專題22最佳對策問題（解析）-1

20222023學(xué)年小學(xué)六年級思維拓展舉一反三精編講義專題22最佳對策問題知識精講知識精講熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚長避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊含著數(shù)學(xué)道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。典例分析典例分析【典例分析01】兩個人做一個移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴?！镜淅治?2】有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認(rèn)為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝?！镜淅治?3】在黑板上寫有999個數(shù)：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個數(shù)，分為499個數(shù)對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）?？梢娒恳粚?shù)中的兩個數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對中的一個，甲則接著擦去這對中的另一個，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數(shù)、一對數(shù)地擦，最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝?！镜淅治?4】甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個數(shù)，可通過歸納試驗。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個數(shù)中的一個，將這六個數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當(dāng)乙寫某組中的一個數(shù)，甲就寫另一個數(shù)，甲就能獲勝?！镜淅治?5】有一個3×3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個數(shù)。小兵和小強兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計算上、下兩行6個數(shù)的和；小強計算左、右兩列6個數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？由于4個角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強把10放進D格，小兵再把9放進A格，這時不論小強怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強把3放進A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）在搶“32”的游戲中，規(guī)則是第一個人先說1或1、2，第二個人要接著往下說一個或兩個數(shù)，然后又輪到第一個人，再接著往下說一個或兩個數(shù)，這樣兩人反復(fù)輪流，每人每次說一個或兩個數(shù)，但不可以連續(xù)說三個數(shù)，誰先搶到“32”誰就勝，那么取適當(dāng)?shù)牟呗院笃浜蠊牵ǎ〢．先報數(shù)者勝 B．后報數(shù)者勝 C．兩者都有可能 D．很難預(yù)料【思路點撥】先報數(shù)者報兩個數(shù)1、2，然后第二個人無論說一個或兩個數(shù)，先報數(shù)者都與第二個人說的數(shù)湊成3個數(shù)，這樣進行下去…，最后剩下的數(shù)是30，31，32．第二個人無論再說一個或兩個數(shù)，先報數(shù)者一定能搶到32．【規(guī)范解答】解：先報數(shù)者首先報兩個數(shù)1，2，然后第二個人接著無論說一個或兩個數(shù)，先報數(shù)者都與第二個人說的數(shù)湊成3個數(shù)，如此循環(huán)，最后剩下的三個數(shù)是30，31，32．第二個人無論再說一個或兩個數(shù)，先報數(shù)者一定能搶到32得勝．故選：A．