自動(dòng)控制理論講義-教材《自動(dòng)控制原理》吳麒主編

自動(dòng)控制理論

一.介紹課程基本情況

學(xué)時(shí)64還要適當(dāng)減少

教材：《自動(dòng)控制原理》上下冊(cè)吳麒主編

參考書：現(xiàn)代控制工程緒方勝?gòu)?/p>

自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)戴忠達(dá)

自動(dòng)控制原理國(guó)防工業(yè)出版社李友善

Matlab講義及有關(guān)該軟件的工具書

實(shí)驗(yàn)：模擬實(shí)驗(yàn)（控制理論實(shí)驗(yàn)室）Matlab（自己做）

實(shí)驗(yàn)后一周交報(bào)告

作業(yè)：每章交一次

教員：

輔導(dǎo)：

期中考試待定，17—18周期末考試（筆試）

二,本課程的重要性及學(xué)習(xí)方法

1.信息學(xué)院的五大平臺(tái)課之一，自動(dòng)化專業(yè)的必修課，控制論基礎(chǔ)

2.課程改革情況

3.學(xué)習(xí)方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具分析解決工程問(wèn)題

思維方法抽象綜合

4.學(xué)術(shù)活動(dòng)

IFAC—中國(guó)自動(dòng)化學(xué)會(huì)一專業(yè)委員會(huì)IFAC99北京

CDC,ACC,ECC,CCC

三.介紹我國(guó)的自動(dòng)化學(xué)科發(fā)展的歷史.現(xiàn)狀及發(fā)展前景

1949.上海交大張鐘俊伺服系統(tǒng)

1950.清華大學(xué)鐘士模自動(dòng)調(diào)節(jié)原理

1970末清華及全國(guó)一些重點(diǎn)大學(xué)現(xiàn)代控制理論及最優(yōu)控制

8（）年代最優(yōu)自適應(yīng)辨識(shí)隨機(jī)大系統(tǒng)魯棒

90年代模糊智能CIMS信息技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)

要求：基礎(chǔ)交叉獨(dú)立學(xué)習(xí)接受新東西的能力科技活動(dòng)

第一章：緒論

反饋控制原理

1.負(fù)反饋概念

典型系統(tǒng)框圖

給定+

2.閉環(huán)系統(tǒng)

主要問(wèn)題1.穩(wěn)定2.性能

3.開(kāi)環(huán)控制

給定A被控量

-------------A控制器?對(duì)象

控制系統(tǒng)的基方組成

給定

三.控制系統(tǒng)的分類

1.從系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)上分伺服系統(tǒng)，恒值系統(tǒng)

2.從輸入輸出變量的個(gè)數(shù)分SISO?MISO

3.從信號(hào)性質(zhì)連續(xù)，離散，混合

4.數(shù)學(xué)描述線性，非線性

5.從控制方式上分

1.按偏差控制

2.復(fù)合控制

3.先進(jìn)的控制策略

四.控制系統(tǒng)的基本要求

1.穩(wěn)定

2.靜態(tài)指標(biāo)

3.動(dòng)態(tài)指標(biāo)上品質(zhì)、性能

第二章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§1.控制系統(tǒng)的微分方程描述

1)R—L—C電路

根據(jù)電路基本原理有:

.du

i=c-Lc

(it

Id214cnduc

nLc———+Rc---+〃，=u

dt2dtc

2)質(zhì)量一彈簧一阻尼系統(tǒng)

由牛頓定律:

3）電動(dòng)機(jī):Ru

Ur:電樞控制拊入

2：被控■

di

電路方程：I，r-Ea=L”+R°ia(1)

at

動(dòng)力學(xué)方程：M-M=J—(2)

edt

&。(3)

W=5(4)

(4)-(2)得：j=，貯+也(5)

'kd出kd

(3)(5)-(1)得:

LJJ2QRJgJadM

<4|<?c43.)

+k(lCl=ur一（瓦丁

2kd

kddtkddt

整理并定義兩個(gè)時(shí)間常數(shù)

號(hào)二Tm機(jī)電時(shí)間常數(shù)

與=［電磁時(shí)間常數(shù)

/.電機(jī)方程

屋。f小=9-(

dr

如果忽略阻力矩即M0=0,方程右邊只有電樞回路的控制量〃,，則電

機(jī)方程是一典型二階方程

如果忽略，（，=（））電機(jī)方程就是一階的

7；—+Q=—

r小總

1）電位器組.憂p=kp（y/-（p）

2）放大冷-發(fā)電機(jī)勵(lì)磁

3）發(fā)電機(jī)-電動(dòng)機(jī)組

Ef=kj/

4）傳動(dòng)機(jī)構(gòu)Q->°業(yè)=仁。

dt

整理得：

Td'(p(Tf+TQd'(p+Td%1d(p

-----------+--------------r+-------m----F+———+(p=w

k力4kdt3kdrkdt

k=勺及或“開(kāi)環(huán)比例系數(shù)

