中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精煉與綜測：（7）一元二次方程（知識精煉）

（7）一元二次方程（知識精煉）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精煉與綜測重難講解1.“”是一元二次方程的重要組成部分，當(dāng)時，就成了一元一次方程，但如果明確了是一元二次方程，就隱含了這個條件.2.方程的根（1）當(dāng)時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根（2）當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根（3）當(dāng)時，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有，所以方程無實(shí)數(shù)根.3.可化為的形式的一元二次方程的根（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有，所以方程無實(shí)數(shù)根.4.用公式法解一元二次方程的步驟：（1）整理方程：將方程整理為的形式，找到公式中的，要注意的符號.（2）計算根的判別式：將的值代入計算，并判斷的符號.（3）求根：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根.5.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）移項(xiàng)：將方程化為一般式；（2）分解：將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令每個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.6.一元二次方程根的情況判斷方程的根的情況有兩個不相等的實(shí)數(shù)根有兩個相等的實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根上面結(jié)論反過來也成立，即當(dāng)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，；當(dāng)一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，；當(dāng)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時，.7.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)語言若的兩個根為，則，文字語言一元二次方程的兩個根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.使用條件（1）方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（2）方程有實(shí)數(shù)根，即.重要結(jié)論（1）若一元二次方程的兩根為，則，.（2）以實(shí)數(shù)為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是.延伸拓展1.對于二次項(xiàng)的系數(shù)含有字母的方程，若字母的取值范圍不明確，則這個方程不一定是一元二次方程.例如，關(guān)于x的方程，當(dāng)時，該方程是一元一次方程.2.關(guān)于一元二次方程根的三個重要結(jié)論（1）一元二次方程有一個根為.（2）一元二次方程有一個根為.（3）一元二次方程有一個根為.3.常見的可以用因式分解法求解的方程的類型常見類型因式分解為方程的解(a，b為常數(shù))4.對于一元二次方程，當(dāng)異號時，方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程一定有一個根為0.5.與一元二次方程的兩個根有關(guān)的幾個代數(shù)式的變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解題方法1.解一元二次方程的識別問題等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.判斷一個方程是不是一元二次方程，一般是先把這個方程化簡為一般形式，再看是否符合一元二次方程的定義，即是否符合一元二次方程的三要素：①是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【方法總結(jié)】判斷方程是不是一元二次方程，首先要化簡整理，使方程的右邊為0，左邊合并同類項(xiàng)，然后觀察是否滿足一元二次方程的定義.特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.2.解一元二次方程根的問題利用一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值的方法解題步驟解題注意事項(xiàng)第一步：將方程的根代入原方程.按目標(biāo)要求將方程適當(dāng)變形第二步：找未知和已知之間的聯(lián)系，將未知化為已知運(yùn)用整體代入的方法【技巧點(diǎn)撥】整體代入法求代數(shù)式的值已知含字母的方程的根求代數(shù)式的值時，如果所求代數(shù)式中涉及的字母的值不能直接求出，則常用整體代入法解答.即將所求代數(shù)式或其中一部分看成一個整體，通常這部分是已知條件或可利用已知條件求出的部分.3.列一元二次方程解決實(shí)際問題（一）解增長（或降低）率問題解決這類問題的關(guān)鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.分析、歸納、解決問題的同時，務(wù)必要記住公式，其中為增長（或降低）的基礎(chǔ)數(shù)，為增長（或降低）率，為增長（或降低）的次數(shù)，為增長（或降低）后的數(shù)量.（二）解幾何圖形面積問題解決圖形面積問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把實(shí)際問題中的已知量和未知量歸結(jié)到某一個幾何圖形中，然后利用幾何知識來尋找它們之間的關(guān)系，列出一元二次方程求解.求不規(guī)則圖形的面積時，一般是將不規(guī)則圖形拼湊或分割成規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式列方程求解.（三）解分裂（傳播）問題分裂與傳播類問題是一元二次方程實(shí)際應(yīng)用中的常見題型，解決此類問題的關(guān)鍵是原細(xì)胞或傳染源在不在總數(shù)中，其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是傳播問題，然后找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數(shù)量計入傳染結(jié)果，若傳染源數(shù)量為1，每一個傳染源傳染個個體，則第一輪傳