破繭成蝶：基于問題表征解鎖高中數(shù)學創(chuàng)新題密碼

破繭成蝶：基于問題表征解鎖高中數(shù)學創(chuàng)新題密碼一、緒論1.1研究背景數(shù)學作為高中教育階段的核心學科之一，在培養(yǎng)學生邏輯思維、抽象思維和問題解決能力等方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用。高中數(shù)學教育的目標不僅是傳授數(shù)學知識，更重要的是通過系統(tǒng)的學習，培養(yǎng)學生的思維能力和綜合素養(yǎng)，為他們未來的學習、工作和生活奠定堅實的基礎。在高中數(shù)學學習中，學生需要掌握一系列復雜的數(shù)學概念、定理和公式，并學會運用它們解決各種類型的問題。這一過程要求學生具備較強的邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力。例如，在函數(shù)的學習中，學生需要理解函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像，能夠運用函數(shù)的思想方法解決實際問題，這就需要學生具備良好的邏輯思維能力和抽象概括能力。又如，在立體幾何的學習中，學生需要通過對空間圖形的觀察、分析和想象，掌握空間幾何體的性質(zhì)和計算方法，這對學生的空間想象能力提出了較高的要求。高考作為選拔性考試，旨在全面、準確地評估學生的知識水平和能力素養(yǎng)，為高校選拔合格的人才。創(chuàng)新題在高考數(shù)學中占據(jù)著重要地位，是高考數(shù)學命題的一大亮點。它通常以新穎的情境、獨特的設問方式出現(xiàn)，要求學生運用創(chuàng)新思維和綜合能力來解決問題。創(chuàng)新題的出現(xiàn)，不僅能夠考查學生對基礎知識的掌握程度，更能有效檢驗學生的思維能力、創(chuàng)新能力和應變能力，區(qū)分不同層次學生的水平，為高校選拔提供有力依據(jù)。近年來，高考數(shù)學創(chuàng)新題的比重逐漸增加，其題型和考查方式也日益多樣化。例如，新定義型創(chuàng)新題通過給出一個全新的數(shù)學概念或定義，要求學生在理解的基礎上運用新知識解決問題，考查學生的學習能力和知識遷移能力；數(shù)學史型創(chuàng)新題將數(shù)學史融入數(shù)學試題中，既考查學生對數(shù)學知識的掌握，又能讓學生感受數(shù)學文化的魅力，培養(yǎng)學生的數(shù)學文化素養(yǎng)；高觀點型創(chuàng)新題則以高等數(shù)學知識為背景，考查學生運用初等數(shù)學方法解決高等數(shù)學相關(guān)問題的能力，拓展學生的數(shù)學視野。這些創(chuàng)新題的出現(xiàn)，對學生的綜合素質(zhì)提出了更高的要求。1.2研究目的與意義本研究旨在深入剖析基于問題表征的高中數(shù)學創(chuàng)新題解題過程，揭示學生在解決創(chuàng)新題時的思維機制和認知規(guī)律，為提高學生的數(shù)學創(chuàng)新題解題能力提供理論支持和實踐指導。通過對學生問題表征過程的研究，明確影響學生解決創(chuàng)新題的關(guān)鍵因素，從而有針對性地提出教學改進策略，幫助教師優(yōu)化教學方法，提高教學質(zhì)量，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。具體來說，本研究具有以下重要意義：1.2.1理論意義本研究豐富和完善了高中數(shù)學問題解決的理論體系。以往關(guān)于高中數(shù)學問題解決的研究多集中于常規(guī)題型，對創(chuàng)新題的研究相對較少。本研究聚焦于創(chuàng)新題這一特殊題型，深入探討基于問題表征的解題過程，填補了該領(lǐng)域在創(chuàng)新題研究方面的不足，為后續(xù)相關(guān)研究提供了新的視角和思路。通過對學生問題表征方式、策略以及影響因素的研究，有助于深化對數(shù)學學習心理的認識，進一步揭示學生在數(shù)學學習過程中的思維特點和認知規(guī)律，為數(shù)學教育理論的發(fā)展提供實證依據(jù)。例如，研究學生在面對創(chuàng)新題時如何進行問題表征，能夠幫助我們更好地理解學生的數(shù)學思維過程，從而為數(shù)學教學提供更科學的理論指導。1.2.2實踐意義從學生角度來看，有助于提高學生的數(shù)學解題能力。通過研究，學生能夠了解問題表征在解決創(chuàng)新題中的重要作用，掌握有效的問題表征策略，學會如何從復雜的題目信息中提取關(guān)鍵要素，構(gòu)建合理的解題思路，從而提高解題效率和準確性。當學生面對新定義型創(chuàng)新題時，能夠運用恰當?shù)膯栴}表征策略，快速理解新定義的內(nèi)涵，將其與已有的知識體系建立聯(lián)系，進而解決問題。這不僅有助于提高學生在高考數(shù)學中的成績，更能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和綜合能力，為學生未來的學習和發(fā)展奠定堅實的基礎。從教師角度來說，為教師的教學提供指導。教師可以根據(jù)研究結(jié)果，深入了解學生在解決創(chuàng)新題時的思維障礙和困難所在，從而有針對性地調(diào)整教學內(nèi)容和方法。在教學過程中，教師可以加強對問題表征策略的訓練，引導學生學會運用多種表征方式來理解問題，提高學生的問題解決能力。教師可以通過創(chuàng)設多樣化的教學情境，讓學生在實際問題中運用問題表征策略，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和實踐能力。研究結(jié)果還可以幫助教師更好地設計教學活動和評價方式，關(guān)注學生的思維過程和學習需求，促進學生的全面發(fā)展。1.3研究方法與創(chuàng)新點1.3.1研究方法本研究綜合運用多種研究方法，以確保研究的科學性、全面性和深入性。文獻研究法：廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于高中數(shù)學問題解決、問題表征以及創(chuàng)新題的相關(guān)文獻，包括學術(shù)期刊論文、學位論文、教育專著等。通過對這些文獻的梳理和分析，了解已有研究的現(xiàn)狀和不足，明確本研究的切入點和方向，為本研究提供堅實的理論基礎。在梳理文獻過程中，發(fā)現(xiàn)當前關(guān)于高中數(shù)學創(chuàng)新題的研究多集中在題型分析和解題技巧上，而從問題表征角度深入研究解題過程的文獻相對較少，這為本研究的開展提供了方向。案例分析法：選取典型的高中數(shù)學創(chuàng)新題，對學生的解題過程進行詳細分析。收集學生在解決創(chuàng)新題時的書面解答、解題思路闡述等資料，深入剖析學生在問題表征、解題策略選擇等方面的表現(xiàn)，挖掘其中存在的問題和規(guī)律。通過對具體案例的分析，能夠更直觀地了解學生在解決創(chuàng)新題時的思維過程，為提出針對性的教學建議提供依據(jù)。例如，在分析新定義型創(chuàng)新題的案例時，發(fā)現(xiàn)學生在理解新定義的內(nèi)涵和外延方面存在困難，導致問題表征不準確，從而影響解題思路的構(gòu)建。調(diào)查研究法：采用問卷調(diào)查和訪談的方式，對高中學生和教師進行調(diào)查。設計針對學生的問卷，了解他們在解決創(chuàng)新題時的問題表征方式、解題習慣、學習困難等情況；針對教師的問卷，則主要了解他們對創(chuàng)新題的教學方法、對學生問題表征能力培養(yǎng)的重視程度等。通過訪談，進一步深入了解學生和教師的想法和觀點，獲取更豐富的信息。對教師的訪談中了解到，部分教師在教學中雖然意識到問題表征的重要性，但缺乏有效的教學策略來培養(yǎng)學生的這一能力。通過對調(diào)查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和分析，能夠全面了解高中數(shù)學創(chuàng)新題解決的現(xiàn)狀，為研究提供有力的數(shù)據(jù)支持。1.3.2創(chuàng)新點本研究在研究視角和研究內(nèi)容上具有一定的創(chuàng)新之處。研究視角創(chuàng)新：從問題表征的多維度視角出發(fā)，深入研究高中數(shù)學創(chuàng)新題的解決過程。以往研究多從單一角度探討解題方法，而本研究綜合考慮語言表征、圖形表征、符號表征等多種表征方式對解題的影響，全面分析學生在不同表征方式下的思維特點和解題策略，為高中數(shù)學創(chuàng)新題的研究提供了全新的視角。通過研究發(fā)現(xiàn)，不同表征方式之間存在相互作用和轉(zhuǎn)換，學生能夠靈活運用多種表征方式，有助于提高解題效率和準確性。研究內(nèi)容創(chuàng)新：將問題表征策略與高中數(shù)學創(chuàng)新題的具體類型相結(jié)合，深入探討針對不同類型創(chuàng)新題的有效問題表征策略。針對新定義型、數(shù)學史型、高觀點型等創(chuàng)新題，分別研究學生在問題表征過程中存在的問題和應對策略，為教師的教學和學生的學習提供更具針對性的指導。在研究新定義型創(chuàng)新題時，提出引導學生通過類比、舉例等方式來準確理解新定義，構(gòu)建有效的問題表征，從而提高解題能力。這種深入細致的研究內(nèi)容，在以往的相關(guān)研究中較為少見，豐富了高中數(shù)學創(chuàng)新題研究的內(nèi)涵。二、核心概念與理論基礎2.1高中數(shù)學創(chuàng)新題概述2.1.1創(chuàng)新題的界定高中數(shù)學創(chuàng)新題是相對于傳統(tǒng)題型而言的，它突破了常規(guī)的命題模式和解題思路，具有獨特的創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性。