直線與平面的夾角（原卷版）

1.2.3直線與平面的夾角TOC\o"13"\h\u題型1用定義法求斜線和平面的夾角 2題型2最小角定理求斜線和平面的夾角 4題型3向量法求斜線和平面所成的角 5題型4探索性習(xí)題 8知識(shí)點(diǎn)一.直線與平面的夾角1.直線與平面垂直：直線與平面的夾角為90°.2.直線與平面平行或在平面內(nèi)：直線與平面的夾角為0°.3.斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）知識(shí)點(diǎn)二.最小角定理1.線線角、線面角的關(guān)系式：如圖，AB⊥α，則圖形θ，θ2.最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.知識(shí)點(diǎn)三.用空間向量求直線與平面的夾角1.定義：設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，直線與平面所成的角為θ，u與n的角為φ，則有sinθ=__cosφ

____=___2.范圍：[0,π2]題型1用定義法求斜線和平面的夾角【方法總結(jié)】計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度?，從而不必作出線面角，則線面角θ滿足sinθ=?（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)a為直線l的方向向量，n為平面的法向量，則線面角θ的正弦值為sinθ【例題1】（20222023學(xué)年）在正方體ABCD?A1B1

(1)求三棱錐A?(2)當(dāng)O1是上底面A1B【變式11】1.（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體A?BCD中，E為等邊三角形ACD的中心，F(xiàn),

(1)用BA,BC,BD表示(2)求直線FG與平面ACD所成角的正弦值.【變式11】2.（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，O是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分別為AB(1)求證：平面PAC⊥平面PBD(2)若PE=3，求點(diǎn)B到平面PEM(3)若PE=3，求直線PB與平面PEM【變式11】3.（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A(1)證明：A1(2)已知AA1與BB1的距離為2，求

【變式11】4.（浙江省溫州市20222023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（A卷））“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為_(kāi)____________.

【變式11】5.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)M在正方體ABCD?A1B1C1D1A．13,63 B．13,題型2最小角定理求斜線和平面的夾角【方法總結(jié)】求線面角的關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進(jìn)而證明AH⊥平面α，從而證明H是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求線面角，也是常用的方法．【例題2】∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq\r(2)a，求OA與平面α所成的角．【變式21】1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ．【變式21】2．若直線l與平面α所成角為eq\f(π,3)，直線a在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))題型3向量法求斜線和平面所成的角【方法總結(jié)】求線面角的兩種思路（1）線面角轉(zhuǎn)化為線線角．根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉(zhuǎn)化為直線的夾角來(lái)求解，此時(shí)要注意兩直線夾角的取值范圍.（2）向量法．方法一：設(shè)直線PA的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線PA與平面α所成的角為θ（θ∈[0,π2]），α與n的夾角為φ，則sinθ=lcosφ|=方法二：設(shè)直線PA的方向向量為a，直線PA在平面α內(nèi)的投影的方向向量為b，則直線PA與平面α所成的角θ滿足cosθ=|cos<a，b>|【例題3】若正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D【變式31】1.（多選）（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖1是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為42A．GEB．點(diǎn)C的坐標(biāo)為?2,2,2C．O，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共面D．直線CE與直線DG所成角的余弦值為2【變式31】2．（河南省焦作市20222023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1(1)證明：BO//平面B(2)求直線AB與平面B1

【變式31】3．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1

(1)證明：AB⊥(2)若AC⊥AB1，∠CBB1【變式31】4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，AP⊥平面CDP(1)求證：平面ABCD⊥平面ADP(2)若Q是DP中點(diǎn)，求直線BP與平面BCQ所成角的正弦值．

【變式31】5．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：BD⊥(2)求直線BD與平面ACK所成角的正弦值．【變式31】6．（福建省漳州市2023屆高三第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PC⊥平面ABC，AC=3，PC=2BC=2，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，平面BEF與平面ABC的交線為

(1)在圖中作出交線BD（說(shuō)明畫(huà)法，不必證明），并求三棱錐D?(2)若點(diǎn)M滿足BM=12BD+λBPλ∈題型4探索性習(xí)題【例題4】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，求三棱錐B(2)當(dāng)2λ2+(3)當(dāng)λ+μ=1【變式41】1.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB

(1)求證：AC⊥平面BDE(2)求證：AC//平面DEF(3)求三棱錐C?(4)（ⅰ）求直線AC與平面CDE所成角的大?。唬áⅲ├釪E上是否存在點(diǎn)P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出DP【變式41】2.（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知ABFE是直角梯形，EF∥AB，∠ABF=90°，∠BAE=60°，C、D分別為BF、AE的中點(diǎn)，(1)證明：FN⊥(2)若M為AE上一點(diǎn)，且AMAE=λ，則當(dāng)λ

【變式41】3.（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形ABCD中，BC⊥CD，E為BC上一點(diǎn)，AE=BE=AD=2CD=2(1)若平面BCD∩平面ABE=l(2)點(diǎn)F是棱BE上一動(dòng)點(diǎn)，且直線BD與平面ADF所成角的正弦值為2211，求EF

【變式41】4.（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在底面ABCD為梯形的多面體中.AB∥CD，BC⊥CD，(1)