【考點評析】解此題的策略是最終剩下的數(shù)是3個數(shù)是先報數(shù)者得勝，如果剩下4個數(shù)，后報數(shù)者得勝．2．（2分）一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有4把鑰匙4把鎖，但不知哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試（）次能將所有的鎖都找到相對應(yīng)的鑰匙．A．4 B．6 C．16【思路點撥】根據(jù)最不利原理原理，試開第一把鎖，試了3把鑰匙都沒有打開，則第4把鑰匙一定能打開；同理，還剩3把鎖，最多要試2把鑰匙，即試開2次打開；還剩2把鎖，最多要試1把鑰匙，即試開1次打開；最后剩一把鎖，一把鑰匙，開一次即能打開，所以一共要開：3+2+1＝6（次）．【規(guī)范解答】解：3+2+1＝6（次）；答：最多試6次能將所有的鎖都找到相對應(yīng)的鑰匙．故選：B．【考點評析】完成本題要注意每試開一把鎖都要根據(jù)最不利原理進行計數(shù)．3．（2分）兩個人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝．那么先放著在（）處就必勝．A．周長上 B．直徑上 C．半徑上 D．圓心上【思路點撥】我們用對稱的思想來分析一下．圓是關(guān)于圓心對稱的圖形，若A是圓內(nèi)除圓心外的任意一點，則圓內(nèi)一定有一點B與A關(guān)于圓心對稱（其中AO＝OB）如圖：所以，圓內(nèi)除圓心外，任意一點都有一個（關(guān)于圓心的）對稱點．假設(shè)這兩個人一個是甲，一個是乙，由此可以想到，只要甲把第一枚硬幣放在圓桌面的圓心處，以后無論乙將硬幣放在何處，甲一定能找到與之對稱的點放置硬幣．也就是說，只要乙能放，甲就一定能放．最后無處可放硬幣的必是乙．【規(guī)范解答】解：假設(shè)這兩個人一個是甲，一個是乙；甲的獲勝策略是：把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以后總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣．答：如果甲先放，他要把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以后總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣，這樣才能取勝．故選：D．【考點評析】此題較難，應(yīng)利用對稱思想獲勝，對稱思想獲勝策略體現(xiàn)出了一種機智，而這種機智來源于數(shù)學(xué)思想，應(yīng)靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題．4．（2分）一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。明明和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要（）分鐘。A．10 B．15 C．20【思路點撥】要求明明和爸爸、媽媽三人每人都玩2局，至少要多少分鐘，則三個人兩兩雙人玩，只需3局：爸爸和媽媽、媽媽和明明、爸爸和明明，即可得解?！疽?guī)范解答】解：三個人兩兩雙人玩，只需3局，5×3＝15（分鐘）答：至少要15分鐘。故選：B?！究键c評析】統(tǒng)籌安排時間，要兼顧使事情能夠順利完成，本題關(guān)鍵是理解每人都想玩2局，只有雙人玩時間的總和最少。5．（2分）一把鑰匙只能打開一把鎖，現(xiàn)在有6把鑰匙．但不知哪把鑰匙開哪把鎖．最多要（）次才能打開所有的鎖．A．25 B．21 C．5【思路點撥】次數(shù)最多，則假設(shè)每次試開鎖都到最后一把鎖才能打開，第一把鎖要用5次才能保證找到正確的鑰匙，第2把鎖要4次，第3把鎖要3次，第4把鎖要2次，剩下最后1把需要1次，把所有次數(shù)都加起來，再加上6即可求解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意及運氣最壞原理可知，最多要試：5+4+3+2+1+6＝21（次），答：最多要21次才能打開所有的鎖．故選：B?！究键c評析】完成本題要注意每試開一把鎖都要根據(jù)最壞原理進行計數(shù)．解決此題的關(guān)鍵在于要考慮最壞情況，每次試開鎖都到最后一把鎖才能打開，用運用類推的方法解答問題．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）有240人去春游，想準(zhǔn)備一些飲料，商店“優(yōu)惠告示”寫著本店飲料，6只空瓶可換一瓶飲料，240人至少買200瓶飲料，就能保證每人都喝一瓶．