這類題目通常以新穎的情境、獨特的設問方式或全新的知識載體呈現(xiàn)，要求學生運用創(chuàng)新思維和綜合能力來解決。與傳統(tǒng)題型相比，創(chuàng)新題更注重考查學生的思維能力、創(chuàng)新能力和知識遷移能力，強調(diào)對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。創(chuàng)新題的創(chuàng)新性體現(xiàn)在多個方面。在情境創(chuàng)設上，它常常引入生活實際、科技前沿、數(shù)學史等素材，使題目具有濃厚的時代氣息和現(xiàn)實意義，打破了傳統(tǒng)數(shù)學題目的抽象性和單調(diào)性。在知識運用上，創(chuàng)新題往往要求學生將不同數(shù)學知識模塊進行整合，甚至涉及跨學科知識的融合，考查學生對知識的綜合運用能力。在思維方式上，創(chuàng)新題鼓勵學生突破常規(guī)思維，運用發(fā)散思維、逆向思維、類比思維等進行解題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。例如，以人工智能中的算法原理為背景設計的數(shù)學創(chuàng)新題，要求學生運用數(shù)學知識對算法的效率、復雜度等進行分析和計算，既考查了學生的數(shù)學知識，又拓寬了學生的科技視野。這種將數(shù)學與科技前沿相結(jié)合的題目，體現(xiàn)了創(chuàng)新題的新穎性和綜合性。2.1.2創(chuàng)新題的類型與特點高中數(shù)學創(chuàng)新題類型豐富多樣，根據(jù)不同的分類標準，可以分為多種類型。從題目所涉及的數(shù)學知識領(lǐng)域來看，創(chuàng)新題可以涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)、概率統(tǒng)計等多個領(lǐng)域。從命題形式和考查方式的角度，創(chuàng)新題主要包括應用型、探究型、開放型等類型。應用型創(chuàng)新題通常以實際生活中的問題為背景，將數(shù)學知識與實際情境緊密結(jié)合，考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。這種類型的題目能夠讓學生深刻體會到數(shù)學的實用性和價值，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。例如，以城市交通規(guī)劃中的道路流量優(yōu)化問題為背景，設計線性規(guī)劃相關(guān)的應用型創(chuàng)新題，學生需要根據(jù)題目所提供的交通流量數(shù)據(jù)、道路通行能力等信息，建立數(shù)學模型，求解最優(yōu)的交通流量分配方案。通過解決這類問題，學生不僅能夠鞏固線性規(guī)劃的知識，還能提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。探究型創(chuàng)新題注重引導學生自主探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生的探究精神和創(chuàng)新能力。這類題目通常不會直接給出明確的結(jié)論或解題思路，而是要求學生通過觀察、實驗、歸納、類比等方法，主動探索問題的答案。在探究過程中，學生需要運用批判性思維和創(chuàng)造性思維，對問題進行深入分析和思考。以探究數(shù)列通項公式的規(guī)律為例，題目給出一組數(shù)列的前幾項，要求學生通過觀察、分析，嘗試找出數(shù)列的通項公式，并證明自己的結(jié)論。學生在探究過程中，需要運用數(shù)學歸納法、類比推理等方法，不斷嘗試和驗證，從而培養(yǎng)自己的探究能力和創(chuàng)新思維。開放型創(chuàng)新題具有開放性的特點，答案不唯一或解題方法多樣。這類題目鼓勵學生從不同角度思考問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。在解題過程中，學生可以根據(jù)自己的知識儲備和思維方式，選擇不同的解題策略，展現(xiàn)自己的個性和創(chuàng)造力。例如，在立體幾何中，給出一個幾何體的部分條件，要求學生添加適當?shù)臈l件，使該幾何體成為一個特定的幾何體（如正方體、正三棱錐等），并計算其相關(guān)的幾何量。學生可以通過不同的條件添加方式，得到不同的幾何體，從而運用不同的幾何知識進行求解，充分發(fā)揮自己的思維能力和創(chuàng)新精神。高中數(shù)學創(chuàng)新題具有以下顯著特點：情境新穎：創(chuàng)新題往往以獨特的情境為背景，這些情境可能是學生從未接觸過的，或者是對傳統(tǒng)數(shù)學情境的創(chuàng)新改編。這就要求學生具備較強的閱讀理解能力和信息提取能力，能夠從陌生的情境中準確理解題意，提取關(guān)鍵信息，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。思維開放：創(chuàng)新題鼓勵學生運用多種思維方式進行解題，不局限于傳統(tǒng)的解題思路和方法。學生需要具備發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)造性思維等，敢于突破常規(guī)，從不同角度思考問題，尋找解題的切入點。這種思維的開放性有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。知識綜合：創(chuàng)新題常常涉及多個數(shù)學知識模塊的綜合運用，甚至可能融合其他學科的知識。這就要求學生具備扎實的數(shù)學基礎知識，能夠建立不同知識之間的聯(lián)系，形成完整的知識體系，從而靈活運用知識解決復雜的問題。以一道融合物理知識的數(shù)學創(chuàng)新題為例，題目以物體的運動軌跡為背景，要求學生運用函數(shù)、導數(shù)等數(shù)學知識，分析物體的運動速度、加速度等物理量的變化情況。這道題不僅考查了學生的數(shù)學知識，還涉及到物理學科的運動學知識，體現(xiàn)了創(chuàng)新題的知識綜合性。能力導向：創(chuàng)新題的主要目的是考查學生的綜合能力，包括邏輯思維能力、抽象概括能力、空間想象能力、問題解決能力等。通過解決創(chuàng)新題，能夠全面評估學生的數(shù)學素養(yǎng)和能力水平，為高校選拔人才提供重要依據(jù)。2.2問題表征理論2.2.1問題表征的概念問題表征是解題者在解決問題過程中，對問題信息進行理解、分析、整合，并在頭腦中構(gòu)建出問題結(jié)構(gòu)和意義的心理過程。它是將外部問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，涉及對問題的語言理解、符號轉(zhuǎn)化、圖形構(gòu)建等多種形式。當學生面對一道高中數(shù)學創(chuàng)新題時，首先需要對題目中的文字信息進行解讀，理解題目的條件和要求，這是語言表征的過程；接著，可能會將題目中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學符號表示出來，進行符號表征；對于一些幾何相關(guān)的問題，還會在腦海中構(gòu)建圖形或者畫出草圖，進行圖形表征。不同的表征方式可以幫助學生從不同角度理解問題，為尋找解題思路奠定基礎。問題表征的形式豐富多樣，主要包括語言表征、符號表征和圖形表征。語言表征是指用文字語言對問題進行描述和理解，它是最基礎的表征方式，幫助學生初步把握問題的情境和要求。符號表征則是運用數(shù)學符號、公式、方程等來表示問題中的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，具有簡潔、準確的特點，能夠?qū)碗s的問題抽象化，便于進行數(shù)學運算和推理。圖形表征通過繪制圖形、圖表、圖像等方式，將問題中的信息直觀地呈現(xiàn)出來，有助于學生利用空間想象能力和幾何直觀來理解問題，發(fā)現(xiàn)問題中的隱含關(guān)系。在解決函數(shù)問題時，學生可以通過分析函數(shù)的表達式進行符號表征，同時畫出函數(shù)的圖像進行圖形表征，結(jié)合兩者來深入理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。通過多種表征方式的綜合運用，學生能夠更全面、深入地理解問題，提高解題的效率和準確性。2.2.2問題表征的過程與層次問題表征是一個復雜的認知過程，通常包括多個層次和階段。首先是字面理解階段，解題者需要對題目中的文字信息進行逐字逐句的解讀，明確問題中所給出的條件、已知信息和所求目標。這一階段要求學生具備良好的閱讀理解能力，能夠準確識別關(guān)鍵信息，排除干擾信息。在閱讀一道數(shù)學創(chuàng)新題時，學生要注意題目中的數(shù)字、關(guān)鍵詞、限制條件等，理解每個語句的含義，為后續(xù)的分析奠定基礎。對于“已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x)，且f(1)=1，求f(5)的值”這樣的題目，學生需要準確理解函數(shù)的遞推關(guān)系和初始條件，這就是字面理解階段的任務。其次是深層理解階段，解題者需要在字面理解的基礎上，進一步挖掘問題中所蘊含的數(shù)學關(guān)系、原理和規(guī)律。這要求學生具備一定的數(shù)學知識儲備和思維能力，能夠?qū)⒁阎畔⑴c已有的知識經(jīng)驗建立聯(lián)系，對問題進行深入分析。