RM

解釋k的物理意義

解釋。跟蹤〃無(wú)差

§2.傳遞函數(shù)

Laplace變換L[f(t)]-F(s)從時(shí)域一復(fù)域

00

定義：F(s)=jf(t)e=s,dt

0

舉例：f(t)=l(r)

F(.v)=fe-x,dt=--e=s,8=，

Js0s

常見(jiàn)函數(shù)的Laplace變換:

1(。

s

s+a

.a

sin?/——------

s~+a~

s

cosatf-------

s+a~

用Laplace變換解微分方程

卜包+一

dt-

,y(O)=o

方程兩邊進(jìn)行口p/〃ce變換（零初始條件）

7\y(s)+y(s)=r(s)

一,、沁)1111

y(5)=-------=----------=----------T-

7\+1仆+1ss,1

T

反變換y(/)=1(/)-^T

I11

當(dāng)r(t)=)y(s)=--="--

7

1--v0

反變換y(0=-e7

y(O-)=0,y(0+)=T，初值跳變問(wèn)題!

Laplace變換的初值定理工(。+)=limsx(s)

終值定理：Jt(oo)=lim5x(5)

5—>0

定義傳遞函數(shù)

y(s)/"$)=G(s)

輸出的Laplace變換

零初始條件下=傳遞函數(shù)

輸入的Laplace變換

把上面的隨動(dòng)系統(tǒng)用傳遞函數(shù)表示，并化成框圖

⑷靠"而5(。)*。)，什么是零初始條件?

如何從該框圖求得0與"之間的關(guān)系？

從微分方程一傳遞函數(shù)

§3.框圖及其變換

一.框圖的幾種連接方式

串聯(lián)傳遞函數(shù)相乘^=G,(5)G2(5)

Gi(s)—?G4s)

并聯(lián)傳遞函數(shù)相加以&=G⑸+G?⑸

反饋

G(s)：前饋通道的傳遞函數(shù)

H(s)：反饋通道的傳遞函數(shù)

G(s)H(s)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

(M-yH)G-y

y(s)=G(s)

小'l+G(s)H(s)

同理可得正反饋下：d2=—2一

〃⑸LUG)

前面隨動(dòng)系統(tǒng)的例子

自己推導(dǎo)出少與沙之間的關(guān)系（1）傳遞函數(shù)

（2）微分方程

二.框圖變換

1)交又反饋

此例說(shuō)明交叉點(diǎn)左右移動(dòng)對(duì)傳遞函數(shù)的影響，跨越點(diǎn)，求和點(diǎn)要注

意

2)有擾動(dòng)輸入的情況

（戶0）

(r=0)

c）為使）（不受擾動(dòng)f的影響應(yīng)如何選

=(G3-G4G,)G2當(dāng)必.=()即G,=魚，y不受/影響

/(.V)"GO/(.,)G'

3)順饋的例子：

（G+G?）———

y（s）1+G&

1-^

心）+

l+G3G4

也可把它看成是雙輸入系統(tǒng)

補(bǔ)充題:

§4.信號(hào)流圖

?節(jié)點(diǎn)表示變量

（框圖表示）（信號(hào)流圖表示）

?兩節(jié)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)叫傳輸（增益），月直線加箭頭表示

?回路：閉合的通路

?不接觸回路：沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)的回路

前面補(bǔ)充題1用信號(hào)流圖表示如下：

計(jì)算信號(hào)流圖中的兩節(jié)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)用梅遜公式

“（$）=隹

0（5）第i條前向通路傳遞函數(shù)的乘積

A流圖的特征式二1-所有回路傳遞函數(shù)乘積之和+每?jī)蓚€(gè)互不接

觸回路傳遞函數(shù)乘積之和-每三個(gè)….

=1-￡4+￡匯44-....

abc

△j余子式,從△中處除去與第i條前向通路接觸的回路

此例，有前向通路三條

Qi=@62636465

Ql=G\G4G5G6

Q3~G[G2G7

回路四個(gè)

互不接觸回路右,4互不接觸

△=1—(Zq+L、+L3+L4)+L]L)

△i=1

A2=l

4=lf

一=7(Q[A[+Q2A2+Q3A3)

2.順饋的例子

前向通路Qi=GG回路：L=-G3G,無(wú)不接觸回路

Q2=G2G3

△=1-(4+4)A,=1,A2=1/.^=1(21A1+2，AJ

產(chǎn)A

補(bǔ)充題2.

