第2章等式與不等式（基礎(chǔ)典型易錯(cuò)新文化壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練

第2章等式與不等式（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、新文化、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海市通河中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則下列說(shuō)法中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】AD選項(xiàng)，舉出反例即可；BC選項(xiàng)，利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，，B正確；因?yàn)?，所以，，故，C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：B2．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一期中）若為非零實(shí)數(shù)，則下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A.如：，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.如都是負(fù)數(shù)，顯然不成立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.利用作差法證明該選項(xiàng)正確；D.異號(hào)顯然錯(cuò)誤.【詳解】解：A.錯(cuò)誤，如：，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.錯(cuò)誤，如都是負(fù)數(shù)，顯然不成立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.所以成立，所以該選項(xiàng)正確；D.錯(cuò)誤，異號(hào)顯然錯(cuò)誤.故選：C3．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】AB選項(xiàng)利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，CD選項(xiàng)舉出反例【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，所以，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，，時(shí)，不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故下列不等式中一定成立的是A故選：A4．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一期中）下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，則a2＞b2D．若a＞b，則【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可．【詳解】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時(shí)，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確．故選：C．5．（2021·上海市徐匯中學(xué)高一階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于ABC，舉例判斷即可，對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)判斷即可【詳解】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：D6．（2021·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）已知且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件得到，，無(wú)法判斷，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，?又因?yàn)?，?所以，，無(wú)法判斷.對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C7．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)于AB，利用不等式的性質(zhì)判斷即可，對(duì)于CD，舉例判斷【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于B，若，時(shí)，可得，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，所以D錯(cuò)誤，故選：A8．（2021·上海師大附中高一階段練習(xí)）已知都是實(shí)數(shù)，則下列命題中真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則； D．若，則【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)可判斷A，B；當(dāng)時(shí)可判斷C；利用不等式的性質(zhì)可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：若，，，則即，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：若，，則即，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若，，可得，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：若，則，所以，所以即，故選項(xiàng)D正確；故選：D.9．（2021·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，則一定有（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.【詳解】解：根據(jù)，有，由于，兩式相乘有，故選：A.二、填空題10．（2022·上海徐匯·高一期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為或，則b的值為______．【答案】2【分析】由題意可得1和是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可求出b的值【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為或，所以1和是方程的兩個(gè)根，所以，解得，故答案為：211．（2022·上海·同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期末）若，，則以、為根的一元二次方程可以是___________.（寫出滿足條件的一個(gè)一元二次方程即可）【答案】【分析】利用兩數(shù)和的完全平方公式得到，再利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出一個(gè)滿足條件的方程.【詳解】因?yàn)?，，所以，即該一元二次方程的兩根之和?，兩根之積為2，所以以、為根的一元二次方程可以是.12．（2021·上海市大同中學(xué)高一期中）關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求解，利用三角不等式求解即可.【詳解】關(guān)于的不等式有解，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，即，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）函數(shù)的最小值為____________.