專題七天體運(yùn)動中常見的模型(已排)

專題七天體運(yùn)動中常見的模型模型一：雙星、多星模型知識知識總結(jié)1．雙星模型（1）定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。（2）特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即，。②兩顆星的周期、角速度相同，即，。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即。⑤雙星的運(yùn)動周期。⑥雙星的總質(zhì)量。2．多星模型（1）定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。（2）常見的三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行（如圖甲所示）。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上（如圖乙所示）。（3）常見的四星模型①四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動（如圖丙所示）。②三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動（如圖丁所示）。3．解題要訣：（1）根據(jù)雙星或多星的運(yùn)動特點(diǎn)及規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動的軌道半徑。（2）星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。（3）星體的角速度相等。（4）星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和向心力。典型例典型例題1．如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，彼此掩食（像月亮擋住太陽）而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量為G，地球距A、B很遠(yuǎn)，可認(rèn)為地球保持靜止，則（）A．恒星A、B運(yùn)動的周期為T B．恒星A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量C．恒星A、B的總質(zhì)量為 D．恒星A的線速度大于B的線速度【答案】C【解析】每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，則兩恒星的運(yùn)動周期為T′＝2T，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有＝＝，由題圖知rA＜rB，則mA＞mB，故B錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)得兩恒星總質(zhì)量為M＝mA＋mB＝，故C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA＜vB，故D錯(cuò)誤。2．（多選）科學(xué)家最近發(fā)現(xiàn)了一個(gè)雙星系統(tǒng)，由質(zhì)量約為0.74Ms（Ms為太陽質(zhì)量）的致密白矮星與質(zhì)量約為0.33Ms的熱亞矮星兩顆恒星組成。它們的軌道平面幾乎與地球的觀測平面重合，用望遠(yuǎn)鏡觀測，發(fā)現(xiàn)雙星系統(tǒng)的亮度周期性地變暗和變亮，這是因?yàn)閮蓚€(gè)天體周期性地互相遮擋造成的。某次觀測記錄該雙星系統(tǒng)的亮度隨時(shí)間t的變化情況如圖所示，亮度可用“星等”進(jìn)行描述，圖中實(shí)線為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)最佳擬合得到的正弦曲線。已知太陽質(zhì)量Ms＝2×1030kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，則（）A．該雙星系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)周期約為615s B．該雙星系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)周期約為1230sC．兩星體之間的距離約為1.8×106m D．兩星體之間的距離約為1.8×108m【答案】BD【解析】AB．由題圖可知觀測記錄該雙星系統(tǒng)的亮度變化的周期約為T′＝615s則該雙星系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)周期約為T＝2T′＝1230s，故A錯(cuò)誤，B正確；CD．設(shè)兩星體之間的距離為L，由萬有引力提供向心力可得，又r1＋r2＝L，聯(lián)立可得L＝代入數(shù)據(jù)解得L≈1.8×108m，故C錯(cuò)誤，D正確。故選BD。3．（多選）如圖所示，質(zhì)量相等的三顆星組成為三星系統(tǒng)，其他星體對它們的引力作用可忽略。設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m，三顆星分別位于邊長為r的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動。已知引力常量為G，下列說法正確的是（）A．每顆星體受到的向心力大小為B．每顆星體運(yùn)行的周期均為C．若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼谋禗．若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼摹敬鸢浮緽C【解析】A．任意兩顆星體間的萬有引力，每個(gè)星體受到其他兩個(gè)星體的引力的合力為，A錯(cuò)誤；B．由牛頓第二定律可得，其中，解得每顆星體運(yùn)行的周期均，B正確；C．原來星體的角速度為；若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼谋?，C正確；D．若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的周期為，星體的線速度大小為，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼?，D錯(cuò)誤。故選BC。4．