【思路點撥】6只空瓶可換一瓶飲料，就是說花6瓶的錢可以喝到7瓶飲料，還余出1個瓶子，湊夠6個空瓶還可以再換1瓶飲料，就盡量的讓剩下的空瓶都利用．【規(guī)范解答】解：240÷7＝34…2，34×6＝204（瓶），花204瓶的錢，可喝到的瓶數(shù)為：204+204÷6＝238（瓶），剩下204÷6＝34個空瓶，此法浪費，花203瓶的錢，可喝到的瓶數(shù)為：203+203÷6＝236（瓶），剩下203÷6+5＝38個空瓶，38個空瓶再換6瓶飲料，還剩8個空瓶，此法浪費花202瓶的錢，可喝到的瓶數(shù)為：202+202÷6＝235（瓶），剩下202÷6+4＝37個空瓶，37個空瓶再換6瓶飲料，還剩7個空瓶，此法浪費，花201瓶的錢，可喝到的瓶數(shù)為：201+201÷6＝234（瓶），剩下201÷6+3＝36個空瓶，36個空瓶再換6瓶飲料，還剩6個空瓶，此法浪費；花200瓶的錢，可喝到的瓶數(shù)為：200+200÷6＝233（瓶），剩下200÷6+2＝35個空瓶，35個空瓶再換5瓶飲料，共計還剩10個空瓶，先拿6個空瓶換1瓶，喝完后再與其它的4個空瓶合計是5個空瓶，如果能夠賒一瓶飲料，喝完后與那5個空瓶共計6個空瓶，正好抵擋剛才賒的那瓶飲料，所以買200瓶飲料，一個空瓶都不剩．答：240人至少買200瓶就可以了．故答案為：200．【考點評析】本題的關(guān)鍵是空瓶的再次利用，讓最后剩下的空瓶越少越好．7．（2分）兩人輪流報數(shù)，每次只能報1或2，把兩人報的所有數(shù)加起來，誰報數(shù)后和是20，誰就獲勝。如果讓你先報數(shù)，為了確保獲勝，你第一次應(yīng)該報2；接下來應(yīng)該報前面數(shù)與3的差?！舅悸伏c撥】因為20÷（1+2）＝6……2，所以，先報的一定要報2，然后每次報的數(shù)始終都與另一人的和是3，一定會贏。【規(guī)范解答】解：先報數(shù)的人第一次一定要報2，和還剩20﹣2＝18，18是3的倍數(shù)，所以，以后每次報的數(shù)始終都與另一人報的數(shù)的和是3，最后一次總是先報數(shù)的人，所以只要這樣做先報數(shù)的人一定會贏。答：你第一次應(yīng)該報2；接下來應(yīng)該報前面數(shù)與3的差。故答案為：2，3?！究键c評析】本題關(guān)鍵根據(jù)余數(shù)確定先先報的數(shù)，以后每次報的數(shù)始終都與另一人報的數(shù)的和是3，一定會贏。8．（2分）兩個人做移火柴棍游戲．比賽規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完為止，誰最后移走火柴就算誰贏．如果開始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走1根時才能在游戲中保證獲勝．【思路點撥】根據(jù)游戲規(guī)則，先移火柴的人要想獲勝，要設(shè)法最后只留下6根給對方，55﹣6＝49，因此他應(yīng)移走第49根才能獲勝．同理為了移走第49根他必須移走第43根，依此類推他應(yīng)移走第37根、第31根、第25根、…，這些數(shù)除以6余數(shù)均為1，因此首先移火柴的人在第1次應(yīng)該移走1根，以后游戲過程中他只要保證兩人每次共移走6根，就必能在游戲中獲勝．【規(guī)范解答】解：根據(jù)游戲規(guī)則，先移火柴的人要想獲勝，要設(shè)法最后只留下6根給對方，55÷6＝9（次）……1（根）答：首先移火柴的人在第1次應(yīng)該移走1根，以后游戲過程中他只要保證兩人每次共移走6根，就必能在游戲中獲勝．故答案為：1【考點評析】本題主要考查最佳策略問題，關(guān)鍵根據(jù)比賽規(guī)則找到要保證獲勝，最后需要給對手留幾根火柴，然后根據(jù)需要求出剩余的根數(shù)，就是第一次取的根數(shù)．9．（2分）桌上有8根木棒，現(xiàn)小明和小剛玩一個游戲，每個人只能抽取1或2根木棒，最后抽完的人勝利，小明先抽，為了讓自己一定取得勝利，則小明第一次先抽取2根?！舅悸伏c撥】只要把小棒總數(shù)除以二人每次取的小棒的和，如果沒有余數(shù)，就讓對方先拿。有余數(shù)，就自己先拿，而小明先拿，并一定取得勝利，即先取余數(shù)，接著小剛?cè)，自己拿的根數(shù)和小明拿的根數(shù)合起來是3，則小明保證能獲勝?！疽?guī)范解答】解：由題可得：8÷（2+1）＝2…2；有余數(shù)，則讓小明先取，取2根，接著小剛?cè)，小明就?。?