普通物理學(xué)教程 力學(xué) 第二版課后題答案(第四、十章)

第四章動能和勢能

思考題

4.1起重機起重重物。問在加速上升、勻速上升、減速上升以

及加速下降、勻速下降、減速下降六種情況下合力之功的正負(fù)。又：

在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機吊鉤對重物的

拉力所做的功是否一樣多？

［解答］

在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減

速下降六種況下合力之功的正負(fù)分別為：正、0、負(fù)、正、0、負(fù)。

在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機吊鉤對重

物的拉力所做的功不一樣多。加速上升F>mg；勻速上升F=mg。

4.2彈簧A和B,勁度系數(shù)，（1）將彈簧拉長同樣的距離；（2）

拉長兩個彈簧到某一長度時，所用的力相同。在這兩種情況下拉伸彈

簧的過程中，對那個彈簧做的功更多？

［解答］

（1）KA>KB拉長同樣距離

AA=*\△產(chǎn)

2

AR=-KBA^,叱叱AA

BB

2}KA>KB）AA>AB.

⑵

,原長

FB=KB"

OZA

.原長

x旦

B-A/xj^wy^%

KB

OZB”

=

KA4%與

A=-Kx2」K=

AAA

A22K；2KA

A-1K”2」K互」互

BBB

22BK；2K

B}KA>仆,A4<AJJ

4.3"彈簧拉伸或壓縮時，彈簧勢能總是正的J這一論斷是否

正確？如果不正確，在什么情況下，彈簧勢能會是負(fù)的。

［解答］

與零勢能的選取有關(guān)。

4.4一同學(xué)問：“二質(zhì)點相距很遠，引力很小，但引力勢能大:

反之，相距很近，引力勢能反而小。想不通”。你能否給他解決這個

疑難？

［解答］

設(shè)兩物體（質(zhì)點）相距無限遠處為零勢能。

4.5人從靜止開始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底

的摩擦力是否做了功？人體的動能是哪里來的？分析這個問題用質(zhì)

點系動能定理還是用能量守恒定律分析較為方便?

［解答］

(1)作用于鞋底的摩擦力沒有做功。

(2)人體的動能是內(nèi)力做功的結(jié)果。

(3)用質(zhì)點系動能定理分析這個問題較為方便。

4.6一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和是否總是負(fù)的？正的？為

零？

［解答］

不一定。

4.7力的功是否與參考系有關(guān)？一對作用力與反作用力所做

功的代數(shù)和是否和參考系有關(guān)?

［解答］

(1)有關(guān)。

如圖：木塊相對桌面

位移(sT)木板對木塊的滑

動摩擦力做功f(sT)若以木

板為參照系，情況不一樣。

(2)無關(guān)。相對位移與參照系選取有關(guān)。(代數(shù)和不一定為零)

4.8取彈簧自由伸展時為彈性勢能零點，畫出勢能曲線。再以

彈簧拉伸或壓縮到某一程度時為勢能零點，畫出勢能曲線。根據(jù)不同

勢能零點可畫出若干條勢能曲線。對重力勢能和萬有引力勢能也可如

此作，研究一下。

［解答］

(1)彈簧原長為勢能零點

EP=-KA-

P2

2

(Ep-0=￡KAXU=^KA--Ep—Ep=-A??)

設(shè)x=x。處勢能為零。

E.-Ep%=k也

“人o

EPX=；"-如；

(2)重力勢能：y二0處勢能為零

y=h。處勢能為零

Epy-Ep%=￡mgdy=mgy-mgh0

Ep(y)二叫y-rngh。

y=-h。處勢能為零

Epy-EP(.lb)=￡mgdy=mgy+mgh()