HlH3

前向通路：Ql=G]G2G3G4G5G6

回路：「

LG2G3H2,L2=G,G2//I,L3=-G5H4

L=G5G6H3,-=-G|G2G3G「k…gG3G4G5G6H5

不接觸回路：LIL3,LIL4,L2L3,L2L4,L5L3,L5L4

△1=1

A=1—(L1+..+4)+((￡/3+L14+L、L、+L-yL4+L5L7+L5L4)

A

作業(yè)：2.1a.b.c.2.5a(提示：用復(fù)數(shù)阻抗法)

2.502.51

補(bǔ)充二題.兩種方法解：框圖變換法和信號(hào)流圖法

§5.控制系統(tǒng)的基本單元

1）比例:

G(s)=k

2）惰性（慣性）：

G（S）=」一，r時(shí)間常數(shù)階躍響應(yīng)特征

7\+1

3）二階振蕩環(huán)節(jié)

G（s）=—------T時(shí)間常數(shù)，，阻尼系數(shù)

T2S2+26+1

-2Qj472—47

特征方程的根

2F

T~T

0<^<1,一對(duì)共胡復(fù)根（實(shí)部為負(fù)）其響應(yīng)表現(xiàn)為衰減振蕩

7=0，一對(duì)共飄虛根等幅振蕩

，=1，兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根單調(diào)衰減

7>1,兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，可分解為兩個(gè)惰性單元單調(diào)衰減

說(shuō)明：系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性質(zhì)取決于其特征根的性質(zhì)

4）積分

G（s）=-

s

6）微分環(huán)節(jié)以上三個(gè)環(huán)節(jié)2）.3）.4）.的倒數(shù)分別稱為一階微分，二階微分,

純微分

這些環(huán)節(jié)不能單獨(dú)存在，只能與其它環(huán)節(jié)配合使用

§6.線性化問(wèn)題

以放大器為例：在一定范圍內(nèi)輸出與輸入是線性關(guān)系產(chǎn)kx,但是當(dāng)放大

器飽和時(shí)，)，與x就不是線性關(guān)系了。

微偏線性化

在工作點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)，將y與x之間的關(guān)系展成臺(tái)勞級(jí)數(shù)

設(shè)y=fM

在與附近可以表示成

2

/(X)=/(XO)+/,UO)(X-XO)4-I/1(XO)(A-XO)+……

對(duì)相當(dāng)多的/(X),當(dāng)工-工0=以足夠小，且在飛點(diǎn)在。高階導(dǎo)數(shù)不

是8時(shí)，忽略Ar的高階項(xiàng)，得

f(x)=/(/)+/(/)。-/)

即》=/(與心，這說(shuō)明y的增量與x的增量之間的關(guān)系變成了線性

關(guān)系

舉例：

R=R/kg已知，研究當(dāng)△儂化時(shí)，汝口何變化

山

L

O=

話+Ri

小

L

=話+(&+必。》兩變量相乘，非線性!

工作點(diǎn)設(shè)在夕等于。處，有：

7o=%，=/()+△，

于是：u°=/('0+&)+(&+必e)(/0+加)

dM

U。=L+R。/。+kl(、be+/?Az+k\O\i

dt()

UQ=RQIQ

：.L—+RM=-kLA0

dO°

電流按指數(shù)規(guī)律下降！

第三章：線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法

§1.穩(wěn)定性

前面講的隨動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)四階微分方程，代入?yún)?shù)得

0.02效⑷+0.55洲)+\.5(p+(p+0=〃

特征方程().025./+0.55.1+1.5/+54-1=0

特征根Si=-18.94,.92=-2.62,%4=-0.221±;0.889

°⑺=5+BeS2t+Ce~Q22Xtsin(0.889r+。)+/⑺((p(t)為特解)

A.B.C.力由初始條件求出

分析當(dāng)前三項(xiàng)-0,(p(t)f6⑴

現(xiàn)將&(攵為開(kāi)環(huán)比例系數(shù))增大1()倍，再解特征方程得

5,=-18.89,.=-4.13,%.4=0501±J2.21

于是得夕⑺=4//+&*'+金sin(2.2"+0)+/：⑺

二只要CW0,當(dāng)，T8,0⑺fg,達(dá)不到0*(。

Lt

可見(jiàn)0⑺取決于特征根。組成火/)的分量諸如e，叫運(yùn)動(dòng)模態(tài)

由這個(gè)例子我們可以得到下面的結(jié)論：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的根部必須具有負(fù)的實(shí)部，或

說(shuō)特征根都在S平面的左半平面。

但是，對(duì)于非線性方程，在有些初始條件下，解能達(dá)到一種確定的狀態(tài),

稱為穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)，而在另一些初始條件下的解表現(xiàn)為不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。

所以，對(duì)一個(gè)非線性系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地稱系統(tǒng)穩(wěn)定與否，而只能說(shuō)哪些

解是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。

見(jiàn)書上p/07圖3.3例

§2.穩(wěn)定的Liapunov定義

一.定義

如果一個(gè)關(guān)于x的微分方程組，在初始條件x(r0)=X。下有解x⑴,

且對(duì)于任意給定的正數(shù)￡總存在一個(gè)正數(shù)6(C),當(dāng)初始條件Ao變

???

