專題26螞蟻爬行最短型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

26螞蟻爬行最短型一、單選題1．如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問(wèn)：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm．A．5 B．5π C．3+ D．3+【答案】A【詳解】解：把圓柱體沿著直線剪開(kāi)，得到矩形如下：則線段的長(zhǎng)度為所求的最短距離.由題意得圓柱的高為：底面半徑為，所以螞蟻至少要爬行路程才能吃到食物.故選：A2．如圖，長(zhǎng)方體的高為，底面是邊長(zhǎng)為的正方形一只螞蟻從頂點(diǎn)開(kāi)始爬向頂點(diǎn)，那么它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：①如圖，將長(zhǎng)方體的正面和上面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，則AD=6dm，BD=6+9=15dm，；②如圖，將長(zhǎng)方體的正面和右面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，AC=6+6=12dm，BC=9dm，；③將長(zhǎng)方體的上面和左面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，則DE=6dm，BE=6+9=15dm，；∵，所以螞蟻爬行的最短路程為15dm．故選：C．3．如圖，有一圓柱，其高為8cm，它的底面周長(zhǎng)為16cm，在圓柱外側(cè)距下底1cm的A處有一只螞蟻，它想得到距上底1cm的B處的食物，則螞蟻經(jīng)過(guò)的最短距離為（

）A．10cm B．12cm C．15cm D．8cm【答案】A【詳解】解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，螞蟻經(jīng)過(guò)的最短距離為線段AB的長(zhǎng)．由勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+（811）2=100，∴AB=10cm．故選A．4．如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為16，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S，則移動(dòng)的最短距離為（）A．10 B．12 C．14 D．20【答案】A【詳解】解：沿著S所在的母線展開(kāi)，如圖，連接AS，則AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，在Rt△ABS中，根據(jù)勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10．∵A，S兩點(diǎn)之間線段AS最短，∴點(diǎn)A到點(diǎn)S移動(dòng)的最短距離為AS＝10cm．故選：A．5．如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無(wú)蓋）內(nèi)的點(diǎn)處有一滴糖漿，容器外點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)距底部，請(qǐng)問(wèn)螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：沿著上面的棱將A點(diǎn)翻折至處，則新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高依次為，，，若螞蟻的行走路線為后壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和前壁，則最短路徑為：，∵，∴最短路徑為：．故選：B．6．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別是，A和B是這個(gè)臺(tái)階相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到B處去吃食物，則這只螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選：A．7．如圖所示，圓柱的高AB＝3，底面直徑BC＝6，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱側(cè)面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A．3 B．6 C．9 D．6【答案】A【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD＝3π，所以AC=，故選：A．8．如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝，高BC＝12cm，P為BC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到點(diǎn)的最短距離為A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】B【詳解】解：如圖：展開(kāi)后線段的長(zhǎng)度是圓柱中半圓的周長(zhǎng)，圓柱底面直徑、高，為的中點(diǎn)，，在中，，螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離為，故選：．9．如圖，一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角頂點(diǎn)G處，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，則最短的爬行距離是（）A．10 B．14 C． D．【答案】A【詳解】把長(zhǎng)方體展開(kāi)有三種情況：當(dāng)蜘蛛從A出發(fā)到EF上再到G時(shí)，如下圖所示，，，在中，；當(dāng)蜘蛛從A出發(fā)到BF上再到G時(shí)，如下圖所示，，，，，在中，，當(dāng)蜘蛛從A出發(fā)到EH上再到G時(shí)，如下圖所示，，∴AF=9cm，在中，，．故選：A．10．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm，寬為15cm，高為10cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（

）A．cm B．25cm C．cm D．16cm【答案】B【詳解】把上面展開(kāi)到左側(cè)面上，連結(jié)AB，如圖1，AB＝（cm）把上面展開(kāi)到正面上，連結(jié)AB，如圖2，AB＝（cm）；把側(cè)面展開(kāi)到正面上，連結(jié)AB，如圖3，AB＝（cm）．∵＞＞25所以一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離為25cm．故選：B．11．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（

）A． B．25 C． D．35【答案】B【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：∴；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：∴；∵，∴螞蟻爬行的最短距離是25，故選：B．12．如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)P，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是（