萬有引力勢能與上雷同。兩質(zhì)點距離無限遠處勢能為零

習(xí)題

4.2.2本題圖表示測定運動體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展

開跨過理想滑輪，下懸重物50kgo人用力向后登傳送帶而人的質(zhì)心

相對于地面不動。設(shè)傳送帶上側(cè)以2ni/s的速率向后運動。問運動員

對傳送帶做功否？功率如何？

［解答］

人作用到傳送帶上水平方向的力，大小為50g,方向向左。因為

受力點有位移，所以運動員對傳送帶做功。

N=F^=mgXu=50kgX9.8N/kgX2m/s=980w

4.2.3—非線性拉伸彈簧的彈性力的大小為￡二*"匕1,-表

示彈簧的伸長量，3為正。（1）研究當(dāng)卜2>。*2<°和k?二0時彈簧的

df

勁度版有何不同；［2）求出將彈簧由。拉伸至、時彈簧對外做的功。

［解答］

（1）根據(jù)題意f=k/+k/3

"=k+4k,2

所以彈簧勁度為出一?2

史>0

當(dāng)k2>°時，由于K>0,所以d2,彈簧的勁度隨彈簧的伸長

量的增加而增加。

df

當(dāng)k2<。時，彈簧的勁度隨彈簧的

伸長量的增加而減小。

d￡=k

當(dāng)k?=（）時，出?彈簧的勁度不

變。

以上三種情況的彈簧勁度系數(shù)如

右圖所示：

（2）將彈簧由。拉伸至七時，彈簧對外界所做的功是：

A二一「（k/+k2/）d1一彳）一：卜2（4-1）

“I24

=_；1（/；_彳）_3（1_1）（彳+彳）

=-3+品?+可?-蜻

當(dāng)。~2時?，A<0.拉伸，外界做功，彈性力做負(fù)功。

當(dāng)。時，A>0.縮短，彈性力做正功。

4.2.4一輕細(xì)線系一小球，小球在光滑水平面上沿螺線運動，

繩穿過桌中心光滑圓孔，用力F向下拉繩。證明力F對線做的功等于

線作用與小球的拉力所做的功。線不可伸長。

［解答］

設(shè)T為繩作用在小球上的力。力T對小球所做的功為人丁=｛「出

將山分解為沿r方向和與「垂直方向的兩個分位移山,四（「為對

。點的位矢）

如圖:

AT=Js，dr=好叫+di^］=JsT-dr,

又??,繩子不可伸長

F=T

???幽="（d是力F的作用點的

位移）

..jsTdr=jF&

4.2.5一輛卡車能夠沿著斜坡以15km/h的速率向上行使，斜坡

與水平的夾角的正切tga=°?02,所受的阻力等于卡車重量的0.04,如

果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的速率是多少？

［解答］

取卡車為隔離體，卡車上下坡時均受到重力mg、牽引力F、地面

支持力N和阻力f作用。受力分析如圖所示：

上坡受力分析下坡受力分析

上坡時：下坡時：

?.?卡車作勻速直線運動?.?卡車作勻速直線運動

F-mgsina-f=0?.F+mgsina-f=0

F=m?sina+0.04m?F=mgsina+0.04mg

卡車的功率卡車的功率

N1.=F?=(mgsina+0.04mg)i/[N5=F-v=(-mgsin6z+0.04mg)vT

terr/ta/y

=(mgi+0.04mg)v=(-mg]-+0.04mg)v卜

t/tga2+l

由題意：

N上=NK

J,+0.04

vF=(4力+1---------Ji/1.=45(km/h)

tg^+()04

4.3.1質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動。木塊

與一不可伸長的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大

小不變的力T=50N.木塊在A點時具有向右的速率%=6m/s。求力T

將木塊自A拉至B點的速度。

由動能定理：

22

lmvB-lmvA=fABf.d,-

式中

A...=fTdr=［Tcoscrdr=fT.dv

JABJOJO7（4-X）2+32

4(4v)

AT=[50x--；d(4-x)

則上式°J(4-X)2+32

=-50x7(4-x)2+321=100(J)

m+2AT，、

vB=J——---------=20.9(m/s)

vm

注：關(guān)于T做功還有一種解法：

fTxdr=7[V42+32-3]=2T=1(X)(J)

JAfi

其中T為常量，其受力點的位移可利用三角形求。

4.3.2質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長的輕

繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠小于它到桿的距離。繩端作用以

恒力F,F=60N.木塊在處有向上的速度％,=2m/s,求木塊被拉至B時

的速度。

-0.5m」0.5m

/,X///.///

-BX\"1

0.5mFo.5m工F

T5

?//z/zz///

［解答］

重力做功

Av=JAAWXdr=-WxAB=-5.88(J)

4=60x(x/2x0.5-0.5)=12.43(J)

121，AAA

5m%-5m6=人總=A”,+AF

2A+mv^v,、

噓二—也fi------±=3.86(m/s)

m方向向上

4.3.3質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既

未壓縮也為伸長的位置，并以速度%向右運動。彈簧的勁度系數(shù)為k,

物體與支撐面之間的滑動摩擦系數(shù)為求證物體能達到的最遠距離

，為k［V〃］喈人

［解答］

由:

