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文檔簡介
廣東省江門市新會區(qū)第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題)1.在如圖所示的電路(規(guī)定只能閉合其中一個開關(guān))中,接通電源使燈泡發(fā)光的方法有(
)種.
A.4 B.5 C.6 D.82.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為(
)A. B.C. D.3.下列選項(xiàng)正確的是() B.C. D.4.?dāng)?shù)列是等比數(shù)列,,,則(
)A. B. C. D.15.已知一個等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261.則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(
)A.15 B.17 C.19 D.216.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案,圖形的作法是:從一個正三角形開始,把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程,就得到一條“雪花”狀的曲線,設(shè)原正三角形(圖①)的邊長為2,把圖①,圖②,圖③,圖④中圖形的周長依次記為,則(
)A. B. C. D.8.定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,已知且,則下列結(jié)論正確的是(
)A.在單調(diào)遞增 B.在單調(diào)遞減C.在上有極小值 D.在上有極大值二、多選題(本大題共3小題)9.若數(shù)列為等差數(shù)列,為前n項(xiàng)和,,,,下列說法中正確的有(
)A. B.C.和均為的最大值 D.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(
)A.函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值11.已知函數(shù),則(
)A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.極大值點(diǎn)僅有一個C.無最大值,有最小值D.當(dāng)時,關(guān)于的方程共有3個實(shí)根三、填空題(本大題共3小題)12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.13.有個不同的正因數(shù).14.在數(shù)列中,,,且對任意的,都有,則的通項(xiàng)公式為;若,則數(shù)列的前項(xiàng)和.四、解答題(本大題共5小題)15.兩個數(shù)列,,,已知數(shù)列為等比數(shù)列且,數(shù)列的前項(xiàng)和為,又滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)在處有極值2.(1)求,的值:(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.17.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,,討論的零點(diǎn)個數(shù).18.已知數(shù)列的首項(xiàng),且滿足.(1)設(shè),求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,求;(3)若,求滿足條件的最大整數(shù).19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,證明:;(2)證明:.
參考答案1.【答案】B【詳解】接通電源使燈泡發(fā)光的方案可分為兩類:第一類,閉合中的一個開關(guān),共2種方法;第二類,閉合中的一個開關(guān),共3種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知.故選B.2.【答案】C【詳解】∵,∴,,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.故選C.3.【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A,故A錯誤;對于選項(xiàng)B,,故B錯誤;對于選項(xiàng)C,,故C正確;對于選項(xiàng)D,,故D錯誤;故選C.4.【答案】A【解析】分析出,再結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得,因此,.故選A.5.【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,設(shè)所有的奇數(shù)項(xiàng)和為,則,設(shè)所有的偶數(shù)項(xiàng)和為,則,由,解得,項(xiàng)數(shù).故選C.6.【答案】B【詳解】函數(shù),求導(dǎo)得,由函數(shù)在上單調(diào)遞減,得,,則,,而恒成立,因此,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.7.【答案】A【詳解】觀察圖形知,各個圖形的周長依次排成一列構(gòu)成數(shù)列,從第二個圖形開始,每一個圖形的邊數(shù)是相鄰前一個圖形的4倍,邊長是相鄰前一個圖形的,因此從第二個圖形開始,每一個圖形的周長是相鄰前一個圖形周長的,即有,因此數(shù)列是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,故,則.故選A.8.【答案】C【詳解】令,則,即且為常數(shù),又,則,故,所以,則,當(dāng)時,即在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,即在上單調(diào)遞增,所以處取極小值.故選C.9.【答案】AC【詳解】,則,,則,因此,且,故A正確,B錯誤;而且均為的最大值,故C正確;,故,故D錯誤.故選AC.10.【答案】AD【詳解】由圖可知,所以函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0,故A正確;由圖可知時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯誤;由圖可知時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,不是函數(shù)的極小值點(diǎn),故C錯誤;由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,由圖可知時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極大值,故D正確.故選AD.11.【答案】BC【詳解】對于A選項(xiàng),當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,故A錯誤;對于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)知,函數(shù)在上有一個極大值點(diǎn),當(dāng)時,,則,此時函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,此時函數(shù)有極小值點(diǎn),無極大值點(diǎn),綜上所述,函數(shù)僅有1個極大值點(diǎn),故B正確;對于C選項(xiàng),當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以,函數(shù)的最小值為,函數(shù)無最大值,故C正確;對于D選項(xiàng),如下圖所示:
由圖可知,當(dāng)時,關(guān)于的方程共有4個實(shí)根,故D錯誤.故選BC.12.【答案】和【詳解】,令解得或從而的單調(diào)遞增區(qū)間為和13.【答案】【詳解】,它的正因數(shù)即為的冪的乘積,因此正因數(shù)個數(shù)為.14.【答案】【詳解】因?yàn)?,,所?因?yàn)?,所以,又,則有,所以,所以是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.所以,所以,又,所以是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以,所以.由題意可得,則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù),且時,;當(dāng)為奇數(shù),且時,為偶數(shù),.時,,滿足.所以,當(dāng)為奇數(shù),且時,有.綜上,.15.【答案】(1),(2)【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公比為,又,,所以,解得,所以,又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為①,當(dāng)時,②,由①②得到,又,,所以,則,滿足,所以.(2)由(1)知,所以.16.【答案】(1)(2)2【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值,且,所以,解得,故.(2)由(1)得:,,又,令,得,令,得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故的最大值是或,而,,故函數(shù)的最大值是2.17.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,.若,令,得或,令,得;若,令,得或,令,得.綜上,當(dāng)時,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時,,令,則,令,則.當(dāng)和時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.所以的極小值為,的極大值為,畫出函數(shù)的大致圖象,如圖,由圖可知,當(dāng)或時,函數(shù)有1個零點(diǎn);當(dāng)或時,函數(shù)有2個零點(diǎn);當(dāng)時,函數(shù)有3個零點(diǎn).18.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】(1)由題意,數(shù)列滿足,可得,所以,又,所以,則為常數(shù),所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.(3)由(1)知,所以,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,若,即,令,則,所以數(shù)列為遞增數(shù)列,又,,所以滿足的最大整數(shù)的值為.19.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】(1)要證,只需證,故令,則恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,
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