【答案】4【分析】利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解【詳解】由絕對(duì)值三角不等式得：所以函數(shù)的最小值是4故答案為：414．（2021·上海中學(xué)高一期中）不等式的解為_____________．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解．【詳解】因?yàn)?，所以原不等式的解為．故答案為：?5．（2021·上海市第二中學(xué)高一期中）設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是_______．【答案】【分析】對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】若異號(hào)，則，若，則，若，則，若同為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.若同為負(fù)數(shù)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.故答案為：16．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）已知實(shí)數(shù)?滿足，，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】求出即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故的取值范圍為.故答案為：17．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）不等式的解集是___________.【答案】【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.18．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【分析】將2代入不等式，解出即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.19．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為_________.【答案】【分析】將不等式因式分解，進(jìn)而解得答案.【詳解】由題意，，則不等式的解集為：.故答案為：.三、解答題20．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）比較下列兩組數(shù)的大小.（1）與；

（2）與.【答案】（1）；（2）.【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及因式分解，即可判斷代數(shù)式的大小關(guān)系.【詳解】（1），令，可知函數(shù)圖象開口向上且，∴恒成立，即.（2），∴，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.21．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。敬鸢浮?x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2【分析】?jī)墒阶鞑?，化為完全平方式可判斷符?hào)，從而判斷兩式的大小.【詳解】因?yàn)?x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝且z＝1時(shí)取到等號(hào)．22．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)根為x1、x2，證明：．【分析】先寫出韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理代入|x1x2|化簡(jiǎn)即得證.【詳解】由韋達(dá)定理得：x1+x2=，x1x2=，則|x1x2|=．所以原題得證.23．（2021·上海·高一專題練習(xí)）設(shè)，求關(guān)于的方程的解集．【答案】當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【分析】移項(xiàng)得，再分，兩種情況討論求解即可.【詳解】解:移項(xiàng)，得，當(dāng)時(shí)，，故解集為；當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，全體實(shí)數(shù)均可以，所以解集為．綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．24．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（1）2(x+1)3(x2)>8；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接合并同類項(xiàng)即可求解；（2）分別解兩個(gè)一次不等式，取公共部分即可得解.【詳解】（1）去括號(hào)，得2x+23x+6>8整理得，x>0，則x<0，所以解集為；（2）由原不等式組可得，解得，，所以不等式組的解集為.【典型】一、填空題1．（2021·上海市金山中學(xué)高一期中）不等式的解集是___________．【答案】【分析】移項(xiàng)通分化簡(jiǎn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式(組),注意分母不能為零，然后求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，化簡(jiǎn)得，又等價(jià)于，解得：，故答案為：.2．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）當(dāng)時(shí)，求的最小值為___________.【答案】10【分析】化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為10.故答案為：10.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．（2021·上海虹口·高一期末）不等式的解集為______.【答案】【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.4．（2021·上?！じ咭黄谥校┎坏仁降慕饧莀_____．【答案】或【分析】利用移項(xiàng)通分，轉(zhuǎn)化為整式不等式組，即得答案．【詳解】，，．．或，或．不等式的解集是或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.5．（2021·上海·高一單元測(cè)試）已知，，則______.【答案】【分析】求出集合、，然后利用交集的定義可求出集合.【詳解】解不等式，得，解得，則.解不等式，即，解得，則.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式和分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2021·上海虹口·高一期末）不等式的解集為______.【答案】【分析】解分式不等式即可得出該不等式的解集.【詳解】解不等式得，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．（2021·上?！じ咭黄谥校┮阎?，，則________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)不等式以及分式不等式的解法求解出對(duì)應(yīng)解集即為集合，然后由交集運(yùn)算計(jì)算出的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則.故答案為.【點(diǎn)睛】（1）解分式不等式注意將其先轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁降男问剑缓笤偾蠼饧?；?）解對(duì)數(shù)不等式時(shí)要注意到對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零這一隱含條件.8．