A1，12

A=—mv'—mv

22°n

A=0-gmi/：

A=—//mg,v+工-ICAXIV

=-//mgA--gkx2

~,-m+—kx2

所以：2°'登2

解一元二次方程:

由

x=-b±^-4ac

一〃mg±〃mgJ+M

x=-----------!--------

-皿…卜黑

舍去負(fù)號:

4.3.4圓柱形容器內(nèi)裝有氣體，容器內(nèi)壁光滑。質(zhì)量為m的活

塞將氣體密封。氣體膨脹后的體積各為Y和％,膨脹前的壓強為B。

活塞初速度為乙。（1）求氣體膨脹后活塞的末速率，已知氣體膨脹時

氣體壓強與體積滿足PV=恒量。（2）若氣體壓強與體積的關(guān)系為PV：

恒量，/為常量，活塞末速率又如何？（本題用積分）

［解答］

v

1212f2PLiVf.PF：I?7

—mv——mvn0=-^^dv=v2/-v.）

（2）22Jv,vri.z

y磊…評

4.3.5。'坐標(biāo)系與。坐標(biāo)系各對應(yīng)軸平行。0'相對于。沿x軸

_12I.

以乙作勻速直線運動。對于。系，質(zhì)點動能定理為

匕，七沿X軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對于O'系，動能定理也取這

種形式。

[解答]

r

?[x=x-v0At

,=

Ax'=Ar-v0At,vv-v0

.?.FAr'=FAx-F匕)At?AX'

FAx=FAr'+F/At

匕*=|m(%+匕)2-；m(<+K)2

2

=；m-gmv[+v0(mv\-mv{)

2

FAF+Fr0At=-mi/f—mv[+v0(mvj-mv[)

,.22

由動能定理得：

FAt=my；-mv\

.?.Fv()At=v0(mVj-m匕')

1—_/口FAJ/=—mv'2--mv[2

最后可得：2~2

說明相對于。'系，動能定理的形式不變。

4.3.6帶電量為e的粒子在均勻磁場中偏轉(zhuǎn)。A表示發(fā)射帶電

粒子的離子源，發(fā)射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后與

C處在磁場洛侖茲力作用下偏轉(zhuǎn)，然后進入漂移管道D。若粒子質(zhì)量

不同或電量不同或速率不同，在一定磁場中偏轉(zhuǎn)的程度也不同。在本

題裝置中，管道C中心軸線偏轉(zhuǎn)的半徑一定，磁場感應(yīng)強度一定，粒

子的電荷和速率一定，則只有一定質(zhì)量的離子能自漂移管道D中引

出。這種裝置能將特定的粒子引出，稱為“質(zhì)量分析器”。各種正離

子自離子源A引出后，在加速管中受到電壓為V的電場加速。設(shè)偏轉(zhuǎn)

磁感應(yīng)強度為B,偏轉(zhuǎn)半徑為R.求證在管中得到的離子質(zhì)量為

eB2R2

m=--------

2U.

［解答］

正離子從離子源引出后，在於C

加速器中受到電壓V的電場加速。

正離子獲得的動能為\$3

E=—mv2=eV,一4八、

K2（電勢能）

，—/zeV

正離子的速度‘m

由于正離子在磁場受到洛侖茲力FF"B的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)

0

V"

m—=eBv

R

eBvR_eBR_eBR

4.3.7輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又

套在可沿水平方向移動的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為

200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=20.0N作用下移

至圖中位置，球圓柱體的速度，線長20cni,不計摩擦。

Wj=n\g,框架重力W2,輕繩拉力T和作用在框架上的水平力F。其中

輕繩的拉力T和W?不做功。質(zhì)點組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作

用力R、R，，由于光滑，所以R、R，故功之和為零。質(zhì)點組所力情況

如圖：

根據(jù)質(zhì)點組動能定理：

5m匕2+；mv；=一mg，（l-cos30）+F-sin30°（1）

匕為圓柱體的絕對速度

匕為框架的絕對速度。

由于匕=%+腺財（見下圖）

將此式投影到圖中所示的沿水平方向的。x軸上，得:

v2=V)-cos30

帶入（1）式中

—m匕2+gm(匕?cos30°)2=n、g，(cos3()-1)+F，?sin300

解得：v,=2,4(m/s)

