探索小數(shù)本質(zhì)通過數(shù)數(shù)體驗其深刻含義

[摘"要]通過數(shù)數(shù)活動，學(xué)生可以在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，利用各種教學(xué)輔助工具進(jìn)行“數(shù)小數(shù)”的操作，直觀感知小數(shù)與分?jǐn)?shù)關(guān)系，深刻理解小數(shù)與整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。[關(guān)鍵詞]基本認(rèn)知活動;數(shù)形結(jié)合;小數(shù)的本質(zhì)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有理數(shù)范疇內(nèi)的小數(shù)可視為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的無分母表示形式，遵循十進(jìn)制位值原則。在整數(shù)十進(jìn)制的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過數(shù)小棒的活動能夠直觀地理解十進(jìn)制的原理。然而小數(shù)的形成過程涉及從整數(shù)到一位小數(shù)、進(jìn)而擴展到多位小數(shù)，這一過程相對抽象，對學(xué)生構(gòu)成了一定的認(rèn)知挑戰(zhàn)。在數(shù)小數(shù)的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生感知小數(shù)實際上是計數(shù)單位個數(shù)的累加過程，這與整數(shù)計數(shù)的本質(zhì)相似，并且與度量意識相一致。通過這種方式，學(xué)生能夠在具體操作中建立小數(shù)與整數(shù)之間的橋梁，加深對數(shù)的本質(zhì)的理解，為進(jìn)一步掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念奠定堅實的基礎(chǔ)。一、針對學(xué)生實際水平，應(yīng)用圖示法教授一位小數(shù)的認(rèn)識師：我們已經(jīng)掌握了整數(shù)的計數(shù)方法，比如我們可以一個接一個地數(shù)，或者是每十個一組地數(shù)。那么，你們知道小數(shù)怎么數(shù)嗎？1.嘗試數(shù)出小數(shù)0.3師：同學(xué)們，你們還記得是怎樣學(xué)習(xí)小數(shù)的嗎？現(xiàn)在，我想請你們用畫圖來表示0.3。（學(xué)生動手畫圖，并討論）老師：如圖1，誰能告訴我，哪幅圖可以幫助我們數(shù)出0.3，為什么呢？生1：我覺得③和⑥都不行，因為它們沒有被平均分成10份。我們要先把一個整體平均分成10份，然后數(shù)出其中的3份來表示0.3。師：非常好，你們能舉個例子來說明一下嗎？生2：當(dāng)然可以。就像我們把1元分成10個相等的部分，每個部分就是1角，那么3個這樣的部分就是3角，也就是0.3元。師：說得真好！那么除了③和⑥之外，其他的圖你們是怎么數(shù)出0.3的呢？生3：我們可以把1平均分成10份，每份就是0.1，那么2份就是0.2，3份自然就是0.3。所以，0.3就是數(shù)3個0.1，比如圖1中④和⑤，只要數(shù)其中的3條或者3格就可以;使用尺子，數(shù)3格也可以。師：看來你們都明白了，只要我們把一個整體平均分成10份，每份就是0.1;然后數(shù)出3份，就可以得到0.3。你們真是太棒了！2.嘗試數(shù)出其他一位小數(shù)師（微笑）：你們還能數(shù)出哪些小數(shù)？生4（興奮）：④號圖的空白區(qū)域代表了0.7。因為我們把它分成10份，每份就是0.1，7份就是7個0.1，加起來正好是0.7。師：非常好。再往下數(shù)，你們能數(shù)出哪些新的小數(shù)呢？生5：0.8和0.9。8個0.1加起來是0.8，9個0.1則是0.9。師：那如果我們再加上一個0.1呢？生6：那就變成了1，就像一個完整的正方形。生7：而且，如果我們在1后面加上一個0.0，那就是1.0，也就是10個0.1。師：通過這樣的方式，我們可以數(shù)出無限多的小數(shù)，每一個都有其獨特的意義和用途。3.