﹣n）根即可獲勝。故答案為：2。【考點評析】本題的關(guān)鍵是讓小明先拿，接著小剛?cè)，小明就?。?﹣n）根即可獲勝。10．（2分）甲、乙二人做報數(shù)游戲，規(guī)定：A，按順序從1開始報數(shù)，每次最少報一個數(shù)，最多報兩個數(shù)；B，后一人接著前一個人的數(shù)往后報；C，誰先報出25誰贏；D，甲先乙后，甲乙都很聰明，結(jié)果是甲贏乙輸．【思路點撥】因為每次最少報一個數(shù)，最多報兩個數(shù)，所以后面報數(shù)的人只要報的數(shù)的個數(shù)和是3，那么24是3的倍數(shù)，所以第一次只要報一個數(shù)1，那么無論第二個怎么報，第一次報數(shù)的人一定贏．【規(guī)范解答】解：①甲先報數(shù)：報125﹣1＝24②那么乙要么報2，要么報2和3，如果乙報2，那么甲報3和4；如果乙報2和3，甲就報4；因為24是3的倍數(shù)，甲報完數(shù)字1后還剩下24個數(shù)，只要甲從第二次開始報數(shù)的個數(shù)與乙報數(shù)的個數(shù)和是3，那么甲一定贏．故答案為：甲贏乙輸．【考點評析】此題屬于數(shù)字問題，考查了數(shù)字的倍數(shù)等有關(guān)知識．11．（2分）小軍和小紅做游戲，桌上放著14枚棋子，兩人輪流取走1枚或2枚，誰拿到最后一枚誰就獲勝．如果小軍先取2枚有必勝的策略．【思路點撥】兩人輪流取走1枚或2枚，即每輪最多拿3枚，14÷3＝4（輪）…2（枚），所以如果小軍先取要想取勝，需要先拿2枚，剩下的如果小紅拿1枚，小軍就拿2枚，若小紅拿2枚，小軍就拿1枚，即始終保持每一輪兩個人拿走的枚數(shù)和是3，即可保證小軍必勝．【規(guī)范解答】解：1+2＝3（枚）14÷3＝4（輪）…2（枚）答：如果小軍先取2枚有必勝的策略．故答案為：2．【考點評析】此題考查的知識點是推理與論證，解答此題需要逆向思維，最后一輪剩下3枚，無論小紅拿1或2枚，總有小軍的最后1枚或2枚，小軍必勝．12．（2分）有26個不同國家的集郵愛好者，想通過互相通信的方法交換各國最新發(fā)行的紀(jì)念郵票，為了使這26人每人都擁有這26個國家的一套最新紀(jì)念郵票，他們至少要通50封信?！舅悸伏c撥】每個人都需要送出25張郵票，也要收到25張郵票，將送出和收到都一次性完成，他們所需要的通信的次數(shù)最少，因此，其中25個人留下一張自己的郵票后，全部郵寄給第26個人，第26個人，再根據(jù)其他25人需要的郵票郵寄回去即可?！疽?guī)范解答】解：（26﹣1）×2＝25×2＝50（次）答：他們至少要通50封信。故答案為：50?！究键c評析】本題主要考查了最佳對策問題，每人的需要和送出的數(shù)量是一定的，盡量減少郵寄出去的次數(shù)就可以減少通信的總次數(shù)。13．（2分）兩人做一種游戲：輪流報數(shù)，報出的數(shù)只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把兩人報出的數(shù)連加起來，誰報數(shù)后，加起來的數(shù)是123，誰就獲勝，讓你先報，就一定會贏，那么你第一個數(shù)報6．【思路點撥】因為123÷9＝13…6，報出的數(shù)只能是1，2，3，4，5，6，7，8．不論對方報什么數(shù)，你總是可以做到兩人所報數(shù)之和為9．那就得你第一個數(shù)報6以后，對方報數(shù)后，你再報數(shù)，使一輪中兩人報的數(shù)和為9，最后相加的和是123，由此解決問題．【規(guī)范解答】解：對方至少要報數(shù)1，至多報數(shù)8，不論對方報什么數(shù)，你總是可以做到兩人所報數(shù)之和為9．123÷9＝13…6．你第一次報數(shù)6．以后，對方報數(shù)后，你再報數(shù)，使一輪中兩人報的數(shù)和為9，你就能在13輪后達到123．答：第一個數(shù)報6．故答案為：6．【考點評析】此題關(guān)鍵是明白對方至少要報數(shù)1，至多報數(shù)8，不論對方報什么數(shù)，你總是可以做到兩人所報數(shù)之和為9；123不是9的倍數(shù)，除以9得到余數(shù)，由此探討找到結(jié)論．三．應(yīng)用題（共15小題，滿分74分）14．（4分）水果店有蘋果90千克，如果大小分開賣，大蘋果每千克4元，小蘋果每千克的售價是大蘋果的，如果混合著賣每千克元．如果你是店主，你打算怎么賣？【思路點撥】先計算全部混合賣，一共可以賣多少錢：90×＝315（元），現(xiàn)在考慮當(dāng)大蘋果有多少千克時分開賣的總價等于混合賣的價格．