在上述函數(shù)問題中，學生需要理解函數(shù)的遞推關(guān)系所反映的函數(shù)值的變化規(guī)律，聯(lián)想到等比數(shù)列的相關(guān)知識，認識到該函數(shù)的函數(shù)值構(gòu)成了一個等比數(shù)列，從而找到解決問題的方向。在深層理解階段，學生還需要對問題進行分類和歸納，判斷問題所屬的數(shù)學類型，以便選擇合適的解題方法和策略。最后是形成解題思路階段，解題者在對問題進行全面、深入的表征后，開始嘗試構(gòu)建解決問題的思路和方法。這一階段需要學生運用邏輯思維、創(chuàng)造性思維等，對問題進行多角度思考，提出假設和猜想，并通過推理、驗證等方式確定最終的解題方案。在形成解題思路的過程中，學生可能會嘗試不同的方法和策略，不斷調(diào)整和優(yōu)化自己的思維過程。對于一些復雜的數(shù)學創(chuàng)新題，可能需要綜合運用多種方法，如代數(shù)方法、幾何方法、數(shù)學建模等，才能找到有效的解題途徑。例如，在解決一道關(guān)于幾何圖形的創(chuàng)新題時，學生可能需要先通過圖形表征，觀察圖形的特征和性質(zhì)，然后結(jié)合代數(shù)方法，建立方程或不等式來求解問題。2.2.3問題表征對數(shù)學解題的重要性問題表征在數(shù)學解題中起著至關(guān)重要的作用，它是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，直接影響著解題的方向和效率。準確的問題表征能夠幫助學生快速找到解題的切入點。通過對問題的全面理解和深入分析，學生可以明確問題的核心和關(guān)鍵所在，從而有針對性地選擇解題方法和策略。當面對一道新定義型創(chuàng)新題時，如果學生能夠準確理解新定義的內(nèi)涵和外延，將其與已有的知識體系進行有效關(guān)聯(lián)，就能迅速找到解題的突破口，順利解決問題。如果問題表征不準確，學生可能會對問題產(chǎn)生誤解，導致解題方向錯誤，浪費大量時間和精力。若將問題中的條件或要求理解錯誤，可能會選擇不恰當?shù)慕忸}方法，最終無法得出正確答案。問題表征還能夠幫助學生優(yōu)化解題思路，提高解題效率。不同的表征方式可以從不同角度展示問題的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，學生通過多種表征方式的綜合運用，可以更加全面地把握問題，發(fā)現(xiàn)更簡潔、高效的解題方法。在解決函數(shù)與幾何結(jié)合的問題時，同時運用符號表征和圖形表征，能夠?qū)⒑瘮?shù)的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形的直觀特征相結(jié)合，使問題更加清晰明了，從而找到更優(yōu)的解題思路。此外，良好的問題表征能力有助于學生積累解題經(jīng)驗，培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力。在不斷進行問題表征的過程中，學生能夠?qū)W會如何分析問題、解決問題，提高自己的思維敏捷性和靈活性，為今后解決更復雜的數(shù)學問題奠定堅實的基礎。三、問題表征在高中數(shù)學創(chuàng)新題中的應用分析3.1不同類型創(chuàng)新題的問題表征案例3.1.1應用型創(chuàng)新題應用型創(chuàng)新題常以現(xiàn)實生活中的實際問題為背景，旨在考查學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并運用數(shù)學知識解決問題的能力。這類題目要求學生具備較強的閱讀理解能力和數(shù)學建模能力，能夠從復雜的現(xiàn)實情境中提取關(guān)鍵信息，構(gòu)建合理的數(shù)學模型。下面以停車難和人口增長問題為例，分析應用型創(chuàng)新題的問題表征過程。案例一：停車難問題隨著城市汽車保有量的不斷增加，停車難已成為許多城市面臨的突出問題。假設有這樣一道數(shù)學創(chuàng)新題：某城市有一個矩形停車場，其長為x米，寬為y米，停車場內(nèi)規(guī)劃了若干個停車位，每個停車位的長為5米，寬為2.5米，且停車場的四周需留出1米寬的通道。已知該停車場最多可容納n個停車位，且停車場的面積為S平方米，S與x、y滿足S=xy，同時n與x、y之間存在某種關(guān)系?，F(xiàn)在要求根據(jù)給定的停車場面積S，確定x和y的值，使得停車位數(shù)量n達到最大。在解決這道題時，首先進行語言表征，仔細閱讀題目，理解每個條件的含義。明確已知信息為停車場的形狀（矩形）、尺寸相關(guān)信息（長x米、寬y米，停車位長5米、寬2.5米，四周通道寬1米）、面積公式S=xy以及要求（根據(jù)S確定x、y使n最大）。接著進行符號表征，設停車場內(nèi)沿長度方向可劃分出a個停車位，沿寬度方向可劃分出b個停車位，則a=\lfloor\frac{x-2}{5}\rfloor（\lfloor\\rfloor表示向下取整），b=\lfloor\frac{y-2}{2.5}\rfloor，那么停車位數(shù)量n=ab。同時，已知S=xy，這就建立起了實際問題與數(shù)學符號之間的聯(lián)系。然后進行圖形表征，畫出矩形停車場的示意圖，標注出長x、寬y、停車位的尺寸以及通道的寬度，這樣可以更直觀地看出各個量之間的關(guān)系。通過圖形，能清晰地發(fā)現(xiàn)x、y與停車位數(shù)量之間的幾何聯(lián)系，有助于進一步分析問題。在這個案例中，通過語言、符號和圖形三種表征方式的綜合運用，將停車難這一實際問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學中的優(yōu)化問題，即求在滿足S=xy的條件下，n=\lfloor\frac{x-2}{5}\rfloor\lfloor\frac{y-2}{2.5}\rfloor的最大值。學生可以利用數(shù)學知識，如均值不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法來求解該問題。案例二：人口增長問題人口增長是一個全球性的問題，對社會經(jīng)濟發(fā)展有著深遠的影響。假設題目為：某地區(qū)的人口增長呈現(xiàn)一定的規(guī)律，初始人口數(shù)量為P_0，經(jīng)過t年后，人口數(shù)量P與t滿足函數(shù)關(guān)系P=P_0(1+r)^t，其中r為年增長率。已知該地區(qū)初始人口為100萬，預計5年后人口將達到120萬，求年增長率r的值，并預測10年后該地區(qū)的人口數(shù)量。首先進行語言表征，理解題目中關(guān)于人口增長模型的描述，明確已知條件（初始人口P_0=100萬，t=5年后人口P=120萬）和要求（求r以及預測t=10年后的人口數(shù)量）。然后進行符號表征，將已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式P=P_0(1+r)^t中，得到120=100(1+r)^5，這是一個關(guān)于r的方程，通過求解該方程即可得到年增長率r的值。當求10年后的人口數(shù)量時，將t=10、P_0=100以及求得的r值代入函數(shù)關(guān)系式P=P_0(1+r)^{10}中，就能計算出10年后的人口數(shù)量。在這個案例中，通過語言表征理解問題情境，通過符號表征建立數(shù)學模型，將人口增長問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學方程求解和函數(shù)求值的問題。這種將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，是解決應用型創(chuàng)新題的關(guān)鍵。通過對這類問題的解決，學生不僅能夠掌握數(shù)學知識和方法，還能深刻體會到數(shù)學在實際生活中的廣泛應用，提高數(shù)學應用意識和實踐能力。3.1.2探究型創(chuàng)新題探究型創(chuàng)新題注重培養(yǎng)學生的自主探究能力和創(chuàng)新思維，要求學生通過觀察、分析、歸納、類比等方法，主動探索數(shù)學規(guī)律和結(jié)論。數(shù)列規(guī)律探究和函數(shù)性質(zhì)探究是高中數(shù)學中常見的探究型問題，下面通過具體案例來探討其問題表征方式。案例一：數(shù)列規(guī)律探究已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足：a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n\inN^*），探究該數(shù)列的通項公式。在解決這道題時，首先進行語言表征，仔細理解題目中給出的數(shù)列遞推關(guān)系，明確已知條件為數(shù)列的首項a_1=1以及從第二項起每一項與前一項的關(guān)系a_{n+1}=2a_n+1。接著進行符號表征，為了找到數(shù)列的通項公式，我們可以對遞推式進行變形。設a_{n+1}+x=2(a_n+x)，展開可得a_{n+1}=2a_n+x，對比a_{n+1}=2a_n+1，可知x=1，即a_{n+1}+1=2(a_n+1)。令b_n=a_n+1，則b_1=a_1+1=2，且b_{n+1}=2b_n，此時數(shù)列\(zhòng){b_n\}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項公式b_n=b_1q^{n-1}（其中q為公比），可得b_n=2\times2^{n-1}=2^n，又因為b_n=a_n+1，所以a_n=2^n-1。