回顧一位小數(shù)數(shù)法如圖2，教師指著數(shù)軸上的0和1之間，微笑著問：“同學(xué)們，這里的空間廣闊無垠，我們選一個點放在0和1中間（指向圖2），大家覺得這個神秘的點可以用什么數(shù)字來描述呢？”生8：老師，這個點肯定是個小數(shù)，因為它既不像0那樣小，也不像1那樣大，0和1之間已經(jīng)沒有其他的整數(shù)了。師：那你們能想象一下，如果我們把0和1之間的線段分成更多的小段，會發(fā)生什么呢？生9：如果我們把線段平均分成5份，如圖3，每份就是0.2。師：非常好，你們已經(jīng)找到了數(shù)軸上的秘密——通過分割和組合，我們可以找到無數(shù)個小數(shù)?，F(xiàn)在，請你們和旁邊的小伙伴分享一下，你們還能數(shù)出哪些其他的小數(shù)呢？教學(xué)思考：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師提出“整數(shù)可以逐一計數(shù)，十個十個地計數(shù)，那么小數(shù)能否進(jìn)行計數(shù)”的問題，激發(fā)了學(xué)生對小數(shù)概念的探究興趣。學(xué)生利用已有的小數(shù)知識，通過連續(xù)數(shù)數(shù)的實踐活動，逐漸理解并體驗到小數(shù)的計數(shù)單位“0.1”，并通過連續(xù)累加0.1可以實現(xiàn)類似整數(shù)計數(shù)的過程。此外，學(xué)生觀察到，當(dāng)繼續(xù)數(shù)下去，0.9后面緊接著的數(shù)是1.0，從而建立了小數(shù)與整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。為了深化學(xué)生對小數(shù)的理解，教師引入了數(shù)軸這一數(shù)學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生探討在單位“1”下如何進(jìn)行五等分計數(shù)。學(xué)生圍繞這個問題展開討論，并在數(shù)軸上操作，從而認(rèn)識五等分和十等分在計數(shù)過程中的共性。通過這樣的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生能打破原有的思維局限，即只有十等分才能找到小數(shù)，提高對小數(shù)計數(shù)方法的認(rèn)識。二、構(gòu)建計量單位，鏈接兩位小數(shù)，拓展至多位小數(shù)師：任意小數(shù)均能以0.1為計數(shù)單位計數(shù)嗎？1.構(gòu)建計量單位如圖4，教師拿出一個被信封遮住了一部分的正方形圖案，神秘地說：“想象一下，這個正方形代表著1元錢。如果我們把它平均分成10份，每1份就是1角錢，或者說是0.1元。如果這個正方形的一部分已經(jīng)被涂上顏色了，這部分恰好是7份，那么涂色部分代表了多少錢呢？”生1：涂色部分是7列，7個0.1元，所以就是0.7元！教師慢慢拿掉了信封，露出完整的正方形圖案（如圖5）。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，涂色部分并不是他們想象中的0.7元?！翱磥?.1元的計數(shù)方法在這里行不通了！”教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考：“此時，我們能不能找到一種新的方法來‘?dāng)?shù)’出這個涂色部分的具體數(shù)值呢？”此時，教師從信封中拿出了一些額外的材料（如圖6）說：“這些材料或許能幫助我們解決問題。大家快來看看吧！”生2：老師，我有新發(fā)現(xiàn)！如果我們把正方形分成100個小格子，每個小格子就代表0.01元。如圖7，涂色的部分正好是64個小格子，所以涂色部分就是64乘以0.01，等于0.64元。生3：老師，我還有另外一種方法。我們知道已經(jīng)有了6個0.1元，但是涂色部分還沒滿1個0.1元。所以，我們可以把剩下的0.1元再細(xì)分成10份，每份就是0.01元。您看，涂色部分還有4個這樣的小份，所以是4乘以0.01，等于0.04元。加上之前的6個0.1元，總共就是0.64元。師：非常好，你的方法也很巧妙。這里的每個小格子代表的是0.01元。2.對照辨析教師展示圖8，并提問：“同學(xué)們，你們覺得這兩種方法有什么相似之處和不同之處呢？”生4：左邊的方法是把整個正方形分成了100個小方塊，每個小方塊就像是1元錢的1/100，也就是0.01元。