【規(guī)范解答】解：設(shè)大蘋果有x千克，小蘋果有（90﹣x）千克．4x+（90﹣x）×4×＝90×4x+270﹣3x＝315x＝315﹣270x＝45答：當(dāng)大蘋果有45千克，小蘋果有45千克時分開賣與混合賣收入一樣，當(dāng)大蘋果超過45千克時分開賣收入更高，當(dāng)大蘋果小于45千克時混合賣收入更高．【考點評析】先找到分開賣與混合賣收入相等時兩種蘋果的各自重量是解題的關(guān)鍵．15．（5分）小猿和車甫正在玩一個卡片游戲。桌上一共有21張卡片，上面分別寫著1～21，并且按順序排成了一行。從小猿開始，每人輪流拿走3張卡片，要求拿走的3張卡片上的數(shù)必須是連續(xù)的3個數(shù)，誰先無法按照規(guī)則拿走卡片或無卡片可以拿誰輸。請你幫小猿想一個必勝的方法。（卡片不能旋轉(zhuǎn)）【思路點撥】讓小猿必勝，就是要控制從這21張卡片中只能按規(guī)則拿出奇數(shù)次，5張連續(xù)的卡片只能拿1次，8張連續(xù)的卡片必然拿2次，13張連續(xù)的卡片最少能拿3次，據(jù)此可以設(shè)計讓小猿必勝的方案?！疽?guī)范解答】解：小猿第一次拿走6、7、8，把卡片分為前面連續(xù)的5張，后面連續(xù)的13張；第二次輪到小猿拿時，因為13和17之間有3張卡片，在后面連續(xù)的13張中小猿必然能拿到11、12、13或17、18、19，這13張中剩下的10張被分為連續(xù)的2張和連續(xù)的8張，做到以上兩點，無論車甫怎么拿，連續(xù)的8張必然拿2次，1～5必然拿一次，21張卡片拿出5次連續(xù)的3張后就不能再拿出連續(xù)的3張，小猿必勝。（答案不唯一）【考點評析】解答此題的關(guān)鍵在于如何控制21卡片拿出連續(xù)3張的次數(shù)必然為奇數(shù)次。16．（5分）前面有一條河，假設(shè)人只能騎牛過河，共有A、B、C、D頭牛，A牛過河要2分鐘，B牛過河要3分鐘，C牛過河要4分鐘，D牛過河要7分鐘，每次只能趕兩頭牛過河，人要把4頭牛都趕到對岸去，最少要幾分鐘？【思路點撥】根據(jù)題意，A和B先送到對岸，需3分鐘，然后騎A回來2分鐘；C和D送過河，需7分鐘，騎B回來；A和B再過河，需3分鐘，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：A和B先送到對岸，需3分鐘，然后騎A回來2分鐘；C和D送過河，需7分鐘，騎B回來；A和B再過河，需3分鐘，3+2+7+3+3＝18（分鐘）答：最少要18分鐘?！究键c評析】本題主要考查最佳對策問題，關(guān)鍵找到正確的組合一起過河。17．（5分）在一堆棋子（22枚）中，兩個人輪流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的為勝利者．第一個取的人應(yīng)采取怎樣的策略，才能保證自己勝利？【思路點撥】因為每人每次可取2枚或3枚棋子，所以只要第一個人先拿2枚，另一個人就只能拿3枚，如果先取3枚，剩下的就取2枚，反正第一個人先拿走后和另一個人再拿的枚數(shù)和起來是5，則保證甲獲勝．【規(guī)范解答】解：第一次取的時候直接取2枚，以后對方取2枚我方就取3枚；對方取3枚我方就取2枚，這樣就一定能保證自己勝利．【考點評析】關(guān)鍵是保證第一個人先拿走后和另一個人再拿的枚數(shù)和起來是5．18．（5分）兩人輪流報數(shù)，每次只能報1或3，把兩人報的數(shù)加起來．（1）誰報數(shù)后和是33，誰就獲勝．想一想：為了確保獲勝，你應(yīng)該先報還是后報？應(yīng)該怎樣報？（2）誰報數(shù)后和是44，誰就獲勝，如果讓你先報，你能保證一定獲勝嗎？為什么？【思路點撥】（1）3+1＝4，33÷4＝8……1，所以我應(yīng)該先報1，然后每次保證他和我報的數(shù)和是4即可；（2）44÷4＝11，沒有余數(shù)，所以如果我先報，無論報1或者3，只要對方報的數(shù)和我報的數(shù)和為4，對方一定會獲勝?！疽?guī)范解答】解：（1）3+1＝433÷4＝8……1所以我應(yīng)該先報1，然后每次保證他和我報的數(shù)和是4即可；（2）44÷4＝11，沒有余數(shù)，所以如果我先報，無論報1或者3，只要對方報的數(shù)和我報的數(shù)和為4，對方一定會獲勝。所以，不能保證一定獲勝?！究键c評析】本題主要考查了最佳對策問題，用目標(biāo)數(shù)除以每次報數(shù)的和，看是否有余數(shù)來判斷先報還是后報，是本題解題的關(guān)鍵。19．（5分）有一個3×3的棋盤方格和9張大小與一個小方格相同的卡片，在每一張卡片上寫著1～9中的一個數(shù)。