在這個過程中，通過符號的變換和代換，將復雜的數(shù)列遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為熟悉的等比數(shù)列問題，從而找到數(shù)列的通項公式。為了更直觀地理解數(shù)列的規(guī)律，還可以進行圖形表征。以n為橫坐標，a_n為縱坐標，畫出數(shù)列的前幾項對應的點，觀察這些點的分布規(guī)律。通過圖形可以發(fā)現(xiàn)，隨著n的增大，a_n的值呈現(xiàn)出指數(shù)增長的趨勢，這與我們通過符號表征得到的通項公式a_n=2^n-1相符合。通過圖形表征，能夠從直觀上驗證我們通過符號推導得到的結(jié)論，同時也有助于我們更深入地理解數(shù)列的變化規(guī)律。案例二：函數(shù)性質(zhì)探究已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，探究該函數(shù)的單調(diào)性、極值和零點。首先進行語言表征，明確題目要求是研究函數(shù)f(x)=x^3-3x的單調(diào)性（函數(shù)在哪些區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減）、極值（函數(shù)的極大值和極小值）和零點（使函數(shù)值為0的x的值）。然后進行符號表征，對函數(shù)f(x)求導，根據(jù)求導公式(X^n)^\prime=nX^{n-1}，可得f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f^\prime(x)=0，即3(x+1)(x-1)=0，解得x=-1或x=1。當x<-1時，f^\prime(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當-1<x<1時，f^\prime(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x>1時，f^\prime(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。所以x=-1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)=2；x=1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)=1^3-3\times1=-2。令f(x)=0，即x^3-3x=0，提取公因式x得x(x^2-3)=0，解得x=0或x=\pm\sqrt{3}，所以函數(shù)的零點為x=0，x=\sqrt{3}和x=-\sqrt{3}。通過符號表征，利用導數(shù)這一工具，準確地分析出了函數(shù)的單調(diào)性、極值和零點。在函數(shù)性質(zhì)探究中，圖形表征也起著重要的作用。畫出函數(shù)f(x)=x^3-3x的圖像，從圖像上可以直觀地看出函數(shù)的單調(diào)性變化情況，極大值點和極小值點的位置以及函數(shù)與x軸的交點（即零點）。函數(shù)圖像在x<-1和x>1時上升，說明函數(shù)在這兩個區(qū)間單調(diào)遞增；在-1<x<1時下降，說明函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減。極大值點(-1,2)和極小值點(1,-2)在圖像上一目了然，函數(shù)與x軸的交點(-\sqrt{3},0)，(0,0)和(\sqrt{3},0)也清晰可見。圖形表征與符號表征相互結(jié)合，使我們對函數(shù)的性質(zhì)有了更全面、深入的理解。3.1.3開放型創(chuàng)新題開放型創(chuàng)新題具有條件開放、結(jié)論開放或解題方法開放等特點，旨在培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。這類題目沒有固定的解題模式，學生需要從多個角度思考問題，運用不同的知識和方法來解決。下面以條件開放和結(jié)論開放的數(shù)學題目為例，研究開放型創(chuàng)新題的問題表征要點。案例一：條件開放型創(chuàng)新題在\triangleABC中，已知\angleA=60^{\circ}，AB=2，請?zhí)砑右粋€條件，使得\triangleABC的面積為\sqrt{3}。對于這道條件開放型題目，首先進行語言表征，明確已知條件是\triangleABC中\(zhòng)angleA=60^{\circ}，AB=2，目標是添加一個條件使三角形面積為\sqrt{3}。然后從不同角度進行思考，進行符號表征和問題解決。根據(jù)三角形面積公式S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotAC\cdot\sinA，已知S_{\triangleABC}=\sqrt{3}，\angleA=60^{\circ}，AB=2，將其代入面積公式可得\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times2\timesAC\times\sin60^{\circ}，即\sqrt{3}=AC\times\frac{\sqrt{3}}{2}，解得AC=2。所以添加的條件可以是AC=2。從另一個角度，如果考慮余弦定理，設BC=a，AC=b，AB=c=2，由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc\cosA，結(jié)合面積公式S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\sqrt{3}，\angleA=60^{\circ}，c=2，先由面積公式可得\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times2\timesb\times\frac{\sqrt{3}}{2}，解得b=2，再代入余弦定理a^2=2^2+2^2-2\times2\times2\times\cos60^{\circ}=4，所以a=2。那么添加的條件也可以是BC=2。在這個案例中，由于條件開放，學生需要根據(jù)已知信息和目標，運用不同的數(shù)學知識（如三角形面積公式、余弦定理等）進行符號表征和推理，從而找到滿足條件的多種添加方式，培養(yǎng)了學生思維的靈活性和開放性。案例二：結(jié)論開放型創(chuàng)新題已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3，x\in[0,3]，請根據(jù)該函數(shù)提出至少兩個不同的結(jié)論，并進行證明。首先進行語言表征，明確已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3以及定義域x\in[0,3]，任務是提出不同結(jié)論并證明。從函數(shù)值域角度提出結(jié)論：函數(shù)f(x)在x\in[0,3]上的值域是[2,6]。進行符號表征和證明，對函數(shù)f(x)=x^2-2x+3進行變形可得f(x)=(x-1)^2+2，因為x\in[0,3]，當x=1時，(x-1)^2=0，f(x)取得最小值2；當x=3時，(x-1)^2=4，f(x)=4+2=6，所以函數(shù)的值域是[2,6]。從函數(shù)單調(diào)性角度提出結(jié)論：函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增。符號表征和證明過程為，對函數(shù)f(x)求導得f^\prime(x)=2x-2，當x\in[0,1]時，f^\prime(x)=2x-2\leqslant0，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減；當x\in[1,3]時，f^\prime(x)=2x-2\geqslant0，所以函數(shù)f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增。在這個結(jié)論開放型案例中，學生需要對給定的函數(shù)進行深入分析，從不同角度（如值域、單調(diào)性等）提出結(jié)論，并運用相應的數(shù)學知識進行符號表征和論證，充分展示了學生的思維能力和創(chuàng)新能力。通過解決這類問題，學生能夠突破常規(guī)思維的束縛，學會從多個維度思考數(shù)學問題，提高綜合運用數(shù)學知識的能力。三、問題表征在高中數(shù)學創(chuàng)新題中的應用分析3.2問題表征的方法與策略3.2.1語言表征語言表征是問題表征的基礎環(huán)節(jié)，在高中數(shù)學創(chuàng)新題中，準確理解題目中的文字信息，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言至關(guān)重要。學生首先需要逐字逐句地研讀題目，捕捉關(guān)鍵信息，明確題目所描述的數(shù)學情境和問題要求。在面對應用型創(chuàng)新題時，學生要理解實際問題的背景和條件，如在關(guān)于生產(chǎn)利潤的問題中，要明確成本、售價、銷售量等關(guān)鍵概念；對于探究型創(chuàng)新題，要理解探究的目標和方向，如探究函數(shù)性質(zhì)時，要清楚是研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性還是其他性質(zhì)。在理解文字信息的過程中，學生要特別注意一些數(shù)學術(shù)語和關(guān)鍵詞的含義。“至少”“至多”“任意”“存在”等詞在數(shù)學中具有特定的邏輯意義，對解題思路的確定起著關(guān)鍵作用。