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集是，則______．【答案】【分析】利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到和的值，得到答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以關(guān)于的方程的解是，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.二、解答題9．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解關(guān)于的不等式：．【分析】根據(jù)條件得，討論與的大小,求解即可.【詳解】原不等式可化為，討論與的大?。?）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為；（3）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為或.10．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）解不等式組：.【答案】【分析】將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組求解；將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，并注意分母不為零求解；然后取交集得到原不等式組的解集.【詳解】由得，即；由得，即,等價(jià)于，解得或；∴原不等式組的解集為,故答案為：.【易錯(cuò)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知m、n是非零常數(shù)，不等式m（x+1）（x﹣3）≥0的解集為A，不等式n（x+1）（x﹣3）＞0的解集為B，則“mn＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義、一元二次不等式的解法以及集合并集的運(yùn)算進(jìn)行分析求解即可．【解答】解：①當(dāng)mn＜0時(shí)，若m＜0，則n＞0，此時(shí)A＝[﹣1，3]，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），所以A∪B＝R；當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，此時(shí)A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），B＝（﹣1，3），所以A∪B＝R，所以“mn＜0”是“A∪B＝R”的充分條件；②當(dāng)A∪B＝R時(shí)，若m＜0，此時(shí)A＝[﹣1，3]，當(dāng)n＜0時(shí)，B＝（﹣1，3），不滿足題意，當(dāng)n＞0時(shí)，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），符合題意，此時(shí)mn＜0；若m＞0，此時(shí)A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），當(dāng)n＞0時(shí)，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），不符合題意；當(dāng)n＜0時(shí)，B＝（﹣1，3），滿足題意，此時(shí)mn＜0；所以“mn＜0”是“A∪B＝R”的必要條件．綜上所述，“mn＜0”是“A∪B＝R”的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，一元二次不等式的解法，集合之間關(guān)系的運(yùn)用問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．2．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x，y，z∈（0，+∞），a＝x+，b＝y(tǒng)+，c＝z+，則a，b，c三數(shù)（）A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2【分析】將三個(gè)式子相加，構(gòu)造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，從而推出a，b，c的范圍．【解答】解：∵a+b+c＝x++y++z+≥6，∴a，b，c至少有一個(gè)不小于2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】基本不等式是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，應(yīng)用基本不等式時(shí)，要熟練掌握不等式成立的條件與重要不等式的變形．3．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列各組不等式，同解的一組是（）A．x2﹣2x＜3與 B．（x+3）x2＞（2x+1）x2與x+3＞2x+1 C．與x+1＞0 D．x2+4x＞2與【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，x＝1是不等式x2﹣2x＜3的解，不是的解，故不同解，同理排除選項(xiàng)B，C；對(duì)于選項(xiàng)D，可化為，結(jié)合（﹣1）2+4（﹣1）＜2知，等價(jià)于x2+4x＞2．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，x＝1是不等式x2﹣2x＜3的解，不是的解，故不同解，對(duì)于選項(xiàng)B，x＝0是不等式x+3＞2x+1的解，不是（x+3）x2＞（2x+1）x2的解，故不同解，對(duì)于選項(xiàng)C，x＝3是不等式x+1＞0的解，不是的解，故不同解，對(duì)于選項(xiàng)D，∵，∴，又∵（﹣1）2+4（﹣1）＜2，∴等價(jià)于x2+4x＞2，故不等式x2+4x＞2與同解；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法應(yīng)用，重點(diǎn)考查了分式不等式的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．4．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)≥1【分析】此題為恒成立問題，若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，則a一定大于等于|x﹣4|﹣|x﹣3|的最大值，再把|x﹣4|﹣|x﹣3|看作函數(shù)解析式，利用圖象求出值域，找到最大值即可．【解答】解：設(shè)f（x）＝|x﹣4|﹣|x﹣3|，去絕對(duì)值符號(hào)，得f（x）＝，畫出圖象，如右圖，根據(jù)圖象，可知函數(shù)的值域?yàn)閇0，1]∵不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，∴a大于等于f（x）的最大值，即a≥1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了恒成立問題的解法，其中用到了圖象法求函數(shù)的值域．二．填空題（共8小題）5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）不等式＜1的解集為．【分析】首先移項(xiàng)通分，等價(jià)變形為整式不等式解之【解答】解：原不等式等價(jià)于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集為（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案為：（1，+∞）∪（﹣∞，0）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法；關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化為整式不等式解之．6．