為X。時(shí)，只要||X()-Xo||w6,其相應(yīng)解X。)在為的任何時(shí)

刻都滿足IIXQ)-x(/)||＜E,則稱解X(t)是穩(wěn)定的。如果不存在這樣

的正數(shù)8,則彌解X(f)是不穩(wěn)定的。

定義的兒何解釋見(jiàn)P.111圖3.7

＞大范圍穩(wěn)定5任意大

＞漸進(jìn)穩(wěn)定穩(wěn)定，存在①無(wú)限趨于

工程上希望的系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

補(bǔ)充說(shuō)明：一個(gè)高階方程可以化成一個(gè)一階微分方程組

的工⑶+〃2爐+13+〃0%=〃

X]=X

設(shè):x2=x'

l

x3=x

ZL.Liapunov第一方法（見(jiàn)書P.111~112）

1.若線性化后系統(tǒng)特征方程的所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)，則

原系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不但是穩(wěn)定的而且是漸近穩(wěn)定的?，F(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高于

一階的項(xiàng)也不會(huì)使運(yùn)動(dòng)變成不穩(wěn)定。

2.若線性化后系統(tǒng)特征方程的諸根中，只要有一個(gè)為正實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛檎?/p>

的復(fù)數(shù)，則原系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就是不穩(wěn)定的?，F(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高于一階的

項(xiàng)也不會(huì)使運(yùn)動(dòng)變成穩(wěn)定。

3.若線性化后系統(tǒng)特征方程的諸根中，有一些是實(shí)部為零的，而其余均

具有負(fù)實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)的穩(wěn)定與否與被忽略的高階項(xiàng)有關(guān)。這種情況下

不可能按照線性化后的方程來(lái)判斷原系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。若要分析原系統(tǒng)的

運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性必須分析原系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型。

§3.Ro判據(jù)Routh-Hurwitz

根據(jù)微分方程特征方程的系數(shù)，不解方程來(lái)判斷是否有右半平面的根

這就是和就z分別獨(dú)立提出來(lái)的穩(wěn)定性判據(jù)，其功能是判斷一個(gè)代

數(shù)多項(xiàng)式有幾個(gè)零點(diǎn)位于復(fù)數(shù)平面的右半面

例1,特征方程2s6+5/+3/++6/+14s+7=0

構(gòu)造Routh表

367

5414

_12371262272

5545551455505

18

-11

7

115

7

7?

1589

115

7

看第一列:

2

5

7

5

18

T

115

7T

一次變號(hào)

1589

~115

又?次變號(hào)

7

第一列系數(shù)全為正，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

出現(xiàn)負(fù)號(hào)說(shuō)明有右半平面的根，有幾個(gè)？看變號(hào)的次數(shù)

此例有兩個(gè)右半平面的根

例2

/+553+1052+205+24=0

5411024

/520

表示有一對(duì)純虛根存在，如果相反，則認(rèn)為有一次變號(hào)

此例解得根為:±2;-2-3.

例31—35+2=0

531-3

一次變號(hào)$20(￡)2

二次變號(hào)

這說(shuō)明有兩個(gè)根在右半平面+1,+1,-2

例4./+2/+24/+4852-255-50=0

124-25

248-5()

0(8)0(96)

出現(xiàn)全零行時(shí)構(gòu)造一輔助多項(xiàng)式

2r+48/一50

求導(dǎo)得：81+961用此行代替全0行

一次變號(hào)說(shuō)明有一個(gè)正的實(shí)根

0上下同號(hào)說(shuō)明有一對(duì)純虛根

全（）行說(shuō)明有一對(duì)大小相等關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。這一對(duì)根可以從輔助多

項(xiàng)式構(gòu)成的方程解出。2/+48--50=（）

解得：土1,±5j,-2

?關(guān)于穩(wěn)定的必要條件

設(shè)想方程全部為負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)的共加復(fù)數(shù)

則一定可以分解成下面一些因式的乘積

(s+a)(s+2+jy)G+0—jy)a,A/>0

22

(s+a)($2+2ps+p+/)

可見(jiàn)全部系數(shù)必為正

得出：方程系數(shù)全為正是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件（但不充分）

?用股〃泌判據(jù)來(lái)分析一.二.三.階系統(tǒng)可得判斷一.二.三.階系數(shù)穩(wěn)定的充要

條件

qs+〃()=0,q>0,〃（）>0

2

a2s+。］5+。()=0,出嗎,《）

2〃3，生，4>0,且生4>^3^（）

43s+a2s+qs+/=0,

作業(yè)：3.536,3.7,3.8,3.9,3.1(),3.12

關(guān)于判據(jù)不講，可自己練習(xí)（作業(yè)可不做）

§4.參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，參數(shù)穩(wěn)定域

系統(tǒng)的參數(shù)集中體現(xiàn)在網(wǎng)開(kāi)環(huán)比例系數(shù)）和諸7,它們是影響系統(tǒng)穩(wěn)定的主要

