2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第一節(jié)數(shù)列的概念與簡潔表示法2024考綱考題考情1.數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義依據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。(2)數(shù)列的分類分類原則類型滿意條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M搖擺數(shù)列從其次項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期數(shù)列對n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使an＋k＝an(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法。2.數(shù)列的通項公式(1)數(shù)列的通項公式,假如數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2。))1．數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特別的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集或其子集{1,2,3，…，n}上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值。2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1。))3．遞推關(guān)系求通項公式的三種方法：(1)疊加法：對于an＋1－an＝f(n)型，若f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an。(2)疊乘法：對于eq\f(an＋1,an)＝f(n)型，若f(1)·f(2)·…·f(n)的積是可求的，可用多式相乘法求得an。(3)構(gòu)造法：對an＋1＝pan＋q型，兩邊同時加上eq\f(q,p－1)(p≠1)構(gòu)造一個公比為p的等比數(shù)列，求得an。一、走進教材1．(必修5P33A組T4改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，則a5等于()A．eq\f(3,2)B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,5)D．eq\f(2,3)解析a2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(－14,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－15,a4)＝eq\f(2,3)。答案D2．(必修5P33A組T5改編)依據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an答案5n－4二、走近高考3．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________。解析由題易知a8＝eq\f(1,1－a7)＝2，得a7＝eq\f(1,2)，a7＝eq\f(1,1－a6)＝eq\f(1,2)，得a6＝－1；a6＝eq\f(1,1－a5)＝－1，得a5＝2，于是可知數(shù)列{an}具有周期性，且周期為3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2)。答案eq\f(1,2)4．(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和。若Sn＝2an＋1，則S6＝________。解析依據(jù)Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，兩式相減得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，當n＝1時，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以S6＝eq\f(－1×1－26,1－2)＝－63。解析：因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；當n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；當n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；當n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；當n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得答案－63三、走出誤區(qū)微提示：①忽視數(shù)列是特別的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集N*或其子集{1,2，…，n}；②求數(shù)列前n項和Sn的最值時忽視項為零的狀況；③依據(jù)Sn求an時忽視對n＝1的驗證。5．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)中，0.08是它的第________項。解析依題意得eq\f(n－2,n2)＝eq\f(2,25)，解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍)。答案106．在數(shù)列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，當其前n項和Sn取最大值時，n＝________。解析由題可知n∈N*，令an＝－n2＋6n＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N*)，所以該數(shù)列的第7項為零，且從第8項起先an<0，則S6＝S7且最大。答案6或77．已知Sn＝2n＋3，則an＝________。解析因為Sn＝2n＋3，那么當n＝1時，a1＝S1＝21＋3＝5；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)。由于a1＝5不滿意(*)式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2。))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2))考點一由數(shù)列的前n項求數(shù)列的通項公式【例1】(1)數(shù)列eq\f(3,2)，－eq\f(5,4)，eq\f(7,8)，－eq\f(9,16)，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(2n＋1,2n)B．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(2n＋1,2n)C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·eq\f(2n＋1,2n)D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·eq\f(2n＋1,2n)(2)(2024·湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿意an＝eq\r(5n－1)(n∈N*)，將數(shù)列{an}中的整數(shù)項按原來的依次組成新數(shù)列{bn}，則b2019的末位數(shù)字為()A．8 B．2C．3 D．7解析(1)該數(shù)列是分數(shù)形式，分子為奇數(shù)2n＋1，分母是指數(shù)2n，各項的符號由(－1)n＋1來確定，所以D選項正確。(2)由an＝eq\r(5n－1)(n∈N*)，可得此數(shù)列為eq\r(4)，eq\r(9)，eq\r(14)，eq\r(19)，eq\r(24)，eq\r(29)，eq\r(34)，eq\r(39)，eq\r(44)，eq\r(49)，eq\r(54)，eq\r(59)，eq\r(64)，…，整數(shù)項為eq\r(4)，eq\r(9)，eq\r(49)，eq\r(64)，eq\r(144)，eq\r(169)，…，所以數(shù)列{bn}的各項依次為2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位數(shù)字分別是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因為2019＝4×504＋3，所以b2019的末位數(shù)字為7。故選D。答案(1)D(2)D依據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需細致視察分析，抓住以下幾方面的特征：1．分式中分子、分母的各自特征；2．相鄰項的聯(lián)系特征；3．拆項后的各部分特征；4．符號特征。應(yīng)多進行對比、分析，從整體到局部多角度視察、歸納、聯(lián)想?！咀兪接?xùn)練】(1)數(shù)列1,3,6,10,15，…的一個通項公式是()A．a(chǎn)n＝n2－(n－1) B．a(chǎn)n＝n2－1C．a(chǎn)n＝eq\f(nn＋1,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(nn－1,2)(2)已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…，則數(shù)列{an}的一個通項公式是________。解析(1)設(shè)此數(shù)列為{an}，則由題意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…細致視察數(shù)列1,3,6,10,15，…可以發(fā)覺：1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4?！缘趎項為1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，所以數(shù)列1,3,6,10,15，…的通項公式為an＝eq\f(nn＋1,2)。解析：代入n＝1,2,3進行驗證。(2)各項的分母分別為21,22,23,24，…，易看出從第2項起，每一項的分子都比分母少3，且第1項可變?yōu)椋璭q\f(2－3,2)，故原數(shù)列可變?yōu)椋璭q\f(21－3,21)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，…故其通項公式可以為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)。答案(1)C(2)(－1)n·eq\f(2n－3,2n)考點二由an與Sn的關(guān)系求an【例2】(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________。(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，則{an}的通項公式為an＝________。解析(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；當n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1。因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2。))(2)當n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,3)a1＋eq\f(2,3)，所以a1＝1。當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)an－eq\f(1,3)an－1，所以eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)，所以數(shù)列{an}為首項a1＝1，公比q＝－eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1。答案(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－11．