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的不等式ax+b＞0的解集為（﹣∞，1），則關(guān)于x的不等式＞0的解集為．【分析】由條件可得a+b＝0（a＜0），再將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，即可求得解集．【解答】解：由x的不等式ax+b＞0的解集為（﹣∞，1），可得a+b＝0（a＜0），即b＝﹣a，關(guān)于x的不等式＞0即為＞0，即有＞0，即為（x+1）（x+2）＞0，解得x＞﹣1或x＜﹣2．則解集為（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含參不等式的解法，主要考查分式不等式的解法，注意轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，以及方程和不等式的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．7．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的不等式2x2+x﹣1＜0的解集為．【分析】利用因式分解化2x2+x﹣1＜0為（2x﹣1）（x+1）＜0即可．【解答】解：2x2+x﹣1＜0可化為（2x﹣1）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜，故不等式的解集為（﹣1，）．故答案為：（﹣1，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次不等式的解法及化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2021秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，則不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．【分析】解一元二次不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，再根據(jù)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，即可求出x的取值范圍．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0可化為（2[x]﹣3）（2[x]﹣7）＜0，解得＜[x]＜，又[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，所以[x]＝2或3，所以2≤x＜4，即不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是{x|2≤x＜4}．故答案為：{x|2≤x＜4}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法以及對(duì)新定義的理解能力，是基礎(chǔ)題．9．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）如果關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】先求表達(dá)式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值，要求解集不是空集時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，只要a大于表達(dá)式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可．【解答】解：|x﹣3|+|x﹣4|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和4的距離之和，當(dāng)x在3、4之間時(shí)，這個(gè)距離和最小，是1．其它情況都大于1，所以|x﹣3|+|x﹣4|≥1，如果不是空集，所以a＞1，故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的幾何意義，是基礎(chǔ)題．10．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)y＝a2﹣x+1（a＞0且a≠1）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線mx+ny﹣2＝0（mn＞0）上，則的最小值為．【分析】由題意得方程，從而確定2m+2n﹣2＝0，化簡(jiǎn)＝（）（m+n）＝++3，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝a2﹣x+1（a＞0且a≠1）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，∴，解得x＝2，y＝2，故點(diǎn)P（2，2），則2m+2n﹣2＝0，所以m+n＝1（mn＞0），所以＝（）（m+n）＝++3≥2+3，（當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝﹣1，n＝2﹣時(shí)，等號(hào)成立），故答案為：2+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)、直線方程及基本不等式，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法及轉(zhuǎn)化法，屬于中檔題．11．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知不等式＜0解集為A，且2∈A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】由題意知＜0，轉(zhuǎn)化為（2+a）（a﹣2）＞0，從而求得．【解答】解：由題意知，＜0，即（2+a）（a﹣2）＞0，解得a＞2或a＜﹣2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞2或a＜﹣2}，故答案為：{a|a＞2或a＜﹣2}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）不等式kx2﹣kx﹣1＜0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【分析】討論k與0的關(guān)系，分別求出表達(dá)式恒成立的k的范圍；k≠0，不等式kx2﹣kx﹣1＜0恒成立等價(jià)于，解得k的范圍．【解答】解：①k＝0時(shí)原表達(dá)式為﹣1＜0成立；②k≠0，不等式kx2﹣kx﹣1＜0恒成立等價(jià)于，解得﹣4＜k＜0；綜上k的取值范圍為﹣4＜k≤0；故答案為：（﹣4，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了表達(dá)式恒成立時(shí)參數(shù)范圍的取值；關(guān)鍵是討論二次項(xiàng)系數(shù)與0的關(guān)系．三．解答題（共2小題）13．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，2），求a，b的值；（2）當(dāng)b＝1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）由不等式f（x）＜0的解集得出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a、b的值；（2）b＝1時(shí)不等式可化為（x﹣a）（x﹣1）＞0，討論a與1的大小，從而求出不等式的解集．【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+b）x+a，不等式f（x）＜0化為x2﹣（a+b）x+a＜0，由不等式的解集為（1，2），所以方程x2﹣（a+b）x+a＝0的兩根為1和2，由根與系數(shù)的關(guān)系知：，解得a＝2，b＝1；（2）b＝1時(shí)不等式f（x）＞0可化為x2﹣（a+1）x+a＞0，即（x﹣a）（x﹣1）＞0；當(dāng)a＞1時(shí)，解不等式得x＜1或x＞a；當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式得x≠1；當(dāng)a＜1時(shí)，解不等式得x＜a或x＞1．