4.4.1二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧

1和2的勁度系數(shù)分別各為心和心。它們自由伸長的長度相差/。坐標(biāo)

原點置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在"XW/和x<0時彈性勢能的

表示式。

［解答］

彈性力/=一%以

=-k/x-)

=k?-x)

夕卜力為Fid)

當(dāng)OKxq時，L無勢能，只有I有勢能。外界壓縮彈簧卜2做功使

卜2勢能增加。設(shè)原點處為勢能零點，則：

Ep_(_gk,)=J一元)(ir

Ep=Jk](f-x)d(，一x)-7kJ,

J2

Ep=；k4-k/x

乙

x<0時：原點為勢能零點

對于匕外力做功力=小加=/

對于k外力做功2「一1(一夭八夭一/

Ep_(一；k/2)=gk2/+gk|d+gk/2_k/x

2

Ep=—(k)+k2)x-k/x

4.5.1滑雪運動員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達

平臺C時，其速度剛好在水平方向，已知兩點的垂直高度為25m。坡

道在B點的切線方向與水平面成30°角，不計摩擦。求(1)運動員離

開B處的速率為?，(2)B,C的垂直高度差h及溝寬d,(3)運動員

到達平臺時的速率%。

［解答］

(1)運動員在A到B的滑動過程中，受到了重力W和地面支持

力N作用。(忽略摩擦)。重力為保守力，支持力N不做功，所以機械

能守恒。

以B點為重力勢能零點，得到運動員離開B處的速率：

mgAh=gmi/；

vB=J50g=22.14(m/s)

(2)運動員從B到C做拋物線運動，當(dāng)?shù)竭_C點時，由題意知:

心沿水平方向，說明正好到達拋物線的最高點。所以B、C的垂直高

度

sin230vl

h=—..............=—=6.25(m)

2g8g

(3)因為運動員做拋物運動時在水平方向不受力，所以水平方

向的動量守恒:

mvc=nii/Bcos3()

vc=vBcos30=19.17(m/s)

(4)d的高度:水平射程的一半

2

1v

d=—(―sin2^)=21.65(m)

2g

4.5.2裝置如圖所示:球的質(zhì)量為5kg,桿AB長1cm,AC長0.1m,

A點距。點0.5m,彈簧的勁度系數(shù)為800N/m,桿AB在水平位置時恰

為彈簧自由狀態(tài)，此時釋放小球，小球由靜止開始運動。球小球到鉛

垂位置時的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計摩擦。

［解答］

包含球桿彈簧的質(zhì)點組受力

如圖所示:

N不做功。

重力和彈性力為保守力（不

計摩擦）

系統(tǒng)機械能守恒

設(shè)桿水平時勢能為零

1。1,

0=-my--mg(AB)+—k(AQ-

(1)

?.?，o=VOA2+AC2=Vo.52+o.12=0.5099(m)(水平位置)

=(OA+AC)-/O=0.6-0.5099=0.09(m)(2)

將(2)式代入(1)式

-mv2-mg(AB)+-k(0.09)2=0

22

mv2-2mg(AB)+k(0.09)2=0

_Jmg(AB)—k(0.09)2

Vm

=J2g(AB)--(0.09)2

Vm

=4.278(m/s)

4.5.3物體Q與一勁度系數(shù)為

24N/m的橡皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)

軌道上運動，物體Q在A處的速度為

1.Om/s,已知圓環(huán)的半徑為0.24m,物

體Q的質(zhì)量為5kg,由橡皮筋固定端至

B為0.16m,恰等于橡皮筋的自由長度。

求（1）物體Q的最大速度；（2）物體

Q能否達到D點，并求出在此點的速度。

［解答］

（1）取物體Q為隔離體

在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。

而在水平方向只受到彈力F和光滑圓弧的水平方向的作用力N作

用，戶為保守力，不做功。所以機械能守恒。

設(shè)彈簧勢能零點為彈簧原點處：

12；A/21

5m唳+”(△，、).=/

（B點速度最大）

%二》、+&△，)；

Vm

A=OA-OB=7(OB+R)2+R2-OB=0.3065(m)

vB=1.2(m/s)

(2)在D點彈性勢能為：

1

?2

EPD=-k(2R)=2.76(J)