對于“已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至少有一個零點，求參數(shù)的取值范圍”這樣的題目，“至少有一個零點”意味著函數(shù)圖像與x軸在區(qū)間[a,b]上至少有一個交點，學生需要根據(jù)這一條件建立相應的數(shù)學關(guān)系來求解參數(shù)范圍。此外，對于一些長難句，學生可以通過語法分析、提取主干等方法來準確理解其含義?！霸谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎cA(x_1,y_1)和點B(x_2,y_2)，且滿足(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=d^2，其中d為定值，求線段AB中點的軌跡方程”，學生可以通過分析句子結(jié)構(gòu)，明確已知條件和所求問題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言進行求解。將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言時，學生可以運用數(shù)學符號、式子、方程等來表達題目中的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系。把“蘋果的數(shù)量比香蕉的數(shù)量的2倍還多3個”轉(zhuǎn)化為數(shù)學式子“設蘋果數(shù)量為x，香蕉數(shù)量為y，則x=2y+3”。在解決幾何問題時，將“三角形的三條邊滿足勾股定理”轉(zhuǎn)化為“在\triangleABC中，若a、b為直角邊，c為斜邊，則a^2+b^2=c^2”。通過這種轉(zhuǎn)化，使問題更加簡潔明了，便于運用數(shù)學知識進行求解。在平時的學習中，學生要加強對數(shù)學語言的理解和運用能力的訓練，通過大量的練習，熟悉各種數(shù)學術(shù)語和符號的含義，提高語言表征的準確性和效率。教師在教學過程中，也應注重引導學生進行自然語言與數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。3.2.2符號表征符號表征是運用數(shù)學符號、公式、圖表等對問題進行簡潔、準確的表達，它能夠?qū)碗s的數(shù)學問題抽象化，便于進行推理和運算。在高中數(shù)學創(chuàng)新題中，熟練掌握符號表征的方法和技巧，對于提高解題效率至關(guān)重要。數(shù)學符號是數(shù)學語言的重要組成部分，具有簡潔、準確、抽象的特點。在解題時，學生要善于運用各種數(shù)學符號來表示問題中的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系。在數(shù)列問題中，用a_n表示數(shù)列的第n項，用S_n表示數(shù)列的前n項和，通過這些符號可以簡潔地表達數(shù)列的通項公式和求和公式。在函數(shù)問題中，用f(x)表示函數(shù)，通過函數(shù)表達式可以清晰地展示函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。對于“已知函數(shù)f(x)=3x^2-2x+1，求f(2)的值”這樣的問題，學生可以直接將x=2代入函數(shù)表達式f(x)中，利用數(shù)學符號進行計算，即f(2)=3\times2^2-2\times2+1=12-4+1=9。公式是數(shù)學知識的重要載體，在符號表征中起著關(guān)鍵作用。學生要牢記各種數(shù)學公式，并能夠根據(jù)題目條件準確選擇和運用公式。在立體幾何中，計算圓柱的體積時，要運用圓柱體積公式V=\pir^2h（其中r為底面半徑，h為高）；在解析幾何中，求兩點間距離時，要運用兩點間距離公式d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}。在解決創(chuàng)新題時，可能需要對公式進行靈活變形和應用。在求三角形面積時，除了常用的S=\frac{1}{2}ah（a為底，h為高）公式外，還可能會用到海倫公式S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}（其中p為半周長，a、b、c為三角形三邊），這就要求學生對公式有深入的理解，能夠根據(jù)具體問題選擇合適的公式進行符號表征。圖表也是一種重要的符號表征形式，它能夠直觀地展示問題中的信息和關(guān)系。在統(tǒng)計問題中，常用柱狀圖、折線圖、扇形圖等來表示數(shù)據(jù)的分布和變化情況；在函數(shù)問題中，函數(shù)圖像能夠直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、最值等。通過觀察圖表，學生可以快速獲取關(guān)鍵信息，為解題提供思路。在研究函數(shù)y=\sinx的性質(zhì)時，畫出函數(shù)圖像，從圖像上可以直觀地看出函數(shù)的周期、最值、對稱軸等性質(zhì)，有助于學生更好地理解和解決問題。在繪制圖表時，要注意圖表的準確性和規(guī)范性，標注清楚坐標軸的含義、單位等信息。為了提高符號表征的能力，學生在平時的學習中要加強對數(shù)學符號、公式和圖表的學習和練習，理解它們的含義和用法，掌握它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。通過大量的實例訓練，提高運用符號表征解決問題的熟練程度和靈活性。3.2.3圖形表征圖形表征是借助幾何圖形、函數(shù)圖像等直觀呈現(xiàn)問題結(jié)構(gòu)的一種表征方式，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形，幫助學生更好地理解問題，發(fā)現(xiàn)問題中的隱含關(guān)系，找到解題的突破口。在高中數(shù)學創(chuàng)新題中，圖形表征具有重要的應用價值。幾何圖形在解決幾何問題時發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在立體幾何中，通過繪制空間幾何體的直觀圖，能夠清晰地展示幾何體的形狀、結(jié)構(gòu)和各部分之間的位置關(guān)系。在求解三棱錐的體積時，畫出三棱錐的直觀圖，明確底面和高的位置，有助于準確運用體積公式進行計算。對于一些復雜的立體幾何問題，還可以通過添加輔助線、輔助面等方法，構(gòu)造出更便于分析的幾何圖形。在證明線面垂直的問題中，通過添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理等知識來證明線線垂直，進而證明線面垂直。在平面幾何中，圖形表征同樣重要。在解決三角形的問題時，畫出三角形的圖形，標注出已知的邊和角，通過觀察圖形，運用三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理等知識來求解未知的邊和角。函數(shù)圖像是函數(shù)的一種直觀表示形式，它能夠直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。在研究函數(shù)的單調(diào)性時，通過觀察函數(shù)圖像的上升和下降趨勢，可以直接判斷函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性。對于函數(shù)y=x^2，其圖像是一個開口向上的拋物線，從圖像上可以看出，函數(shù)在(-\infty,0)上單調(diào)遞減，在(0,+\infty)上單調(diào)遞增。在解決函數(shù)的最值問題時，函數(shù)圖像也能提供重要的線索。通過觀察函數(shù)圖像的最高點或最低點，確定函數(shù)的最值。在解決函數(shù)與方程的問題時，將函數(shù)圖像與方程的解聯(lián)系起來，通過觀察函數(shù)圖像與x軸的交點，確定方程的根。對于方程x^2-3x+2=0，可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x^2-3x+2，畫出函數(shù)圖像，圖像與x軸的交點的橫坐標即為方程的根，通過求解可得x=1或x=2。在進行圖形表征時，要注意圖形的準確性和規(guī)范性，盡可能準確地描繪出圖形的形狀、大小和位置關(guān)系。同時，要善于結(jié)合圖形進行分析和推理，將圖形中的信息與數(shù)學知識相結(jié)合，找到解決問題的方法。在解決幾何問題時，要注意圖形中的隱含條件，如平行、垂直、相等關(guān)系等，這些條件往往是解題的關(guān)鍵。在利用函數(shù)圖像解題時，要注意圖像的定義域、值域等信息，確保解題的準確性。3.2.4多種表征方式的結(jié)合運用在高中數(shù)學創(chuàng)新題的解決過程中，單一的表征方式往往難以全面、深入地理解問題，綜合運用多種表征方式，能夠充分發(fā)揮各種表征方式的優(yōu)勢，提高解題效果。多種表征方式之間相互補充、相互轉(zhuǎn)化，有助于學生從不同角度理解問題，拓展解題思路。語言表征是基礎，它幫助學生理解問題的情境和要求。通過將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，為后續(xù)的符號表征和圖形表征奠定基礎。在解決應用型創(chuàng)新題時，首先要通過語言表征理解實際問題的背景和條件，然后將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，進而運用符號表征和圖形表征進行求解。