因素

1.一般情況下，也過(guò)大不利于穩(wěn)定（有些特殊情況，條件穩(wěn)定）

2.增大時(shí)間常數(shù)，不利于穩(wěn)定

3.增多時(shí)間常數(shù)，不利于穩(wěn)定

參數(shù)穩(wěn)定域（單參數(shù)，雙參數(shù)穩(wěn)定域）

女（一s+1）

設(shè)一個(gè)系統(tǒng)得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G開(kāi)（s）=-2-------,試找出k的穩(wěn)定范

5（5+1）（25+1）

圍

首先列出特征方程:

1+6開(kāi)。）=0

即s(s+1)(2$+1)+2(}+1)=0

2/+3$2+(1+兒)$+%=0

k>0

根據(jù)Routh判據(jù)L—1八、。心.,.0<攵<3是卜的穩(wěn)定范圍

I十K)>乙K

雙參數(shù)穩(wěn)定域

k(rs+1)

G開(kāi)（5）=k,T>0

S(S+1)(25+1)

特征方程：253+3s2+(l+Jlr)5+A:=0

3(1+Ar)>2k

21

>----

3k

§5.靜態(tài)誤差

一.引言1）靜差表示系統(tǒng)的靜態(tài)精度，只有穩(wěn)定系統(tǒng)才談得上靜差

2）靜差與輸入信號(hào)有關(guān)，衡量標(biāo)準(zhǔn)是用一些典型輸入信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)

階躍1⑺f'

s

1

加速度

二.定義

基本定義e=凹要求值-y實(shí)際值

表現(xiàn)在框圖上

人=y”反映〉的實(shí)際值，〃體現(xiàn)對(duì)y的要求值

對(duì)于有些復(fù)雜情況，從框圖上找不到e要求e-r-y

是否可以把它變換成

*W(s)

7T

i）先求出￡=—"

r1+GF

2）求出對(duì)應(yīng)的M/S）,即求出對(duì)應(yīng)于閉環(huán)傳遞函數(shù)（叫汨=y〃）的單位

反饋的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)w開(kāi)（S）

即上!_=2=峪

即：1+W開(kāi)r閉

w一%_GH

所以：開(kāi)一］_博力-1+GF-GH

三.靜態(tài)誤差的計(jì)算

針對(duì)一般情況（如前圖）

e（s）1、1一/、

---=---------e（s）=--------心）

中）1+G開(kāi)⑶1+G開(kāi)⑸

可見(jiàn)誤差與G開(kāi)（s）和輸入r（5）有關(guān)

用Laplace變換的終值定理求e（8）=limse（s）=e、、

$->0

系統(tǒng)在三種典型輸入信號(hào)下的誤差

1-1I1

r(5)=-e*=limse(s)=lims----------=lim---------

52。io1+G開(kāi)(s)sio1+G)f(s)

1-111

r(5)=—e=limse(s)=lims----------r=lim-------

$2Wtr2。I。1+G開(kāi)⑸$2s—OsG開(kāi)G)

1

r(s)=—=limse(s)=lims----------r=lim—：------

sSTQ1+Gff(s)S$T°5"GJF(5)

定義誤差系數(shù)k=liiqG開(kāi)（s）位置誤差系數(shù)

15->0

K，=吧sG開(kāi)（s）速度誤差系數(shù)

ka=lims2G開(kāi)（s）加速度誤差系數(shù)

aSTO”

對(duì)三種典型輸入的靜態(tài)誤差為

階躍輸入

1+k,,

eM=<1斜坡輸入

院

--加速度輸入

k.

四.系統(tǒng)類型與靜差的關(guān)系

以上我們定義了誤差系數(shù)，導(dǎo)出了在特定愉入信號(hào)的作用下，靜差與誤差系

數(shù)的關(guān)系，而誤差系數(shù)與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，也就是說(shuō)與系統(tǒng)的參數(shù)

和結(jié)構(gòu)有關(guān)。

設(shè)G開(kāi)(s)=：(3+l)*QS+l)(y=0,1,2,分別稱為0型，1型，2型系統(tǒng))，

?(7>+1)...(7>+1)

注意女的定義！

對(duì)()型系統(tǒng)：

k=k階躍輸入下的靜差e^=—

一人=0斜坡輸入下的靜差％=8

心=0加速度輸入下的靜差4=8

對(duì)1型系統(tǒng)

K=8階躍輸入下的靜差%=0

,I=左斜坡輸入下的靜差『=I

=0加速度輸入下的靜差exx=oo

對(duì)2型系統(tǒng)