一、，—mVR=-mvi+E

因為2B20pPnD

=0.58(m/s)

所以

4.6.1盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)。粒子與氫原

子相碰時，可使之迅速運動起來。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子

速度可達a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%o試

證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且。粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四

倍）。

［解答］

設(shè)。粒子的質(zhì)量為4m,氫原子的質(zhì)量為m；。粒子的初速度為

匕。，氫原子的初速度為匕。二°;

正碰后，。粒子的速度為0,氫原子的速度為七。

匕二（1叫一1叫）叱0+2111必0

由公式：2"m'+m2

將以上數(shù)據(jù)代入:

―3m~+8m匕。句6匕。

入射。粒子的能量：2’10

氫原子碰后的能量：;m(L6匕。了

則:

4.6.2m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機車在水平軌道上自

右方以速率u滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進了距離s然后靜止。

求軌道作用于車的阻力。

［解答］

選取機車和車隨為質(zhì)點組

掛鉤時為完全非彈性碰撞。因為沖擊力大于阻力，可視為動量守

恒。

m+M

?一,…、()--(M+m)V2=-fs

撞后：由動能定理2

(M+m)V?_(M+m)MV_M?/

」~2s-2s(M+m)2-2s(M+m)

4.6.3兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時,

兩球恰能接觸且懸線平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度，釋

放，求該球彈回后能達到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會

發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。

［解答］

(1)A球碰前的速度，由機械能守恒:

1，「

3m6o=mg%

^Ao=V2gh?

(1)

A與B發(fā)生非彈性碰撞

mi/

Ao=-mvA4-mvB(2)

e?二噓一吸_/一1

又知：力―一力。(3)

由(1)(2)(3)式得：

”寧師⑷

A球上升高度：機械能守恒

^mv；0=mgh2

4I(1-e)2_.(l-e)\

h2=V-=------—，2g%%

2g2g44

(2)若兩球發(fā)生完全彈性碰撞e=l

由(4)式VA=0

再由(2)式?二唳0

即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運動。當(dāng)B球上升后(h-

V

高度)又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。腺=°A=-VAO,A球以

速度fA。開始向上運動。如此往復(fù)。

4.6.4質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用

1m長的繩子懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度。問擺

沿鉛直方向升起若干。

［解答］

第一階段，動量守恒

mv0=MV+mv

V_m(yo-v)

M

第二階段，機械能守恒

^MV2=Mgh

V21m2(v-v)2

h=—=----------\0-----

2g2gM2

0.0022X(500-100)2

2x9.8xl2

=0.03(m)

4.6.5一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長

lOcmo今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架。

秋此框架向下移動的最大距離。彈簧質(zhì)量不計。空氣阻力不計。

［解答］

鉛塊下落到框底速度為

v10=V2gh(1)

接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈

性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，

可視為動量守恒。

m匕o=2mv

「聞

(2)

（由于碰撞時間短，下降距離為零）

以后以共同速度下降：機械能守恒

設(shè)彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢能零點。碰撞前

彈簧伸長為‘。，碰撞后質(zhì)點移動的最大距離為，。

1,1,1,

--2my-+-k%-2mg'=-k(^+^r-2mg(+%)

oo(3)

k=鱉

依題意‘。(4)

(2)(4)式代入(3)式：

-_2?小=0

，=/°±J.+/()h=0.1±Vo.I2+0.1x0.3=0.1±0.2

舍去負(fù)號項，/=0.3m=30cm

4.6.6質(zhì)量為〃『0.790kg和〃72-0.800kg的物體以勁度系數(shù)為

10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì)

量為0.01kg的子彈以速率Y100m/s沿水平方向射于阿內(nèi)，問彈簧最

多壓縮了多少?

［解答］

第一階段：完全非彈性碰撞%

mv=(m+m)v

oof0(1)

第二階段：彈簧被壓縮最甚，動量

守恒。

+m0)i/=(m1+m2+m0)V⑵

（V為共同速度）

再由機械能守恒：

111

-(+m)v?=-(m,+m+m)V*?-+-kUO?