如圖所示，假設(shè)在太空中有A、B雙星系統(tǒng)繞點(diǎn)O做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動周期為T1，它們的軌道半徑分別為RA、RB，且RA＜RB，C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動，周期為T2，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于C與B之間的引力。引力常量為G，下列說法正確的是（）A．若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量B．A、B、C三星由圖示位置到再次共線的時(shí)間為C．若A也有一顆運(yùn)動周期為T2的衛(wèi)星，則其軌道半徑一定大于C的軌道半徑D．B的質(zhì)量為【答案】C【解析】A．C繞B做勻速圓周運(yùn)動，滿足＝，故知道C的軌道半徑，可求出B的質(zhì)量，無法求出C的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；D．因?yàn)锳、B為雙星系統(tǒng)，所以相互之間的引力提供運(yùn)動所需的向心力，即＝，可得MB＝，故D錯(cuò)誤；C．若A也有一顆運(yùn)動周期為T2的衛(wèi)星，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，則根據(jù)牛頓第二定律＝解得r＝同理可得C的軌道半徑為RC＝對A、B組成的雙星系統(tǒng)有＝因?yàn)镽A＜RB所以MA＞MB，則r＞RC，故C正確；B．A、B、C三星由圖示位置到再次共線時(shí)，A、B轉(zhuǎn)過的圓心角θ1與C轉(zhuǎn)過的圓心角θ2互補(bǔ)，則＝π，解得t＝，故B錯(cuò)誤。5．（多選）如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長為L的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G。下列說法中正確的是（）A．星體做勻速圓周運(yùn)動的圓心不一定是正方形的中心B．每個(gè)星體做勻速圓周運(yùn)動的角速度均為C．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的加速度大小是原來的兩倍D．若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的線速度大小不變【答案】BD【解析】四顆質(zhì)量相同的星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，所以星體做勻速圓周運(yùn)動的圓心一定是正方形的中心，故A錯(cuò)誤；由＝＝可知，ω＝，故B正確；由＝ma可知，若邊長L和星體質(zhì)量m均為原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的加速度大小是原來的，故C錯(cuò)誤；由＝可知，星體做勻速圓周運(yùn)動的線速度大小為v＝，所以若邊長L和星體質(zhì)量m均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動的線速度大小不變，故D正確。6．太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由四顆星體組成的四星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用。現(xiàn)有這樣一種穩(wěn)定運(yùn)行的正三角形四星系統(tǒng)，四顆星分別位于某一正三角形三個(gè)頂點(diǎn)和其幾何中心上。四顆星質(zhì)量均為m，正三角形邊長為L，引力常量為G。則下列說法中正確的是（）A．位于頂點(diǎn)的三顆星運(yùn)動的角速度與它們質(zhì)量的大小無關(guān)B．該四星系統(tǒng)做圓周運(yùn)動的半徑為C．每個(gè)處于頂點(diǎn)處的星體所受向心力大小為D．該四星系統(tǒng)的運(yùn)動周期為【答案】D【解析】該四星系統(tǒng)做圓周運(yùn)動的半徑為，B錯(cuò)誤；每個(gè)處于頂點(diǎn)處的星體所受向心力大小為，C錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律，解得，位于頂點(diǎn)的三顆星運(yùn)動的角速度與它們質(zhì)量的大小有關(guān)，A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得，解得，D正確。模型二：天體（衛(wèi)星）追及相遇模型知識知識總結(jié)“天體相遇”，指兩天體相距最近。若兩環(huán)繞天體的運(yùn)轉(zhuǎn)軌道在同一平面內(nèi)，則兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上，且位于中心天體的同側(cè)（或異側(cè)）時(shí)相距最近（或最遠(yuǎn)）。類似于在田徑場賽道上的循環(huán)長跑比賽，跑得快的每隔一段時(shí)間多跑一圈追上并超過跑得慢的。解決這類問題有兩種常用方法：1．角度關(guān)系設(shè)天體1（離中心天體近些）與天體2某時(shí)刻相距最近，如果經(jīng)過時(shí)間t，兩天體與中心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度之差（或之和）等于2π的整數(shù)倍，則兩天體又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ（n＝1，2，3，…）（同向）或ω1t＋ω2t＝2nπ（n＝1，2，3，…）（反向）；如果經(jīng)過時(shí)間t′，兩天體與中心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度之差（或之和）等于π的奇數(shù)倍，則兩天體相距最遠(yuǎn)，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π（n＝1，2，3，…）（同向）或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π（n＝1，2，3，…）（反向）。2．圈數(shù)關(guān)系最近：＝n（n＝1，2，3，…）（同向），＝n（n＝1，2，3，…）（反向）最遠(yuǎn)：＝（n＝1，2，3，…）（同向），＝（n＝1，2，3，…）（反向）典型例典型例題1．2022年12月8日，地球恰好運(yùn)行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運(yùn)動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出（）A．火星與地球繞太陽運(yùn)動的周期之比約為27∶8B．