%=8階躍輸入下的靜差%二0

，kv=oo斜坡輸入下的靜差4=()

k=k加速度輸入下的靜差/

ak

總結(jié)如下表：

五.關(guān)于靜差的物理解釋

初始條件：平衡位置力”,閥門開(kāi)度",進(jìn)水Q。，出水歷。

當(dāng)M增大，水位〃降低，/變大，從而。變大，/?回升，

當(dāng)Q=Qi達(dá)到新的平衡，此時(shí)九？=%

如果要保證Qi＞。0，4就必須大于/0，二九＜%

這是一個(gè)有差系統(tǒng)

現(xiàn)變成：

初始狀態(tài)：h=/?(J,Aw=0,/=M()=Q()

當(dāng)M升為M-h下降，△〃＞(),電動(dòng)機(jī)動(dòng)作，提高/,/0升為人。升為儲(chǔ)

直到達(dá)到新平衡

此時(shí)%?=%

試想：只要4△〃0°,電動(dòng)機(jī)就轉(zhuǎn)，閥門就動(dòng)作(不是開(kāi)大就是關(guān)

小)直到力=%達(dá)到新平衡

這是一個(gè)無(wú)靜差系統(tǒng)。

兩者不同，系者是。型，后者是i型，多了一個(gè)電動(dòng)機(jī)，在把速度信

號(hào)變?yōu)槲恢眯盘?hào)時(shí)多了一個(gè)積分環(huán)節(jié)。

六.對(duì)擾動(dòng)的誤差

1.擾動(dòng)（R。）也是一種輸入，系統(tǒng)靜差由兩部分組成，由“。引起的和由

〃⑺引起的代數(shù)和

1）由彳。引起的誤差，可根據(jù)“。的性質(zhì)和Gj1：（s）,求得，此時(shí)p（〃=0

2）由〃⑺引起的誤差，令「⑴二0,做框圖變換，求e（力

/P"）

e(s)=GH

在已知〃⑺下，求出品

試分析K⑸含積分和K⑸不含積分兩種情況下的靜差

?K⑸含積分。,.=0解釋，擾動(dòng)作用點(diǎn)之前(左)含積分,

對(duì)階躍擾動(dòng)無(wú)靜差

-一(G”中不含積分)

?K⑻不含積分ej」1+”

k-一(G//中含積分)

心

自測(cè)題：求以下3題的靜差

1)第一種情況：r⑴=l(t),f(t)=l⑴第二種情況：r⑴=⑴

2)第一種情況：r(t)=l(t),f(0=l(t)第二種情況：r(t尸t,f⑴=l(t)

3)第一種情況：r⑴=第二種情況：r(t)=t,f(t)=l(t)

答案:r(t)=1(t),f(t)=l(t)r(t)=t,f(t)=l(t)

1)-1/31/K]

2)00

3)00

作業(yè)：3.14』5,16/7,18,21,23,24

§6.動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

)'3)

2）過(guò)渡過(guò)程時(shí)間4

達(dá)至I」>（8）5%或2%的時(shí)間

tr上升時(shí)間，第一次達(dá)到y(tǒng)（8）的時(shí)間

td延遲時(shí)間，y⑺達(dá)到y(tǒng)3）一?半的時(shí)間

3）峰值時(shí)間外，?⑴達(dá)到%ax時(shí)的G

4）振蕩次數(shù)

5）爬行現(xiàn)象

6）誤差積分指標(biāo)

在階躍函數(shù)作用下，誤差的某個(gè)函數(shù)的積分值，無(wú)論哪一種都希望越小越好

典型二階系統(tǒng)

哈…丁時(shí)間常數(shù)，皿尼系數(shù)

另一種形式:

然+2皿小心=碓以=?無(wú)阻尼自振頻率

在零初始條件下，解此方程有以下情況

1）0<^<1,.2=一￡/"：?（=一例0（%是阻尼振蕩頻率）

兩個(gè)共飄虛根

^^/飛山也￡+arag

刈二1

Vi-7714

曲線如圖3.26,）仞衰減振蕩趨近于1。

2）<=1,兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根,sI,2=-l,）"）=1-（1+和）

3）《之1，兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,

y?）=1+qe"+。20”'y⑺單調(diào)趨近于1

分析：

1）看《的作用：

0<^<1,欠阻尼，=0無(wú)阻尼振蕩

4=1,臨界阻尼

01,過(guò)阻尼

2）〃丁總在一起，r是個(gè)時(shí)間尺度，曲線展寬或壓縮

3）看兩個(gè)根在s平面的分布，隨著。從0-1一大于1看根位置的變化

』色.正￡

性能指標(biāo):

i）-i

必）=1=1--sin（69/「+夕）

即：sin（0/「+。）=0—＞（odtr+0=7i

71-6

z/v冗TVT

2)j令％?！猛夤?時(shí)

3)求（T,將"代入M，），求出）％ax，義8）=1

...得…tQ川

〃近似估計(jì)值,t,X±a(5%-2%)解釋圖3.21

4)