Jmi0J20■max(3)

有(1)(2)(3)式解出：

7nm=m(M'(—；-------JI=0.25(m)

\kiri)+m001)+m2+m0

4.6.7-10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量

為100g小鳥體內(nèi)。小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落

地處與樹枝的水平距離。

［解答］

第一階段是子彈擊中小鳥，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞

水平方向動量守恒：

=（mam>（v為子彈、小鳥共同速度）

第二階段是子彈和小鳥一起做平拋運動

小鳥落地時間：t一

0.01xllOxpH12=K）（m）

水平距離:0.01+0.1V9.8

4.6.8在一鉛直血內(nèi)有一個光滑軌道，左囹是一個上升的曲線,

右邊是足夠長的水平直線，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個質(zhì)點，B

在水平軌道上靜止，A在曲線部分高h處由靜止滑下，與B發(fā)生完全

彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲線軌道某處，并再度下滑，已知A、

B兩質(zhì)點的質(zhì)量分別為叫和生。求至少發(fā)生兩次碰撞的條件。

［解答］

分三個階段：

第一階段，A第一次與B完全彈性碰

撞。

設(shè)，A撞前速度為匕。，撞后速度

為人；

B撞前速度為零，撞后速度

為4。

由公式：m'+m2

ITlj+lTl;,

,_（網(wǎng)一m2）匕?！璤2mM0

V\\~，“21―；

町+m2rn}+tn.

要使質(zhì)點返回，必須匕一°，即利

第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道c

由機械能守恒：

12,,12

萬小小=5班/（%是再度下滑到平面軌道的速

度）

得匕2=匕；,匕2二一匕|

第三階段，A,B再次碰撞。

要求匕2>~,即一匕。心將上面的人,?代入此式

m,-肛2ml

-即3E%

即m2>3叫

這是A,B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。

4.6.9一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖示。CD長2。

鐵箱與地面間無摩擦。鐵箱被加速至0時開始做勻速直線運動。后來,

鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時間鋼球與BD壁

相碰？

［解答］

選取鐵箱和鋼球為質(zhì)點組，以地面為jBJ。

參考系，坐標(biāo)系。式。_

第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性二~1一.

碰撞。

設(shè)匕。，匕為鐵箱碰撞前后速度，

%),%為小球碰撞前后速度。

由完全彈性碰撞：

匕0一4

匕。_匕。=匕一匕

:匕0=%，％()二°，二唳一匕二匕)

即碰撞前后鋼球相對鐵箱的速度為。。

第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運動，直至與BD相碰。

取鋼球為研究對象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑,

所以小球在箱內(nèi)作勻速直線運動?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時間間

f

隔為

4.6.10兩車廂質(zhì)量均為Mo左邊車廂與其地板上質(zhì)量為M的貨

箱共同向右以％運動。另一車廂以2%從相反方向向左運動并與左車

廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上滑行的最大距離為一求：

(1)貨箱與地板間的摩擦系數(shù)〃；

(2)車廂在掛鉤后走過的距離，不計車地間摩擦。

［解答］

(1)第一步：兩車廂完全非彈性碰撞，—色＜

2———1------------

MVQ-2MV0=2MV「用回V二

第二步：內(nèi)力作功，使體系動能改變，由動能定理以地面

為參照系;

O-EKO=-/，

.二:必說+2X；M（￡）2喏

3

4Mg=-Mv（5

3d

?,〃=d

4g，

（2）碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動能守恒。

系統(tǒng)的動量：加。-2雙3）=°系統(tǒng)總動量為零，質(zhì)心不動。

MM+2MX2_

一而一="（常量）（1）

MM+2MX2=3Mxe（2）

1

A/（x）+4-2.x2）4-2m（x2+AX2）=3Mxc（3、）

解（2）（3）式得：“2二-3

4.7.1質(zhì)量為m的笊核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的。粒子發(fā)

生完全彈性碰撞，氣核以與原方向成90°角散射。（1）求。粒子的運

動方向，（2）用u表示〃粒子的末速度，（3）百分之幾的能量由笊核

傳給。粒子？

［解答］

（1）由動量守恒：

x:mu=2nivacosa

Jy:0=mu-2/nvusinaJ

u=2vacoscr------(I)

u=2vasina------(2)

由e=l(完全彈性碰撞)

在乙方向上有關(guān)系式：

吸-(一〃'sina)匕，+ursina

e=———:--------=---------

ucosaucosa

ucosa=va+usina(3)

(1)(2)式代入(3)式得：2cos2a=l+2sii?a,a=30

u\［3

v=-------=—u

(2)由(1)式"2cos303

；x2皿當(dāng)”)22

J_23

(3)動能比：

4.7.2參考3.8.7題圖。桑塔娜空車質(zhì)量為小=106、101^,載質(zhì)

量為70kg一人，向北行駛。另一質(zhì)量為152x10kg的切諾基汽車向東

行駛。而車相撞后連成一體，沿東偏北。=30?；鰀=16m而停止。路

面摩擦系數(shù)為〃=。8。該地段規(guī)定車速不得超過80km/o問那輛車違

背交通規(guī)則？又問因相撞損失多少動能?