在解決“某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，售價為50元，每月的銷售量與售價之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，當售價為60元時，銷售量為1000件，求每月的利潤與售價之間的函數(shù)關(guān)系式”這一問題時，首先通過語言表征理解題目中的成本、售價、銷售量等信息，然后將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，設售價為x元，銷售量為y件，根據(jù)已知條件可列出方程組\begin{cases}50k+b=1000\\60k+b=800\end{cases}（設銷售量與售價的一次函數(shù)關(guān)系為y=kx+b），通過求解方程組得到銷售量與售價的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-20x+2000，進而得到利潤與售價的函數(shù)關(guān)系式L=(x-30)(-20x+2000)。在這個過程中，語言表征為符號表征提供了信息和思路。符號表征具有簡潔、準確的特點，能夠進行精確的數(shù)學運算和推理。但符號表征相對抽象，對于一些復雜的問題，僅依靠符號表征可能難以理解問題的本質(zhì)。此時，結(jié)合圖形表征可以使問題更加直觀。在解決函數(shù)與方程的問題時，通過符號表征得到函數(shù)表達式和方程后，畫出函數(shù)圖像，利用圖形的直觀性來分析函數(shù)的性質(zhì)和方程的解。對于方程x^3-3x^2+2x=0，通過符號表征可因式分解為x(x-1)(x-2)=0，得到方程的根為x=0，x=1，x=2。同時，畫出函數(shù)y=x^3-3x^2+2x的圖像，從圖像上可以直觀地看到函數(shù)與x軸的交點，即方程的根，進一步驗證了解題結(jié)果。在這個過程中，圖形表征幫助學生更好地理解了符號表征所得到的結(jié)果。圖形表征直觀形象，能夠幫助學生快速把握問題的整體結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵信息。但圖形表征可能存在一定的誤差，不夠精確。因此，需要結(jié)合符號表征進行精確的計算和推理。在解決立體幾何問題時，通過圖形表征確定幾何體的形狀和各部分之間的關(guān)系后，利用符號表征運用相關(guān)的幾何公式進行計算。在計算三棱柱的體積時，通過圖形表征確定底面三角形的形狀和高，以及三棱柱的高，然后利用符號表征運用三棱柱體積公式V=S_{?o?}h（其中S_{?o?}為底面三角形面積，h為三棱柱的高）進行計算。在這個過程中，符號表征保證了計算的準確性。在解決高中數(shù)學創(chuàng)新題時，學生應根據(jù)問題的特點和自身的思維習慣，靈活運用多種表征方式。在解題過程中，不斷嘗試在不同表征方式之間進行轉(zhuǎn)換，從多個角度思考問題，找到最適合的解題方法。教師在教學中，也應引導學生學會綜合運用多種表征方式，培養(yǎng)學生的多元思維能力和問題解決能力。四、高中生數(shù)學創(chuàng)新題問題表征現(xiàn)狀調(diào)查4.1調(diào)查設計與實施為深入了解高中生在數(shù)學創(chuàng)新題問題表征方面的現(xiàn)狀，本研究精心設計并實施了一系列調(diào)查活動，旨在全面、準確地收集數(shù)據(jù)，為后續(xù)的分析和研究提供堅實的基礎。本調(diào)查的目的在于揭示高中生在面對數(shù)學創(chuàng)新題時，如何進行問題表征，包括他們所采用的表征方式、遇到的困難以及影響他們問題表征的因素等。通過對這些方面的探究，期望能夠為高中數(shù)學教學提供有針對性的建議，以提升學生解決數(shù)學創(chuàng)新題的能力。調(diào)查對象選取了[具體學校名稱]的高二年級學生，涵蓋了不同層次班級的學生，包括重點班和普通班。這些學生在數(shù)學學習水平和能力上存在一定差異，能夠較為全面地反映高中生的整體情況。共發(fā)放問卷[X]份，回收有效問卷[X]份，有效回收率為[X]%。同時，選取了部分具有代表性的學生進行訪談，深入了解他們在解決創(chuàng)新題過程中的思維過程和內(nèi)心想法。調(diào)查方法主要采用問卷調(diào)查法和訪談法。問卷調(diào)查法能夠大規(guī)模收集數(shù)據(jù)，具有高效、全面的特點；訪談法則可以深入挖掘?qū)W生的思維細節(jié)和情感體驗，彌補問卷調(diào)查的不足，兩者相互補充，使調(diào)查結(jié)果更加全面、深入。問卷設計是調(diào)查的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。問卷內(nèi)容主要圍繞學生在解決數(shù)學創(chuàng)新題時的問題表征情況展開，包括學生對創(chuàng)新題的認知、解決創(chuàng)新題的習慣、所采用的問題表征方式以及在問題表征過程中遇到的困難等方面。在問題設計上，采用了選擇題、填空題和簡答題相結(jié)合的方式，以滿足不同類型問題的調(diào)查需求。對于選擇題，設置了多個選項，涵蓋了各種可能的情況，便于學生快速作答，同時也便于后續(xù)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析；填空題則要求學生根據(jù)自身實際情況填寫具體信息，如解決創(chuàng)新題的時間、使用某種表征方式的頻率等；簡答題則鼓勵學生詳細闡述自己的觀點和經(jīng)驗，為深入了解學生的思維過程提供豐富的素材。為了確保問卷的科學性和有效性，在正式發(fā)放問卷前，進行了預調(diào)查，并根據(jù)預調(diào)查的結(jié)果對問卷進行了修改和完善，以提高問卷的質(zhì)量。測試卷編制方面，選取了具有代表性的高中數(shù)學創(chuàng)新題，涵蓋了應用型、探究型、開放型等多種類型。這些題目難度適中，既能夠考查學生對基礎知識的掌握程度，又能充分檢驗學生的創(chuàng)新思維和問題表征能力。在題目設計上，注重情境的新穎性和問題的開放性，以激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。對于應用型創(chuàng)新題，以實際生活中的環(huán)保問題為背景，要求學生運用數(shù)學知識建立模型并解決問題；對于探究型創(chuàng)新題，設置數(shù)列或函數(shù)相關(guān)的問題，引導學生通過觀察、分析、歸納等方法探究規(guī)律。測試卷在發(fā)放前，經(jīng)過了多位數(shù)學教師和教育專家的審核，確保題目表述準確、清晰，難度分布合理，能夠有效考查學生的問題表征能力。4.2調(diào)查結(jié)果分析4.2.1學生問題表征習慣與偏好通過對問卷數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)學生在解決高中數(shù)學創(chuàng)新題時，問題表征習慣和偏好呈現(xiàn)出多樣化的特點。在語言表征方面，大部分學生（約[X]%）表示會認真閱讀題目，理解題目中的文字信息，但仍有部分學生（約[X]%）在閱讀題目時不夠仔細，容易遺漏關(guān)鍵信息或誤解題意。對于一些表述較為復雜的題目，部分學生在將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言時存在困難，導致對問題的理解出現(xiàn)偏差。在解決一道關(guān)于函數(shù)的創(chuàng)新題時，題目中提到“函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足某種復雜的條件”，部分學生由于對條件中的數(shù)學術(shù)語理解不清晰，無法準確將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，從而影響了后續(xù)的解題思路。在符號表征方面，約[X]%的學生習慣運用數(shù)學符號和公式來表達問題中的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，但在符號的運用準確性和靈活性上存在差異。一些學生能夠熟練運用常見的數(shù)學符號和公式，但對于一些需要靈活變形或運用不常見公式的題目，部分學生（約[X]%）則表現(xiàn)出困惑。在解決數(shù)列創(chuàng)新題時，涉及到數(shù)列通項公式的推導，部分學生雖然知道基本的數(shù)列公式，但在面對需要通過構(gòu)造新數(shù)列來求解通項公式的題目時，無法準確運用符號進行推導，導致解題失敗。圖形表征方面，約[X]%的學生認為圖形表征對解決創(chuàng)新題有幫助，尤其是在解決幾何問題和函數(shù)問題時。在解決立體幾何創(chuàng)新題時，學生通過繪制空間幾何體的直觀圖，能夠更清晰地理解幾何體的結(jié)構(gòu)和各部分之間的位置關(guān)系，從而找到解題的突破口。然而，仍有部分學生（約[X]%）不善于運用圖形表征，或者在繪制圖形時存在不準確的情況，無法充分發(fā)揮圖形表征的優(yōu)勢。在繪制函數(shù)圖像時，部分學生不能準確地描繪出函數(shù)的關(guān)鍵特征，如對稱軸、極值點等，導致從圖像中獲取的信息不準確，影響解題。綜合來看，學生在問題表征習慣和偏好上存在個體差異。部分學生更傾向于單一的表征方式，而另一部分學生則能夠根據(jù)問題的特點靈活運用多種表征方式。那些能夠靈活運用多種表征方式的學生，在解決創(chuàng)新題時往往表現(xiàn)出更高的解題效率和準確性。在解決一道函數(shù)與幾何結(jié)合的創(chuàng)新題時，學生既運用符號表征列出函數(shù)表達式，又通過圖形表征畫出函數(shù)圖像和幾何圖形，從兩個角度分析問題，能夠更快地找到解題思路，得出正確答案。