所以a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1或x＞a}；a＝1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}；a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜a或x＞1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若不等式5﹣x＞7|x+1|與不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集為空集，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【分析】先將“不等式5﹣x＞7|x+1|”轉(zhuǎn)化為和兩種情況求解，最后取并集，再由“與不等式ax2+bx﹣2＞0同解”，利用韋達(dá)定理求得a，b，最后由“|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集為空集”求得“|x﹣a|+|x﹣b|”最小值即可．【解答】解：得或得﹣2＜x＜﹣1（3分）綜上不等式的解集為，又由已知與不等式ax2+bx﹣2＞0同解，所以解得（7分）則|x﹣a|+|x﹣b|≥|x﹣a﹣x+b|＝|b﹣a|＝5，所以當(dāng)|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解為空集時(shí)，k＜5．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程根的關(guān)系，以及不等式恒成立問題．【新文化】一、單選題1．（2021·上海交大附中高一開學(xué)考試）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱，某顧客要購(gòu)買，售貨員先將的砝碼放在左盤，將放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?所以這樣可知稱出的質(zhì)量大于.故選：A2．（2018·上海市金山中學(xué)高一期中）三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為“（

）”的幾何解釋.A．如果，那么B．如果，那么C．對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D．對(duì)任意正實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立【答案】C【分析】可將直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度取作，斜邊為，可得外圍的正方形的面積為，也就是，四個(gè)陰影面積之和剛好為，可得對(duì)任意正實(shí)數(shù)和，有，即可得出.【詳解】可將直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度取作，斜邊為，則外圍的正方形的面積為，也就是，四個(gè)陰影面積之和剛好為，對(duì)任意正實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，結(jié)合勾股定理，利用直角三角形的面積公式，得到其對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而可以得到在什么情況下取得等號(hào).二、填空題3．（2021·上海閔行·高一期末）垃圾分類可以提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益，某地街道呈現(xiàn)東西，南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若以互相垂直的兩條街道為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)，，，，，為垃圾回收點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除回收點(diǎn)外）________為垃圾集中回收站，使這6個(gè)回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最短【答案】【解析】首先表示橫軸和縱軸方向的距離和，再根據(jù)含絕對(duì)值三角不等式求最值.【詳解】設(shè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)含絕對(duì)值三角式可知橫軸方向距離和，，此時(shí)的最小值是14，此時(shí)三個(gè)等號(hào)成立的條件是，所以時(shí)，的最小值是，縱軸方向的距離和，此時(shí)的最小值是9，三個(gè)等號(hào)成立的條件是，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)格點(diǎn)位置是，是垃圾回收點(diǎn)，舍去，所以，此時(shí)格點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是具有實(shí)際應(yīng)用背景的習(xí)題，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，并能轉(zhuǎn)化為橫軸距離和縱軸距離，利用含絕對(duì)值三角不等式求最值.【壓軸】一、單選題1．（2020·上?！とA東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)關(guān)于的方程的解集都不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程不同的解的個(gè)數(shù)可為0,1,2,3,4.若有4個(gè)不同解，則可根據(jù)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱性知道4個(gè)不同的解中，有兩個(gè)的解的和與余下兩個(gè)解的和相等，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)關(guān)于的方程有兩根，即或.而的圖象關(guān)于對(duì)稱，因而或的兩根也關(guān)于對(duì)稱．而選項(xiàng)D中.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于形如的方程（常稱為復(fù)合方程），通過(guò)的解法是令，從而得到方程組，考慮這個(gè)方程組的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取決于兩個(gè)函數(shù)的圖像特征.2．（2021·上海市控江中學(xué)高一期末）設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．（2020·上海市金山中學(xué)高一期中）已知，，若，則對(duì)此不等式描述正確的是A．若，則至少存在一個(gè)以為邊長(zhǎng)的等邊三角形B．若，則對(duì)任意滿足不等式的都存在以為邊長(zhǎng)的三角形C．若，則對(duì)任意滿足不等式的都存在以為邊長(zhǎng)的三角形D．若，則對(duì)滿足不等式的不存在以為邊長(zhǎng)的直角三角形【答案】B【詳解】本題可用排除法，由，對(duì)于，若，可得，故不存在這樣的錯(cuò)誤，排除；對(duì)于時(shí)，成立，而以為邊的三角形不存在，錯(cuò)誤，排除；對(duì)于時(shí)，成立，存在以為邊的三角形為直角三角形，故錯(cuò)誤，排除故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)、排除法解選擇題，屬于難題.用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:(1)求值問題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和公式問題等等.二、填空題4．（2021·