［解答］

碰后的共同速度

2

+〃?2)g"=3(叫+m2)V

〃(

V=yj2gd(1)

嗎%o=(,wi+tn2)丫cosa(2)

"［匕()=("4+tn2)Vsina(3)

匕0=(叫+，%)smaj2〃gd=18.57Q〃/s)=66.88(如〃〃)

解得：叫

匕。="詞=23.92(加s)=86.1(?/h)

m2

切諾基超速。

碰撞損失的動能：回《叫+)%)一如+〃”

第十章波動和聲習(xí)題

10.2.1頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感

覺.0C時，空氣中的聲速為331.5m/s,求這兩種頻率聲波的波長.

［解答］

?.?》=見%=20Hz,/2=20000Hz

v=331.5(m/s)

4=_v=33L5=1658(m)

%20

331.5

=16.58xl0-3(m)

20000

10.2.2一平面簡諧聲波的振幅為0.001m,頻率為1483Hz,在20c

的水中傳播，寫出其波方程.

[解答]

已知A=.001m%1483Hz，表P309知波速1483m/so

設(shè)0-x軸沿波傳播方向，x表示質(zhì)元平衡位置坐標(biāo)，y表示質(zhì)心

相對平衡位置的位移，選坐標(biāo)原點處位相為零的時刻為計時起點。即

2^-x

原點處初相為零。二°。則位于處的體元相位落后才。即：

八/2;rX\▲/2兀x、&/X、

y=Acos(/yt----)=Acos<y(t------)=Acos①(l—)

2入v

y=Acos2^y(t--)=0.0()1cos(2996m-2/rx)

v

10.2.3已知平面簡諧波的振幅A=0.lcm,波長1m,周期為1。飛，

寫出波方程(最簡形式).又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多

少？

[解答]

選坐標(biāo)原點處位相為零刻為計時起點。0-x軸沿波傳播方向，則

可得波的最簡形式：

Ar，tX、

y=Acos2----)

T4

代入已知數(shù)據(jù)得

y=103cos27r--j-)=103cos2^-(1OOt-x)

設(shè)波源處為x。，則X|=XO+9,X2=X0+1O

因此位相差是：2^[lOOt-(xo4-9)]-2^-[10Ot-(xo+lO)]=2^

10.2.4寫出振幅為A,V=f,波速為S=c,沿Ox軸正方向傳播的

平面簡諧波方程.波源在原點0,且當(dāng)t=0時，波源的振動狀態(tài)被稱

為零，速度沿Ox軸正方向.

［解答］

波源振動方程:

y=Acos(69t+。)

,/t=0時，y0=Acos^=0,^=±—,v0=-Aosin”0,sin^<0

因此波源振動方程為：

A,萬、

y=Acos（69t-y）

2G

任一X處的位相比波源的相位落后R,得波方程為

7127rx

y=Acos(fyt

~2一_~

冗2萬八

=Acos(2^yt

2y

X7T

-Acos[2^y(t——)-y]

將已知量代入得：

y=Acos［2M（t--）-

10.2.5已知波源在原點（x=0）的平面簡諧波方程為

y=Acos（bt—ex）,

A,b,c均為常量。試求：（1）振幅，頻率，波速和波長；（2）寫出在

傳播方向上距波源處一點的振動方程式，此質(zhì)點振動的初位相如何？

［解答］

y=AcosS-ex）與平面簡諧波方程的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=Acos.-kx）比較

可得:

b

y=co---=----

(1)振幅為A,頻率：2〃2乃；

①bv_b/c_2TT

y=—=_/t=—=---------=

波速kc,波長/727rc

(2)x=，時，該點的振動方程式為：

y=Acos(bt-c)