這表明，培養(yǎng)學生綜合運用多種表征方式的能力，對于提高他們解決高中數(shù)學創(chuàng)新題的能力具有重要意義。4.2.2學生問題表征能力水平為了評估學生的問題表征能力水平，對學生在測試卷中的表現(xiàn)進行了深入分析，從理解題意、構(gòu)建問題模型等關(guān)鍵環(huán)節(jié)來考察學生的能力。在理解題意方面，整體來看，學生的表現(xiàn)參差不齊。約[X]%的學生能夠準確理解大部分創(chuàng)新題的題意，抓住題目中的關(guān)鍵信息和條件，為后續(xù)的解題奠定良好的基礎。在解決應用型創(chuàng)新題時，這些學生能夠快速理解實際問題的背景和要求，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題進行求解。然而，仍有相當一部分學生（約[X]%）在理解題意時存在困難，容易被題目中的一些干擾信息所迷惑，或者對題目中的一些隱含條件缺乏敏銳的洞察力。在一道關(guān)于概率統(tǒng)計的創(chuàng)新題中，題目給出了大量的數(shù)據(jù)和復雜的情境描述，部分學生由于無法準確篩選出關(guān)鍵數(shù)據(jù)和理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，導致對題意的理解出現(xiàn)偏差，無法正確解答題目。在構(gòu)建問題模型方面，學生的能力水平也存在較大差異。約[X]%的優(yōu)秀學生能夠根據(jù)題目所提供的信息，迅速準確地構(gòu)建出合適的問題模型，運用相關(guān)的數(shù)學知識和方法進行求解。在解決探究型創(chuàng)新題時，這些學生能夠通過觀察、分析、歸納等方法，發(fā)現(xiàn)問題中的規(guī)律和本質(zhì)，構(gòu)建出有效的數(shù)學模型來解決問題。然而，約[X]%的學生在構(gòu)建問題模型時存在困難，無法將題目中的信息與已有的知識體系建立有效的聯(lián)系，導致解題思路受阻。在面對一些需要運用新的數(shù)學思想和方法來構(gòu)建模型的創(chuàng)新題時，部分學生思維局限，無法突破傳統(tǒng)的解題模式，難以構(gòu)建出合適的問題模型。在解決一道涉及數(shù)學建模的創(chuàng)新題時，需要學生運用線性規(guī)劃的知識構(gòu)建數(shù)學模型，部分學生由于對線性規(guī)劃的概念和方法理解不透徹，無法準確地將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，從而無法解決問題。進一步分析發(fā)現(xiàn)，學生的問題表征能力水平與數(shù)學成績之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系。數(shù)學成績優(yōu)秀的學生，在問題表征能力的各個方面表現(xiàn)都較為出色；而數(shù)學成績較差的學生，在理解題意和構(gòu)建問題模型等方面往往存在較多的問題。這說明，提高學生的問題表征能力，對于提升學生的數(shù)學成績具有重要的促進作用。4.2.3影響學生問題表征的因素通過對問卷數(shù)據(jù)和訪談結(jié)果的綜合分析，發(fā)現(xiàn)影響學生問題表征的因素是多方面的，主要包括知識儲備、思維能力、學習態(tài)度等。知識儲備是影響學生問題表征的重要因素之一。擁有豐富且扎實數(shù)學知識儲備的學生，在面對創(chuàng)新題時，能夠更容易地識別題目中所涉及的知識點，并將其與已有的知識體系進行有效關(guān)聯(lián)，從而更準確地進行問題表征。在解決一道涉及數(shù)列與函數(shù)綜合的創(chuàng)新題時，知識儲備豐富的學生能夠迅速聯(lián)想到數(shù)列和函數(shù)的相關(guān)知識，運用數(shù)列的通項公式和函數(shù)的性質(zhì)來分析問題，而知識儲備不足的學生則可能對題目中的信息感到陌生，無法準確理解題意。調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，數(shù)學成績優(yōu)秀的學生在知識儲備方面明顯優(yōu)于成績較差的學生，他們能夠更熟練地運用各種數(shù)學知識和方法進行問題表征。在解決數(shù)學創(chuàng)新題時，成績優(yōu)秀的學生能夠運用多種數(shù)學定理、公式和方法，而成績較差的學生往往只能想到一些基本的知識點，無法進行深入的分析。這表明，扎實的知識儲備是提高學生問題表征能力的基礎。思維能力對學生的問題表征起著關(guān)鍵作用。具有較強邏輯思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力的學生，在面對創(chuàng)新題時，能夠從多個角度思考問題，靈活運用不同的表征方式，更全面、深入地理解問題，找到解題的突破口。在解決開放型創(chuàng)新題時，思維能力強的學生能夠迅速理解問題的開放性特點，運用發(fā)散思維提出多種可能的解題思路，并通過邏輯推理和分析，選擇最合適的解題方法。而思維能力較弱的學生則可能局限于常規(guī)的解題思路，難以發(fā)現(xiàn)問題的多種解法，在問題表征和解題過程中遇到困難。在訪談中，一些學生表示在面對創(chuàng)新題時，不知道從何處入手，無法打開思路，這正是思維能力不足的表現(xiàn)。因此，培養(yǎng)學生的思維能力，對于提高學生的問題表征能力和解決創(chuàng)新題的能力具有重要意義。學習態(tài)度也在一定程度上影響著學生的問題表征。積極主動的學習態(tài)度能夠促使學生更加認真地閱讀題目，深入思考問題，勇于嘗試不同的表征方式和解題方法。具有積極學習態(tài)度的學生，在遇到困難時，會主動查閱資料、請教老師和同學，努力克服困難，提高自己的問題表征能力。而學習態(tài)度消極的學生，在面對創(chuàng)新題時，可能會產(chǎn)生畏難情緒，缺乏主動思考和探索的精神，不愿意花費時間和精力去理解題目和嘗試解題。在問卷中，部分學生表示對創(chuàng)新題不感興趣，覺得太難，因此在解題時敷衍了事，這必然會影響他們的問題表征和解題效果。因此，培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度，激發(fā)學生的學習興趣和主動性，對于提高學生的問題表征能力至關(guān)重要。五、提升高中生基于問題表征解決創(chuàng)新題能力的策略5.1教學策略5.1.1強化問題表征訓練在高中數(shù)學教學中，應加強問題表征的專項訓練，以提高學生的表征能力。教師可以設計多樣化的練習題，涵蓋不同類型的創(chuàng)新題，讓學生在練習中熟悉各種問題表征方式的運用。針對語言表征訓練，可以提供一些文字描述復雜的題目，要求學生準確理解題意，提取關(guān)鍵信息，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言。在函數(shù)問題中，給出一段關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的文字描述，讓學生用數(shù)學符號和式子表達出來。對于符號表征訓練，設置一些需要運用多種數(shù)學公式和符號進行推理和計算的題目，培養(yǎng)學生準確運用符號的能力。在數(shù)列問題中，讓學生根據(jù)給定的數(shù)列遞推公式，運用符號推導通項公式。圖形表征訓練方面，安排一些幾何問題或函數(shù)圖像相關(guān)的題目，引導學生通過繪制圖形來輔助解題，提高學生的圖形繪制和分析能力。在立體幾何中，要求學生畫出復雜幾何體的直觀圖，并通過圖形分析其性質(zhì)。教師還可以引導學生進行多種表征方式之間的轉(zhuǎn)換訓練，讓學生體會不同表征方式的特點和優(yōu)勢，提高學生靈活運用表征方式的能力。給出一道用文字描述的應用題，讓學生先用語言表征理解題意，再將其轉(zhuǎn)化為符號表征建立數(shù)學模型，最后通過圖形表征輔助分析和求解。在解決函數(shù)與方程的問題時，引導學生從函數(shù)表達式（符號表征）出發(fā)，畫出函數(shù)圖像（圖形表征），再結(jié)合圖像分析方程的解（語言表征）。通過這樣的訓練，學生能夠更好地理解問題的本質(zhì)，拓寬解題思路，提高解決創(chuàng)新題的能力。5.1.2培養(yǎng)多元思維在教學過程中，教師應注重培養(yǎng)學生的多元思維，通過一題多解、多題一解等方式，引導學生從不同角度思考問題，提高學生的思維靈活性和創(chuàng)新性。一題多解能夠讓學生從多個方面理解數(shù)學知識，掌握不同的解題方法和技巧，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。在講解幾何問題時，教師可以引導學生運用多種方法進行證明，如綜合法、分析法、向量法等。對于一道證明三角形全等的題目，學生可以通過邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）等不同的判定定理進行證明，也可以利用向量的方法，通過計算向量的模和夾角來證明三角形全等。通過一題多解的訓練，學生能夠開闊思路，提高對知識的綜合運用能力。多題一解則能夠幫助學生歸納總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)學生的抽象概括能力和邏輯思維能力。教師可以選取一些具有相同解題思路或方法的題目，讓學生進行集中練習，引導學生發(fā)現(xiàn)其中的共性，總結(jié)出通用的解題方法。在數(shù)列求和問題中，有很多題目都可以運用錯位相減法、裂項相消法等方法進行求解。教師可以選取幾道不同形式的數(shù)列求和題，讓學生運用錯位相減法進行計算，通過練習，學生能夠深刻理解錯位相減法的適用條件和解題步驟，提高解決此類問題的能力。