福建省泉州市泉港區(qū)第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

福建省泉州市泉港區(qū)第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知角是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，是單位向量，且，則為（

）A． B． C．3 D．54．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)是，、分別是、的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．已知向量、滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．先把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸可以是（

）A． B． C． D．7．已知角滿足，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，均為非零向量，則B．已知向量，滿足，，則的取值范圍是C．已知非零向量，滿足，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)梯形D．若，則10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是11．對(duì)于函數(shù)，下列正確的有（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．是周期函數(shù)且最小正周期為 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，的模相等且?jiàn)A角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)．13．已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為.14．函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知，求的值；（2）若，求的值.16．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．（1）若，求證：三點(diǎn)共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值，并指出與反向共線時(shí)k的取值17．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．18．如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）令，，用，表示；（2）求線段的長(zhǎng)．19．已知函數(shù)（其中，，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且圖象上與點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求函數(shù)的解析式并用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象簡(jiǎn)圖；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值.（3）利用上一問(wèn)的結(jié)果，若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】若，則，模長(zhǎng)相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，則，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.2．【答案】A【詳解】因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以，又，所以．故選A.3．【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄?，是單位向量，所以由則，所以，故選B.4．【答案】B【詳解】如下圖所示：

因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)是，、分別是、的中點(diǎn)，則，由得，可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選B.5．【答案】C【詳解】設(shè)向量、的夾角為，因?yàn)椋傻?，所以，在上的投影向量?故選C.6．【答案】D【詳解】由題意可得：，經(jīng)過(guò)題中的一系列變換得到，令，，解得：，，對(duì)各項(xiàng)驗(yàn)證可得：當(dāng)時(shí)，.故選D.7．【答案】A【詳解】法一：因?yàn)?，所以，整理得，所以，又，則，法二：，所以，即①，又，，解得或，代入①式，得到，化簡(jiǎn)得，故選A.8．【答案】C【詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，即，所以，，又因?yàn)?，，則，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，所以，，且、不共線，所以，，，故，因此，.故選C.9．【答案】ACD【詳解】由題意，選項(xiàng)A，與共線，與共線，∴不一定成立，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，與的方向相同時(shí)，取得最小值3，與的方向相反時(shí)，取得最大值5，∴選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，A，B，C，D四點(diǎn)共線時(shí)不能構(gòu)成一個(gè)梯形，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，方向不確定，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選ACD．10．【答案】ACD【詳解】由圖可知：的最小正周期，當(dāng)時(shí)，，所以；對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，將向右平移，得到，正確；對(duì)于D，的大致圖象如下：欲使得在內(nèi)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，正確；故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知B正確；因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確．故選ABD.12．【答案】2【詳解】由向量，的模相等且?jiàn)A角為，得，由向量與向量垂直，得，而，所以.13．【答案】【詳解】因在上的投影向量為，即，則，又，則得，所以，又，故向量與向量的夾角為.14．【答案】【詳解】由題意得，，令，得，當(dāng)時(shí)，，，故的值為.15．【答案】（1），（2）【詳解】（1）由可得故故，（2）由可得，故，即，解得16．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），【詳解】（1）由，得，，所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.（2）由與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，解得，或，實(shí)數(shù)k的值是.當(dāng)時(shí)，與反向共線17．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.【詳解】（1）由題設(shè)，，所以的最小正周期為，令，，解得，，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知，，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，∵，則，∴，則．∴在上的值域?yàn)椋?8．【答案】（1）（2）【詳解】（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴；（2）設(shè)，∵，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，解得，即，由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，所以，是等邊三角形，所以．19．【答案】（1）,圖象如圖所示（2）（3）【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意，，且，解得，則，即有，將點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)可得，則，即