甲、乙兩人做游戲，輪流選取一張卡片放到9格中的一格，對甲計算上、下兩行6個數(shù)字的和，對乙計算左、右兩列（豎行）6個數(shù)字的和，和數(shù)大者為勝。試說明若甲先選卡片放，則甲有必勝的策略。【思路點撥】左右上方4個數(shù)字是雙方共用的，無論取什么都一樣，不做考慮，所以甲要有必勝的策略，先從中間一格制定策略?！疽?guī)范解答】解：因為甲、乙的6個數(shù)字和中四角上的數(shù)字是相同的，故甲只需保證第1、3行中間的數(shù)字和比乙第1、3列中間的數(shù)字和大即可。為此，甲先取9放在第1行中間一格，如果乙第1次取數(shù)不放在第3行中間一格，則甲可取7、8之一放到第3行中間一格，甲必勝；如果乙第1次取放在第3行中間一格，則甲可取剩下7個數(shù)中最大者放到第2列中間一格，然后，甲第3次再取剩下數(shù)中最小者放到第1或第3列中間。這樣甲必勝?！究键c評析】本題是一道有關(guān)最佳對策問題的題目；關(guān)鍵是從中間一格制定策略。20．（5分）有12枚棋子，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者為勝者．如果甲先取，那么誰有必勝策略？如果取走最后一枚棋子者為敗者，并且仍然是甲先取，那么誰有必勝策略？【思路點撥】①通過分析可知，因為每人每次可取1枚、2枚或3枚，所以只要甲先拿，甲無論是拿1枚、2枚還是3枚，乙再拿時，拿的枚數(shù)和甲的枚數(shù)合起來是4，則保證乙獲勝；據(jù)此解答即可。②因為1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2，3，4都是12的因數(shù)，只要甲總是取一枚，無論乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必勝；據(jù)此解答即可。【規(guī)范解答】解：①因為，12÷4＝3，沒有余數(shù)，所以只要甲先拿，甲無論是拿1枚、2枚還是3枚，乙再拿時，拿的枚數(shù)和甲的枚數(shù)合起來是4，則保證乙獲勝。②因為1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，而2，3，4都是12的因數(shù)，只要甲總是取一枚，無論乙怎么取，最后一枚一定是乙取的，所以甲必勝。【考點評析】如何制定最佳策略，要根據(jù)具體的“對策現(xiàn)象”來分析；一般來說，要結(jié)合余數(shù)問題來選擇制勝策略。21．（5分）羊羊運動會上，綿羊家族和山羊家族各派3名乒乓球選手進行比賽，共打三場，3場2勝即為贏．如果你是綿羊家族的領(lǐng)隊，你將怎么安排本隊的3名選手與對方對陣，才有可能贏得比賽？【思路點撥】可用“田忌賽馬”的方法進行安排選手，即是用上對中，中對下，下對上．進行比賽．據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：如果我是綿羊的領(lǐng)隊，我將做如下安排：（1）用我隊第一名的選手和對方第二名的選手對陣，勝．（2）用我隊第二名的選手和對方第三名的選手對陣，勝．（3）用我隊第三名的選手和對方第一名的選手對陣，負(fù)．三場比賽可贏得二場，我方可獲勝．【考點評析】本題的關(guān)鍵是要想贏得勝利，就必須做到2勝，要想2勝，用我隊的第一名和對方的第一名比試獲勝的機率不大，所以可采用“田忌賽馬”的方法來安排比賽．22．（5分）有四個人夜間過一座獨木橋，他們只有一只手電筒．而這座獨木橋一次最多允許兩人同時通過，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去．兩人同行時以較慢者的速度為準(zhǔn)，四人過橋時間分別是1分、2分、5分和10分．他們四人過完橋最少需要17分鐘．【思路點撥】根據(jù)要求出四個人過橋最少時間，即可得出應(yīng)首先讓用時最少的兩人先過橋，讓他們往返送手電筒會節(jié)省時間，進而分別分析得出即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)要求出四個人過橋最少時間，即可得出應(yīng)首先讓用時最少的兩人先過橋，讓他們往返送手電筒會節(jié)省時間，故：（1）1分鐘的和2分鐘的先過橋（此時耗時2分鐘）．（2）1分鐘的回來，（此時共耗時3分鐘）．（3）5分鐘的和10分鐘的過橋（共耗時2+1+10＝13分鐘）．（4）2分鐘的回來（共耗時2+1+10+2＝15分鐘）．（5）1分鐘的和2分鐘的過橋（共耗時2+1+10+2+2＝17分鐘）．此時全部過橋，共耗時17分鐘．故答案為：17．