課堂練習(xí):

分析￡7；不同參數(shù)下的y⑴

iU=i,r=i；（，=0.5%=6）

2火=4,7=1;（4=0.254=6）

1）^=1,7=4;（7=0.25,（=24）

試畫出曲線

作業(yè)：3.19,2021232427

小結(jié)：1）二階系統(tǒng)74對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響

-（涂三）萬(wàn)行3

。=/晨x——

'瓦彳見(jiàn)

2）能根據(jù)主要特征繪制階躍響應(yīng)曲線

§7.高階系統(tǒng)的二階近似

一個(gè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可以寫成如下的形式

y(s)/=儲(chǔ)/+b時(shí)正”1+…2s+%=k(s+z)(s+z)Q.(s+z“)

n

/r(5)ans+.必5+。0(s+〃J(s+〃2)????($+〃“)

-系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)

-Zj切系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)

在單位階躍輸入，零初始條件下，且假設(shè)這些零極點(diǎn)都是單極點(diǎn)(零點(diǎn))、實(shí)

數(shù)且互不相同。

于是有：

y($)=&+之:^,4,A.是相應(yīng)于S=0,S=-〃/及點(diǎn)處的留數(shù)

SMS+P,

”A)=[)'(5)?吐力

有.、，〃)=A)+ZA。-”.

/=,4=[y(s)(s+Pj)],.〃

1)設(shè)一極點(diǎn)-p人遠(yuǎn)離原點(diǎn)，此極點(diǎn)處的留數(shù)為4.

蟲"7）……C（S+PJ）

s（s+P]）...（s+pl...（s+p”）

M-Pk+zJ……GPk+z,〃）J"1"

（一周）（一〃人+Pi）……5+〃〃）5k）〃

兒很小

這表示遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)成分對(duì)于階躍響應(yīng)的影響很小

2)設(shè)一零點(diǎn)?z,?和一極點(diǎn)-p/艮靠近，即卜/九+4很小這一對(duì)零極點(diǎn)稱為偶

極子

此極點(diǎn)的留數(shù)

&="+pJ)|

k（—Pk+4）???（—/〃+z/）...（一〃&+z”,）

可見(jiàn)4很小

+

（一〃人）（一見(jiàn)+P\）……（-PkPn）

這表明如果有一零點(diǎn)與一極點(diǎn)相近，則這個(gè)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)成分在階

躍響應(yīng)中所占的比重很小

因此我們?cè)诜治龈唠A系統(tǒng)時(shí)，就可以把上述兩種情況的極點(diǎn)化為次要因

素而忽略。

如果一穩(wěn)定系統(tǒng)有一對(duì)左半平面的共軻復(fù)極點(diǎn)，而在它們附近又沒(méi)有零

點(diǎn)，則這一對(duì)共扼復(fù)極點(diǎn)稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)，這個(gè)系統(tǒng)就可以近似化為一個(gè)二

階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性是由這一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)決定。

§8控制系統(tǒng)的校正問(wèn)題

介紹兩種常用的校正方式，串聯(lián)校正，局部反饋校正，以及兩者的結(jié)合

一.串聯(lián)校正

1.kG)=與(比例)，設(shè)G/s)=1

Ts(7s+)

當(dāng)3=1特征方程為：T2s2+2小+1=0

當(dāng)kp01特征方程為：72s2+訓(xùn)+攵〃=0

當(dāng)3變大，廠變小，系統(tǒng)的響應(yīng)快，但是U也變小，振蕩加劇。

2.勺,一；(積分校正)設(shè)GKs)—4”；

T's(Ts+1)

G開(kāi)(s)=—-----

"(仆+1)

32

特征方程：TITS^T1S+\=O顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定

如果G(s)="",攵")=3-

"s+1Tts

特征方程T/S("s+l)+%o=O

T/T0s2++%。=0

可以通過(guò)調(diào)整qMo,使系統(tǒng)具有希望的特征

“g=67；,與不加積分比較，系統(tǒng)響應(yīng)變慢

r不加積分的特征方程為："s+1+%。=o

「二^-,”37'=^_

1+k(}1+k。

可見(jiàn)加積分缺點(diǎn)一系統(tǒng)變慢，甚至于不穩(wěn)定

優(yōu)點(diǎn)-對(duì)克服靜差有利

3.將上述兩者結(jié)合起來(lái)，比例加積分

k(s)=k(1+-^-)=k,設(shè)G(s)=0

T；sTts70$+1

。人⑺S+1)攵/#o(7；s+l)

G閉(s)=

+1)+kpkQ(JjS+1)TJoS?+(kpk。+1)3s+kpk0

Tfs+\竺了7,5+1

Mo+1n1

-----n-7->--+--l--

：okpk。kpk。

T/5+1]