教師還可以鼓勵學生運用逆向思維、類比思維等創(chuàng)新思維方式來解決問題。在證明不等式時，引導學生運用逆向思維，從結(jié)論出發(fā)，逐步推導出已知條件。在學習立體幾何時，引導學生類比平面幾何的知識和方法，來理解和解決立體幾何問題。通過培養(yǎng)多元思維，學生能夠更好地應對高中數(shù)學創(chuàng)新題，提高解題的效率和準確性。5.1.3結(jié)合實際情境教學將數(shù)學知識與實際生活情境相結(jié)合，能夠增強學生的應用意識，提高學生對數(shù)學知識的理解和運用能力，同時也有助于學生更好地進行問題表征。教師在教學中可以引入豐富的實際生活案例，讓學生感受到數(shù)學的實用性和趣味性。在講解函數(shù)的應用時，可以以企業(yè)生產(chǎn)利潤、人口增長、商品銷售等實際問題為背景，讓學生運用函數(shù)知識建立數(shù)學模型，解決實際問題。在講解概率統(tǒng)計時，可以以彩票中獎、保險理賠、市場調(diào)查等實際案例為素材，讓學生理解概率統(tǒng)計的概念和方法在實際生活中的應用。在實際情境教學中，教師要引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進行有效的問題表征。在解決實際問題時，幫助學生分析問題中的關(guān)鍵信息，運用數(shù)學語言和符號進行表達，構(gòu)建數(shù)學模型。在解決關(guān)于城市交通流量優(yōu)化的問題時，引導學生將交通流量、道路通行能力等實際因素用數(shù)學符號和式子表示出來，建立線性規(guī)劃模型進行求解。通過實際情境教學，學生能夠更好地理解數(shù)學知識的實際意義，提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，同時也能夠提高學生在面對創(chuàng)新題時的問題表征能力和解題能力。5.2學習策略5.2.1引導學生自我反思自我反思是學生提升問題表征能力和解題水平的重要學習策略。教師應引導學生在解題后，對問題表征過程進行全面、深入的反思，總結(jié)經(jīng)驗教訓，不斷優(yōu)化自己的思維方式和解題方法。在完成一道高中數(shù)學創(chuàng)新題后，學生要反思自己在理解題意階段的表現(xiàn)?；仡欁约菏欠駵蚀_把握了題目中的關(guān)鍵信息，是否對一些模糊或容易誤解的表述進行了深入思考。在解決一道關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的創(chuàng)新題時，題目中提到“函數(shù)在某區(qū)間上具有某種特殊性質(zhì)”，學生需要反思自己是否真正理解了這種特殊性質(zhì)的含義，有沒有忽略掉其他可能影響解題的條件。如果在理解題意時出現(xiàn)了偏差，要分析原因，是對數(shù)學概念的理解不夠準確，還是閱讀題目時不夠細心。通過這樣的反思，學生能夠提高自己的閱讀理解能力和對數(shù)學信息的敏感度，在今后遇到類似題目時，能夠更準確地理解題意。學生還要反思自己在選擇問題表征方式時的合理性。思考自己為什么選擇了某種表征方式，這種方式是否有效地幫助自己理解了問題和找到了解題思路。在解決立體幾何創(chuàng)新題時，如果選擇了圖形表征方式，要反思自己繪制的圖形是否準確、清晰，是否充分展示了幾何體的關(guān)鍵特征和各部分之間的關(guān)系。如果發(fā)現(xiàn)自己在表征過程中遇到了困難，比如無法準確繪制圖形或者無法將圖形與數(shù)學知識進行有效的結(jié)合，要思考如何改進，是否需要嘗試其他表征方式，或者進一步提高自己在該表征方式上的能力。通過反思問題表征方式的選擇，學生能夠更好地根據(jù)題目特點選擇合適的表征方式，提高問題表征的效率和質(zhì)量。反思解題過程中的思維過程也是至關(guān)重要的?；仡欁约涸诮忸}時的思考路徑，分析自己是如何從問題表征逐步推導出解題思路的，在這個過程中是否運用了正確的數(shù)學思想和方法。在解決數(shù)列創(chuàng)新題時，反思自己是如何運用數(shù)列的通項公式、求和公式以及遞推關(guān)系來進行推理和計算的，是否能夠靈活運用各種數(shù)學方法，如數(shù)學歸納法、錯位相減法等。思考自己在解題過程中遇到了哪些困難和障礙，是如何克服的，有沒有更好的解決方法。通過對思維過程的反思，學生能夠總結(jié)解題經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)自己思維上的不足之處，不斷提高自己的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力。為了幫助學生養(yǎng)成自我反思的習慣，教師可以在課堂上留出一定的時間讓學生進行解題后的反思，并組織學生進行交流和討論。讓學生分享自己的反思心得，互相學習和借鑒，共同提高。教師也可以定期對學生的反思情況進行檢查和評價，給予學生及時的反饋和指導，鼓勵學生不斷改進自己的反思方法和策略。5.2.2鼓勵合作學習合作學習是一種有效的學習方式，在高中數(shù)學學習中，通過小組合作學習，學生可以分享問題表征思路和方法，相互啟發(fā)，共同提高解決創(chuàng)新題的能力。在合作學習過程中，小組成員圍繞數(shù)學創(chuàng)新題展開討論。每個成員都有機會表達自己對問題的理解和表征方式，通過交流，學生可以接觸到不同的思維方式和解題思路，拓寬自己的視野。在解決一道關(guān)于概率統(tǒng)計的創(chuàng)新題時，有的學生可能從事件發(fā)生的概率角度進行表征，運用概率公式進行計算；有的學生則可能通過繪制概率樹圖的方式進行圖形表征，更直觀地分析問題。通過小組討論，學生可以了解到不同表征方式的優(yōu)勢和適用情況，學會從多個角度思考問題，提高自己的問題表征能力。合作學習還可以培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作精神和溝通能力。在小組合作中，學生需要傾聽他人的意見和建議，學會尊重他人的觀點，同時也要清晰地表達自己的想法，與小組成員進行有效的溝通和協(xié)作。在討論過程中，當遇到不同意見時，學生需要通過協(xié)商和辯論來達成共識，這有助于提高學生的批判性思維能力和解決沖突的能力。在解決函數(shù)與方程結(jié)合的創(chuàng)新題時，小組成員可能對函數(shù)圖像與方程解的關(guān)系有不同的看法，通過溝通和討論，學生可以進一步深化對問題的理解，找到更準確的解題方法。教師在組織合作學習時，要合理分組，確保小組成員在數(shù)學基礎、思維能力和學習風格等方面具有一定的差異性，這樣可以使小組討論更加多元化，激發(fā)學生的思維碰撞。要明確小組合作的任務和目標，引導學生圍繞創(chuàng)新題進行有針對性的討論和交流。教師還可以在小組合作過程中進行巡視和指導，及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并給予幫助，確保合作學習的效果。教師可以鼓勵小組之間進行競爭，評選出表現(xiàn)優(yōu)秀的小組，激發(fā)學生的學習積極性和主動性。通過合作學習，學生不僅能夠提高解決高中數(shù)學創(chuàng)新題的能力，還能培養(yǎng)自己的綜合素質(zhì)，為今后的學習和生活打下堅實的基礎。5.2.3構(gòu)建知識體系構(gòu)建完整的數(shù)學知識體系對于提高學生的問題表征準確性和解決創(chuàng)新題的能力具有重要意義。教師應指導學生梳理數(shù)學知識，建立知識之間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡。高中數(shù)學知識內(nèi)容豐富，涵蓋了代數(shù)、幾何、函數(shù)、概率統(tǒng)計等多個領(lǐng)域，各個領(lǐng)域之間又存在著密切的聯(lián)系。學生在學習過程中，要注重對知識點的理解和掌握，不僅要知道是什么，還要明白為什么。在學習函數(shù)的單調(diào)性時，要理解函數(shù)單調(diào)性的定義、判斷方法以及在實際問題中的應用，通過對函數(shù)圖像的分析，深入理解單調(diào)性的本質(zhì)。只有對每個知識點都有深刻的理解，才能在解決創(chuàng)新題時準確地運用相關(guān)知識進行問題表征。建立知識之間的聯(lián)系是構(gòu)建知識體系的關(guān)鍵。學生要學會將不同章節(jié)、不同領(lǐng)域的數(shù)學知識進行整合，形成一個有機的整體。在學習數(shù)列時，可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，把數(shù)列看作是特殊的函數(shù)，運用函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的性質(zhì)。在解決立體幾何問題時，可以運用向量的知識，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，實現(xiàn)幾何與代數(shù)的有機結(jié)合。通過建立知識之間的聯(lián)系，學生在面對創(chuàng)新題時，能夠迅速聯(lián)想到相關(guān)的知識點，從多個角度進行問題表征，找到解題的突破口。為了幫助學生構(gòu)建知識體系，教師可以引導學生制作思維導圖、知識框架圖等。思維導圖是一種將思維可視化的工具，它以一個中心主題為核心，通過分支將相關(guān)的知識點連接起來，形成一個層次分明、結(jié)構(gòu)清晰的知識網(wǎng)絡。在復習高中數(shù)學函數(shù)知識時，學生可以以函數(shù)的概念為中心主題，展開分支，分別列出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