【考點評析】此題主要考查了應(yīng)用類問題，結(jié)合實際發(fā)現(xiàn)用時最少的兩人先過橋往返送手電筒會節(jié)省時間是解題關(guān)鍵．23．（5分）有分別裝7根和10根的兩盒火柴，甲、乙兩人輪流在某一盒中任取，但不能同時在兩盒中都取，也不能不取，規(guī)定取到最后火柴者為勝．問甲先取時是否有必勝的策略？（請你寫出取勝的策略）【思路點撥】由題意可知，兩盒火柴相差3根，若甲先取，則先在10根里取3根，結(jié)果造成兩盒都是7根，然后乙取幾，則甲跟著在另一盒中取相同的數(shù)目的火柴，則甲必勝；據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：10﹣7＝3（根），由于兩盒火柴相差3根，若甲先取，則先在10根里取3根，結(jié)果造成兩盒都是7根，然后乙取幾，則甲跟著在另一盒中取相同的數(shù)目的火柴，則甲必勝．【考點評析】關(guān)鍵是先取的一方取出兩盒火柴相差的根數(shù)，然后，對方取幾就跟著取幾即可．24．（5分）甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他們輪流向如圖的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，誰的棋子中有3枚連成一條線（橫、豎、斜均可），誰就獲勝．如果甲首先占據(jù)了中間位置，乙要想不敗，第1枚棋子應(yīng)該放在哪里？【思路點撥】除了中間位置，乙能放的位置有兩種：頂點位置和邊中間位置，若乙放在邊中間位置，則甲第二步放在頂點位置，乙只能放在甲放位置的對角位置，甲第三步再放到另一個頂點位置，則乙無論放在哪里，甲必勝，所以，乙要想不敗，第一枚棋子只能放在頂點的位置，據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：除了中間位置，乙能放的位置有兩種：頂點位置和邊中間位置，若乙放在邊中間位置，則甲第二步放在頂點位置，乙只能放在甲放位置的對角位置，甲第三步再放到另一個頂點位置，則乙無論放在哪里，甲必勝，所以，乙要想不敗，第一枚棋子只能放在頂點的位置，答：乙第一枚棋子應(yīng)該放在頂點位置?！究键c評析】本題主要考查了最佳對策問題，采用排除法，找出甲必勝的方案排除即可。25．（5分）一場數(shù)學(xué)游戲在小聰和小明間展開：黑板上寫著自然數(shù)2，3，4，…，2007，2008，一名裁判現(xiàn)在隨意擦去其中的一個數(shù)，然后由小聰和小明輪流擦去其中的一個數(shù)（即小明先擦去一個數(shù)，小聰再擦去一個數(shù)，如此下去），若到最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判小聰勝；否則判小明勝．問：小聰和小明誰有必勝策略？說明理由．【思路點撥】先求出2，3，4，…，2008中有1003個奇數(shù)，有1004個偶數(shù)，再分裁判擦去的數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況討論，①若裁判擦去的是奇數(shù)，則小明不管小聰擦什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)；②若裁判擦去的數(shù)是2m，設(shè)裁判擦去的數(shù)是偶數(shù)，則將所剩的數(shù)配成1003對，再進行解答．【規(guī)范解答】解：他們獲勝的關(guān)鍵是看裁判擦去哪個數(shù)．注意到2，3，4，…，2008中有1003個奇數(shù)，有1004個偶數(shù)．①若裁判擦去的是奇數(shù)，不管小聰擦什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，小明就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩數(shù)不互質(zhì)，小明獲勝．②若裁判擦去的數(shù)是2m，則所剩的數(shù)配成1003對：（2，3），…，（2m﹣2，2m﹣1），（2m+1，2m+2），…，（2007，2008），不管小明擦哪一個數(shù)，小聰就擦所配數(shù)對中的另一個數(shù)，這樣最后剩下的兩數(shù)必然互質(zhì)，小聰一定獲勝．【考點評析】本題考查的是奇數(shù)與偶數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念、數(shù)的整除性、概率公式，利用分類討論的思想進行解答是解答此題的關(guān)鍵