而右邊的方法是先把1元分成10份，每份是0.1元，然后把0.1元分成10份，每份是0.01元。其實，兩種方法最后都是把1元分成了100份，只不過起點不同。師：非常好，你們真的很會觀察！那么，這兩種方法在數(shù)數(shù)的過程中有什么不同呢？生5：左邊的方法是直接數(shù)數(shù)，就像我們數(shù)整數(shù)一樣，數(shù)有多少個0.01就直接寫成零點幾幾;右邊的方法是先數(shù)0.1的個數(shù)，再數(shù)0.01的個數(shù)。師：沒錯，小數(shù)的數(shù)法和整數(shù)的數(shù)法其實是一樣的，只是我們用的單位更小了。如圖9，如果我們把這個小數(shù)放到數(shù)軸上，你們能找到它的位置嗎？3.遷移類推師：我們已經(jīng)探索了一位和兩位小數(shù)的奧秘，你們猜猜看，三位小數(shù)代表什么呢？生6：老師，三位小數(shù)表示的是千分之幾！師：對的。在什么樣的情況下，我們會遇到三位小數(shù)呢？生7：如果我們把1平均分成1000份，那么每1份就是0.001。生8：同樣，我們也可以先把0.01平均分成10份，這樣也能得到0.001。師：非常好，誰能舉幾個三位小數(shù)的例子呢？生9：0.666。師：0.666這個數(shù)能數(shù)出來嗎？生10：當(dāng)然能，只要數(shù)666個0.001就可以了。生11：我們還可以先數(shù)6個0.1，再數(shù)6個0.01，最后數(shù)6個0.001，就能數(shù)出0.666了。師：除了0.666，你們還能數(shù)出其他的三位小數(shù)嗎？教學(xué)思考：經(jīng)過一系列的探索活動，學(xué)生逐漸認(rèn)識到使用0.1作為基本計數(shù)單位存在局限性，無法涵蓋所有小數(shù)的計數(shù)需求。為了解決這一問題，學(xué)生自主提出并創(chuàng)造了新的計數(shù)單位——0.01。在對不同分法進(jìn)行比較和分析的過程中，學(xué)生不僅能加深對0.01這一新計數(shù)單位的理解，而且能發(fā)現(xiàn)不同計數(shù)單位之間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生利用0.01這一新的計數(shù)單位進(jìn)行計數(shù)練習(xí)，在不斷的實踐中通過遷移類推的思維方式，自然地聯(lián)想到其他可能的計數(shù)單位，如0.001、0.0001等。這一發(fā)現(xiàn)不僅擴展了學(xué)生的認(rèn)知范圍，也為他們提供了更加靈活和多樣化的計數(shù)工具。三、利用幾何圖形深化對數(shù)的理解，探索數(shù)域的擴展1.從平面展示小數(shù)形成如圖10，教師問：“同學(xué)們，我們是怎么一步步找到這些奇妙的計數(shù)單位的呢？”學(xué)生瞪大了眼睛，充滿好奇。生1：老師，我們是把已經(jīng)找到的那個計數(shù)單位，再像切蛋糕一樣切成10個小塊，就能得到一個更小的計數(shù)單位。師：你們有沒有注意到，每相鄰的兩個計數(shù)單位之間，有一個共同的秘密呢？生2：老師，我發(fā)現(xiàn)了，每相鄰的兩個計數(shù)單位之間，它們的進(jìn)率都是10。就好像我們從1數(shù)到10，再從10數(shù)到100，每次都是增加了10倍。2.從立體展示小數(shù)形成如圖11，教師手里拿著一個虛擬的正方體模型，對學(xué)生說：“大家想象一下，如果我們用這個正方體來代表數(shù)字1，那么0.1、0.01和0.001分別會是什么樣？”生3：老師，我知道。我們可以把這個正方體切成10份，每1份就是1/10，也就是0.1。師：很好，那0.01和0.001又該怎么切呢？生4：如果我們再把0.1這1層切成10份，每1條就會是1/100，也就是0.01。最后，如果我們把0.01這1條切成10份，每1小塊就是1/100，也就是0.001。師：太棒了，你們就像小小的數(shù)學(xué)家一樣，用分割的方法把一個正方體變?yōu)榱烁〉牟糠?，每一部分都對?yīng)一個更小的數(shù)字。這就是我們用圖形來直觀表示小數(shù)的方法。教學(xué)思考：考慮到圖形工具在教學(xué)中的作用，本研究旨在通過圖形化手段梳理整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位，以實現(xiàn)兩個主要目標(biāo)：首先，建立整數(shù)與小數(shù)之間