）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【詳解】把圓柱沿著點(diǎn)A所在母線展開(kāi)，如圖所示，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B，連接PB，則PB為所求，根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理，得PB=10，故選B.13．圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8，寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為2，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB=；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴AC=CD+AD=6+10=16，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=；∵，∴螞蟻爬行的最短距離是，故選：A．14．如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm【答案】A【詳解】解：沿過(guò)A的圓柱的高剪開(kāi)，得出矩形EFGH，過(guò)C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP＋PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm?4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故選：A．二、填空題15．如圖，圓錐的底面圓直徑為，母線長(zhǎng)為，若小蟲(chóng)從點(diǎn)開(kāi)始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短距離為．【答案】【詳解】把圓錐的側(cè)面展開(kāi)，弧長(zhǎng)是2πr=2π，母線AS=4，側(cè)面展開(kāi)的圓心角，n=90o即∠ASC=90o，C為SD的中點(diǎn)SD=4，線段AC是小蟲(chóng)爬行的最短距離，在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，故答案為：．16．如圖，圓柱形容器外壁距離下底面3cm的A處有一只螞蟻，它想吃到正對(duì)面外壁距離上底面3cm的B處的米粒，若圓柱的高為12cm，底面周長(zhǎng)為24cm．則螞蟻爬行的最短距離為．【答案】【詳解】如圖，將圓柱形容器側(cè)面展開(kāi)，連接AB，則AB即為最短距離.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=cm，BC=1233=6cm，(cm)，即螞蟻從外壁A到達(dá)外壁B處的最短距離為cm.故答案為：6cm.17．如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為m的半圓，其邊緣AB＝CD＝15m，點(diǎn)E在CD上，CE＝3m，一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為m．（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)）【答案】20【詳解】解：如圖是其側(cè)面展開(kāi)圖：AD==16（m），AB=CD=15m．DE=CDCE=153=12（m），在Rt△ADE中，AE=（m）．故他滑行的最短距離約為20m．故答案為：20．18．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．

【答案】【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1：

長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2：

長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3：

長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；；螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．19．如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長(zhǎng)為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點(diǎn)B處有一蚊子．此時(shí)，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m．【答案】1【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B為最短距離．由題意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，∴BD＝0.90.3+0.2=0.8m，∴A′B＝＝＝1（m）．故答案為：1．20．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方體木箱，點(diǎn)Q在上底面的棱上，，一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路程為．【答案】10【詳解】解：將正方體上表面展開(kāi)，如圖所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ＝＝＝10．∴螞蟻爬行的最短路程10．故答案為：10．21．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm．【答案】15【詳解】解：沿過(guò)的圓柱的高剪開(kāi)，得出矩形，過(guò)作于，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，則就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，，，，，，在△中，由勾股定理得：，故答案為：15．22．如圖，一只螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從頂點(diǎn)A爬到另一頂點(diǎn)M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．這只螞蟻爬行的最短距離．【答案】5【詳解】解：如圖1，將長(zhǎng)方體沿CB展開(kāi)，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體右側(cè)表面爬到M點(diǎn)，則，如圖2，將長(zhǎng)方體沿ND展開(kāi)，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體左側(cè)面爬到M點(diǎn)，則，如圖3，將長(zhǎng)方體沿DC展開(kāi)，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體上側(cè)面爬到M點(diǎn)，則，比較以上三種情況，一只螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)M，那么這只螞蟻爬行的最短距離是5．故答案為：5．23．如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短距離為．【答案】10【詳解】如圖所示，將其展開(kāi)，∵在圓柱的截面ABCD中：，，∴，，將其展開(kāi)可得如下的矩形，在中，∴．故答案為：10．三、解答題24．如圖，有一個(gè)高為，底面周長(zhǎng)為的圓柱形水桶，水桶的底端處有一只螞蟻，它準(zhǔn)備沿水桶的側(cè)面爬行到對(duì)角處去吃一滴蜂蜜，求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)．【答案】螞蚊爬行的最短路線長(zhǎng)為．【詳解】解：水桶的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．由題