此質(zhì)點振動的初位相為23,

10.2.6一平面簡諧波逆軸傳播，波方程為

y=ACOS2/Z7(H----1-3)

v

試?yán)酶淖冇嫊r起點的方法將波方程化成最簡形式。

［解答］

y=Acos2^y(t+-+3)ey=Acos2^y(f+-)

?,最間形式應(yīng)為v

如改變計時起點后的新計時系統(tǒng)以t'應(yīng)滿足

,XXc

t4--=tH---F3_

VV,因此t'=t+3

即將計時起點提前3秒，就可將波方程化成最簡形式

x

y=Acos2*l'+—)

v

_x_3

10.2.7平面簡諧波方程'=C0S?+試用兩種方法畫出t=時

的波形圖。(SI)

［解答］

x3

y=5cos2^(r+—),；=—『

■45的波形圖。

方法一：有方程求得。A=5〃Z,%=4〃7

y=5cos(2^-|-+2；rX、0,6冗24工、6.T

)=5cos(—+—),%=—y

4

找出對應(yīng)于方程的各(x,y)點,例如:

x=(Xy=-4.045;X

y=0,x=-1.4：

y=5,x=-2.4

通過各點描繪出所求波形圖(右圖)。

方法二：由方程求得

先畫出°==的圖形，在將縱坐標(biāo)軸向右移動與：

x64/53

—0=-----=>x,=-

22萬“5

即向右移動5,就可以得到所求的波形圖。

1

,_共，l_lZdS=rcos24(,-2)4r=0.()lm,T=12s,；l=().30m,一,

10.2.8對干平面簡諧波T/'網(wǎng)出

x=0.20m處體元的位移-時間曲線。畫出l=3s,6s時的波形圖。

［解答］

y=rcos2^-(—r=0.0lw,T=12s,4=().3()加

(1)T2

得)，=0.01cos2^-(—-六)

又r=%=0.20/n

y=0.01cos2^-(-----)=0.01cos(―t

120.36

可求得T=12s,t=0時;

4萬

y=0.01cos()=-0.05

3

(2)t=3s>6s時波形圖

3x

a.y=0.01cos2乃()

120.30

八?2萬工、

=0.01cos(----------)

20.30

712兀X

x=0,y=0;----------

20.30

b.y=0.01cos2^-(9-上)

12().3()

2萬克

=0.01cos(乃

030

712

其相位與t=3s時相差2,所以將t=3s的波形圖向右移4,即得

t=6s時的波形圖。

10.2.9二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡諧波在某瞬時的

波形圖，說明此時MX?',以及。44各質(zhì)元的位移和速度為正還是為

若波用余弦函數(shù)表示，則所求結(jié)果如下表.

橫坐標(biāo)位移速度相位

27r

X1正最大0

X2負(fù)負(fù)n象限

71

X

30負(fù)最大~2

2乃

備正最大0

&負(fù)正m象限

正最大3兀

40T

10.2.10圖(a)、(b)分別表示t=O和t=2s時的某一平面簡諧波的

波形圖。試寫出此平面簡諧波波方程。

(b)

［解答］

由圖知A=2〃S=2〃Z

由圖(a)知，原點處質(zhì)元t=0時，位移最大,速度為零，因此原點處質(zhì)元

初相。=0.

比較t=0和t=2s的(a)(b)圖知［+〃"=

Q

T=--；s,(〃=0,l,2,)

因h此ib^4/2+1

取〃=0,T=8s,

將A%。，了之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一

個表達式：

fx

y=Acos[27r(-----)+°

tx

—2cos[2/r(———)+0

=2cos(—

10.3.1有一圓形橫截面的銅絲，手張力1.0N,橫截面積為1.0，所2?

求其中傳播橫波和縱波時的波速各多少？銅的密度為8,9xl0'奴//，

銅的楊氏模量為12x10”/罐

［解答］

\p=S.9xl03kg!m\r=i2xl09N/m2

v=1=J12xl0=i［6x10。(〃7/s)

V8.9xl()3

可把很細(xì)的銅絲看作柔軟的弦線(設(shè)弦線的密度為〃)，計算在其中傳

播的橫波的波速.

vT=l.0N

〃=lxl.Ox10*>:8.9x10'=8.9x10-3

“二『忌焉=*八)

10.3.2已知某種溫度下水中聲速為1.45xlO%/s,求水的體變模量.

［解答］

y—I--,

YP已知v=J-45xlO3m/s,p=Iff做

：.k=v2p=(1.45x