已知Sn求an，常用的方法是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系，再求其通項公式。2．要驗證a1是否適合an，若適合，則統(tǒng)一用an表示；若不適合，則通項公式用分段函數(shù)的形式表示?！咀兪接?xùn)練】(1)(2024·合肥市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2020＝()A．22020－1 B．32020－6C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2020－eq\f(7,2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2020－eq\f(10,3)(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________。解析(1)因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3。當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，則a2020＝2(2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1。明顯當n＝1時，不滿意上式。所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2。))答案(1)A(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))考點三由遞推關(guān)系求通項公式【例3】(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，則a5＝________。(2)若a1＝1，an＋1＝2nan，則通項公式an＝________。(3)若a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________。解析(1)依題意得an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25。(2)由an＋1＝2nan，得eq\f(an,an－1)＝2n－1(n≥2)，所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2eq\f(nn－1,2)。又a1＝1適合上式，故an＝2eq\s\up15(eq\f(n(n－1),2))。(3)因為an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)。又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列。所以eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)。所以an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)。答案(1)25(2)2eq\s\up15(eq\f(n(n－1),2))(3)eq\f(2,n＋1)已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法1．當出現(xiàn)an＝xan－1＋y(x，y為常數(shù))時，構(gòu)造等比數(shù)列。2．當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解。3．當出現(xiàn)eq\f(an,an－1)＝f(n)時，用累乘法求解。【變式訓(xùn)練】(1)若數(shù)列{an}滿意a1＝1，且對于隨意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2017)等于()A．eq\f(2017,2018)B．eq\f(2016,2017)C．eq\f(4032,2017)D．eq\f(2017,1009)(2)定義：在數(shù)列{an}中，若滿意eq\f(an＋2,an＋1)－eq\f(an＋1,an)＝d(n∈N*，d為常數(shù))，稱{an}為“等差比數(shù)列”。已知在“等差比數(shù)列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，則eq\f(a2015,a2013)等于()A．4×20152－1 B．4×20142－1C．4×20132－1 D．4×20132解析(1)由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，則a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝(n－1)＋1，以上等式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋(n－1)＋n，把a1＝1代入上式得an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝eq\f(nn＋1,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2017)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)－\f(1,2018)))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2018)))＝eq\f(2017,1009)，故選D。(2)由題知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則eq\f(an＋1,an)＝2n－1，所以an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a2,a1)×a1＝(2n－3)×(2n－5)×…×1。所以eq\f(a2015,a2013)＝eq\f(2×2015－32×2015－5×…×1,2×2013－32×2013－5×…×1)＝4027×4025＝(4026＋1)(4026－1)＝40262－1＝4×20132－1。答案(1)D(2)C考點四數(shù)列的性質(zhì)微點小專題方向1：數(shù)列的周期性【例4】(2024·河北石家莊模擬)若數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2018的值為()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析因為a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，所以a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，同理可得：a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，…，可得an＋4＝an，則a2018＝a504×4＋2＝a2＝－3。故選B。答案B列出數(shù)列的前幾項，歸納出周期。方向2：數(shù)列的單調(diào)性【例5】(1)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，則數(shù)列的最大項為________。(2)已知數(shù)列{an}滿意a1＝33，an＋1－an＝2n，則eq\f(an,n)的最小值為________。解析(1)因為an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n×eq\f(9－n,11)，所以當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an。所以該數(shù)列最大項為第9,10項，且a9＝a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))9。解析：依據(jù)題意，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n－1，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n≥n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1，))解得9≤n≤10。因為n∈N*，所以n＝9或n＝10。所以該數(shù)列最大項為第9,10項，且a9＝a10＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))9。(2)因為an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n(n≥2)，當n＝1時也符合，所以an＝n2－n＋33。所以eq\f(an,n)＝eq\f(33,n)＋n－1。構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(33,x)＋x－1(x>0)，求導(dǎo)得f′(x)＝－eq\f(33,x2)＋1。令f′(x)>0，解得x>eq\r(33)；令f′(x)<0，解得0<x<eq\r(33)。所以f(x)＝eq\f(33,x)＋x－1在(eq\r(33)，＋∞)上是遞增的，在(0，eq\r(33))上是遞減的。因為n∈N*，所以當n＝5或n＝6時，f(n)取得最小值。又因為eq\f(a5,5)＝eq\f(53,5)，eq\f(a6,6)＝eq\f(63,6)＝eq\f(21,2)，所以eq\f(an,n)的最小值為eq\f(21,2)。答案(1)10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))9(2)eq\f(21,2)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法1．用作差比較法，依據(jù)an＋1－an的符號推斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列。2．用作商比較法，依據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進行推斷。3．結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法推斷?！绢}點對應(yīng)練】1．(方向1)已知數(shù)列{an}滿意：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2018＝()A．3B．2C解析因為an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3。故選A。答案A2．(方向2)已知數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(n＋1,2)an，則eq\f(an,an－1)(n>1)的最大值為________。解析因為Sn＝eq\f(n＋1,2)an，所以當n>1時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋1,2)an－eq\f(n,2)an－1，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n－1)，因為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))單調(diào)遞減，所以當n＝2時，eq\f(an,an－1)＝2最大。答案2eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運用)若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋n，則eq\f(a1,1)＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝________。解析當n＝1時，eq\r(a1)＝12＋1＝2，a1＝4。當n≥2時，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝(n－1)2＋(n－1)，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＋eq\r(an)＝n2＋n，兩式相減可得eq\r(an)＝2n，即an＝4n2，又a1＝4也符合該式，所以an＝4n2，則eq\f(an,n)＝4n，則eq\f(a1,1)＋eq\f(