工s+1

(7>+l)s+1)

kpk°

比例加積分控制：1)有積分對(duì)克服靜態(tài)誤差有利

2)使響應(yīng)可達(dá)到非振蕩狀態(tài)且八不長(zhǎng)，/,=3工

kpk0

(不加比例積分：f,=3二^)

1+攵。

4.比例加微分

k,(s)=kp(\+TDs)

控制信號(hào)u(t)=%⑴+kpTD學(xué)

at

無(wú)微分作用只要)，陽(yáng)＜1e。＞0,就產(chǎn)生使)仞增大的控制作用，當(dāng)

；,e=0時(shí)，)仞還在增加，會(huì)出現(xiàn)過(guò)頭現(xiàn)象，加了微分作用〃⑺在Z=/1＜乙

時(shí)為零，在乙到乙這段時(shí)間內(nèi)〃⑺＜(),抑制)，⑺的增加，好像在車輛到達(dá)目標(biāo)

之前，提前制動(dòng)一樣。微分作用只在信號(hào)發(fā)生變化時(shí)才起作用。

5.比例加積分加微分PID

綜合了比例積分加微分的優(yōu)點(diǎn)。

二.局部反饋校正

通常用局部反饋改善局部特性，再配以串聯(lián)校正

設(shè)G(s)=—^―G<(s)=k

Tv+1

KK

小閉環(huán)等效為一+1=K=i+」K

"旦Fl+M工川

Ts+11+kK

當(dāng)kK>>1時(shí)=>1

k

當(dāng)G中7較大時(shí)，采用局部反饋可減少惰性。

本章小結(jié)

1.穩(wěn)定問(wèn)題充要條件

穩(wěn)定判據(jù)

2.靜差系統(tǒng)類型

對(duì)典型信號(hào)的誤差

對(duì)擾動(dòng)的誤差

2.二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性配7

第四章.頻率響應(yīng)法

引言

從RC電路對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)，引出頻率特性

〃,二Xsin函由電路知識(shí)可知，%也是同頻率的正弦信號(hào)，只不過(guò)幅值和相位

發(fā)生變化，它們之間的關(guān)系滿足

7-----------N-arg3Cco

LRCj（o+1J（-c）2b2+i

我們稱之為頻率特性，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)(是將」一中的sr為)。

RCs+1

提出問(wèn)題I這種分析方法是否適合于一般系統(tǒng)，即如果已知傳遞函數(shù)G(s),

那它的頻率特性是不是G(/M?

2如果輸入不是正弦，而是一般周期函數(shù)，通過(guò)八九㈤改變換分解

成一系列正弦函數(shù)之和。

3如果是非周期函數(shù)，這種關(guān)系還成立嗎？

§2.油?變換與非周期函數(shù)的頻譜

滿足。汨動(dòng)/々(狄里赫利)條件的周期函數(shù)，都可以用&^7.〃變換，表示為

一系列的諧波(正余弦)之和

f(t)=。()+Z?！眂ossinnco^t

/l=l

2產(chǎn)二

其中：6/()=—/(/)力，an=—JJAOcosw^Jz,

11~2

a4K/⑺sm〃邛"

‘I?

用二卷，工為/⑺的周期

可以看出，周期函數(shù)/⑺的頻譜是離散的，即只在？，2例，3%等頻率下有

譜線。

當(dāng)/⑺是非周期函數(shù)，可以看成If8的周期函數(shù)

這時(shí)基波他-0,各次諧波之間的差趨向于無(wú)窮小，即無(wú)限接近，諧波的幅

值—>0

??.非周期函數(shù)的頻譜含有一切頻率成分，即是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的諧波組成,

所以它的頻譜是連續(xù)的。

尸口"7?4變換的數(shù)學(xué)描述

i1

.「f(t)

f5D)=\fSe"dtt

—O0

I

舉例：/(/)=e"l(/)

_00」

/(ja))=\eTCi=——=/'N-argtgcor

L1+15Jl+(s)2

其圖像為

T

0.707T

,稱為截止角頻率

從圖中可以看到/⑺中含有一切頻率成分，力從0-8

|/(/匐代表頻率為切的那項(xiàng)諧波的幅值(除以一個(gè)無(wú)窮小量)

-arctgcor代表頻率為①的那項(xiàng)諧波在t=0時(shí)刻的初相角

頻帶：通常指截止角頻率的1()倍。

試想當(dāng)r越小時(shí)，戶。越尖

/()⑼的頻帶越寬，由此可知，變化越劇烈的函數(shù)，它的頻帶越寬，含有的

高頻成分越多。

§3.頻率特性

現(xiàn)在我們來(lái)回答引言中的第一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)正弦信號(hào)加到一G（$）對(duì)象

上，其輸出與輸入之間的關(guān)系，是不是可以用頻率特性來(lái)表示，而頻率特性

是不是G（/o）?

G(s)=-----------返------