根數，然后，對方取幾就跟著取幾即可．24．（5分）甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他們輪流向如圖的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，誰的棋子中有3枚連成一條線（橫、豎、斜均可），誰就獲勝．如果甲首先占據了中間位置，乙要想不敗，第1枚棋子應該放在哪里？【思路點撥】除了中間位置，乙能放的位置有兩種：頂點位置和邊中間位置，若乙放在邊中間位置，則甲第二步放在頂點位置，乙只能放在甲放位置的對角位置，甲第三步再放到另一個頂點位置，則乙無論放在哪里，甲必勝，所以，乙要想不敗，第一枚棋子只能放在頂點的位置，據此解答?！疽?guī)范解答】解：除了中間位置，乙能放的位置有兩種：頂點位置和邊中間位置，若乙放在邊中間位置，則甲第二步放在頂點位置，乙只能放在甲放位置的對角位置，甲第三步再放到另一個頂點位置，則乙無論放在哪里，甲必勝，所以，乙要想不敗，第一枚棋子只能放在頂點的位置，答：乙第一枚棋子應該放在頂點位置?！究键c評析】本題主要考查了最佳對策問題，采用排除法，找出甲必勝的方案排除即可。25．（5分）一場數學游戲在小聰和小明間展開：黑板上寫著自然數2，3，4，…，2007，2008，一名裁判現在隨意擦去其中的一個數，然后由小聰和小明輪流擦去其中的一個數（即小明先擦去一個數，小聰再擦去一個數，如此下去），若到最后剩下的兩個數互質，則判小聰勝；否則判小明勝．問：小聰和小明誰有必勝策略？說明理由．【思路點撥】先求出2，3，4，…，2008中有1003個奇數，有1004個偶數，再分裁判擦去的數是奇數或偶數兩種情況討論，①若裁判擦去的是奇數，則小明不管小聰擦什么數，只要還有奇數，就擦去奇數，這樣最后兩個數一定都是偶數；②若裁判擦去的數是2m，設裁判擦去的數是偶數，則將所剩的數配成1003對，再進行解答．【規(guī)范解答】解：他們獲勝的關鍵是看裁判擦去哪個數．注意到2，3，4，…，2008中有1003個奇數，有1004個偶數．①若裁判擦去的是奇數，不管小聰擦什么數，只要還有奇數，小明就擦去奇數，這樣最后兩個數一定都是偶數，從而所剩兩數不互質，小明獲勝．②若裁判擦去的數是2m，則所剩的數配成1003對：（2，3），…，（2m﹣2，2m﹣1），（2m+1，2m+2），…，（2007，2008），不管小明擦哪一個數，小聰就擦所配數對中的另一個數，這樣最后剩下的兩數必然互質，小聰一定獲勝．【考點評析】本題考查的是奇數與偶數，質數與合數的概念、數的整除性、概率公式，利用分類討論的思想進行解答是解答此題的關鍵