當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩者的相對速度最大C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D．下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前【答案】B【解析】A．火星和地球均繞太陽運(yùn)動，根據(jù)開普勒第三定律有＝代入數(shù)據(jù)解得＝，故A錯(cuò)誤；B．由題意知火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，速度的大小均不變，當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，由于兩者的速度方向相反，此時(shí)兩者的相對速度最大，故B正確；C．在星球表面根據(jù)萬有引力定律與重力的關(guān)系有＝mg由于不知道火星和地球的質(zhì)量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度，故C錯(cuò)誤；D．火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，有ω火＝，ω地＝要發(fā)生下一次火星沖日則有＝2π，得t＝＞T地可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月18日之后，故D錯(cuò)誤。故選：B。2．（多選）如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運(yùn)動，運(yùn)動方向相反。A衛(wèi)星的周期為T1，B衛(wèi)星的周期為T2，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則（引力常量為G）（）A．兩衛(wèi)星下一次相距最近需經(jīng)過時(shí)間t＝B．兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為C．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球的密度D．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球表面的重力加速度【答案】AB【解析】兩衛(wèi)星運(yùn)動方向相反，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t再次相遇，則有＝2π，解得t＝，選項(xiàng)A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力得＝，則，故A、B兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為，故B正確；若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，結(jié)合兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比可以求出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力＝，則可求出地球的質(zhì)量，但不知道地球的半徑，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D錯(cuò)誤。3．（多選）如圖，行星a、b的質(zhì)量分別為m1、m2，中心天體c的質(zhì)量為M（M遠(yuǎn)大于m1及m2），在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的是（）A．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8B．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第三定律可得，則，A正確、B錯(cuò)誤；設(shè)圖示位置夾角為θ＜，b轉(zhuǎn)動一周（圓心角為2π）的時(shí)間為t＝Tb，則a、b相距最遠(yuǎn)時(shí)：＝(π－θ)＋n·2π（n＝0，1，2，3，…），可知n＜6.75，n可取7個(gè)值；a、b相距最近時(shí)：＝(2π－θ)＋m·2π（m＝0，1，2，3，…），可知m＜6.25，m可取7個(gè)值，故在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次，D正確。4．（多選）某衛(wèi)星繞地心的運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，其周期為地球自轉(zhuǎn)周期T的，運(yùn)行的軌道與地球赤道不共面（如圖）。t0時(shí)刻，衛(wèi)星恰好經(jīng)過地球赤道上P點(diǎn)正上方。地球的質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G。則（）A．衛(wèi)星距地面的高度為B．衛(wèi)星與位于P點(diǎn)處物體的向心加速度大小比值為C．從t0時(shí)刻到下一次衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)正上方時(shí)，衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)過的角度為20πD．每次經(jīng)最短時(shí)間實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星距P點(diǎn)最近到最遠(yuǎn)的行程，衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)過的角度比地球的多7π【答案】BCD【解析】A．對衛(wèi)星，繞地球以的周期做圓周運(yùn)動時(shí)：，變形解得：h＝，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)向心加速度：an＝，所以＝＝＝，故B正確；C．下一次衛(wèi)星經(jīng)過P點(diǎn)正上方時(shí)，衛(wèi)星比地球多轉(zhuǎn)了n圈，由于一圈有兩個(gè)位置是衛(wèi)星在赤道正上方，所以有兩種情況，第一種情況是衛(wèi)星和地球都轉(zhuǎn)了整數(shù)圈，設(shè)二者分別轉(zhuǎn)了x圈、y圈，則有xT＝，x、y都為整數(shù)，y最小值為10，此時(shí)衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)過了10圈，轉(zhuǎn)過的角度為θ＝10×2π＝20π；第二種情況是衛(wèi)星和地球