第05講線線線面面面垂直的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全（滬教版2020必修三）（原卷版）

第05講線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）考點考點考向1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個平面相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點(O)的任何直線都垂直，就說這條直線和這個平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α推論1如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α推論2如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α方法技巧方法技巧1.證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．2.利用判定定理證明平面與平面垂直的一般方法先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明3.證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可能力拓展能力拓展題型一：線面垂直的判定一、填空題1．（2021·上海浦東新·高二期中）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的___________直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.2．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若，分別為四棱柱的棱，的中點，則加上條件________，就可得結(jié)論：平面.（寫出你認為正確的一個條件）二、解答題3．（2021·上海市甘泉外國語中學(xué)高二期中）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1.(1)求證：平面C1BD；(2)求證：⊥平面A1DC.4．（2021·上海市七寶中學(xué)高二期中）如圖，在三棱錐中，為的中點，，，，，，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動點：（1）求的取值范圍：（2）若為面內(nèi)的一點，且，，求的余弦值：（3）若、分別是所在正方形棱的中點，試問在棱上能否找到一點，使平面?若能，試確定點的位置，若不能，請說明理由.題型二：線面垂直證明線線平行3．（2018·上海市寶山中學(xué)高二期中）表示直線，表示平面，下列命題正確的是A．若，，則 B．若⊥，⊥，則⊥C．若⊥，⊥，則 D．若⊥，⊥，則二、填空題4．（2021·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）如圖，在正方體中，分別為，和的中點，則下列關(guān)系：①；②平面；③；④平面，正確的編號為___________________.題型三：線面垂直證明線線垂直一、單選題1．（2022·上海·復(fù)旦附中高二期中）如圖所示，一個燈籠由一根提竿PQ和一個圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的過程中，直線PQ與直線AB垂直的次數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點P是△ABC所在平面外一點，且P到△ABC三個頂點的距離相等，則P點在平面ABC上的射影是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心三、解答題5．（2021·上海市市西中學(xué)高二期中）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°(1)證明：C1C⊥BD；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明．題型四：面面垂直的判定一、單選題1．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）在三棱錐中，若，，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、填空題2．（2021·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱，，則它的5個面中，互相垂直的面有__________對.3．（2021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）已知是邊長為的正方形，點在平面外，側(cè)棱，，則該幾何體的5個面中，互相垂直的面有______對三、解答題4．（2022·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點.(1)若點是線段的中點，求證：直線平面；(2)求證：平面平面.5．（2021·上海·復(fù)旦附中高二期中）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，面．(1)求證：面面；(2)求四棱錐的側(cè)面積．題型五：面面垂直證線面垂直一、單選題1．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）已知點是正四棱錐V-ABCD的側(cè)棱VA上異于點的一動點，則點在面VBC上的射影落在（

）A．△VBC的外部 B．△C．△VBC2．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過作平面，垂足為，則點在（

）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內(nèi)部3．（2021·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期中）已知，是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題4．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖，在棱長均為的正四面體中，為中點，為中點，是上的動點，是平面上的動點，則的最小值是______.三、解答題5．（2021·上?！げ軛疃懈叨A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，.(1)求的長；(2)求點到平面的距離.題型六：空間垂直的轉(zhuǎn)化一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）已知、為異面直線，平面，平面．平面與外的直線滿足，，則（

）A．，且B．且C．與相交，且交線垂直于D．與相交，且交線平行于二、填空題2．（2021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）已知A，，，，為空間不共面的五個點，順次用線段連接這五個點構(gòu)成空間五邊形，則在此五邊形中互相垂直的邊最多有多少______對鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海·復(fù)旦附中高二期中）設(shè)?為兩條直線，?為兩個平面，則下列命題中假命題是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則2．（2021·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期中）如圖，點為正方形邊上異于點的動點，將沿翻折，得到如圖所示的四棱錐，且平面平面，點為線段上異于點的動點，則在四棱錐中，下列說法：①直線與直線必不在同一平面上；②存在點使得直線平面；③存在點使得直線與平面平行；④存在點使得直線與直線垂直.以上敘述正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④3．（2021·上海市金山中學(xué)高二期中）若a，b是異面直線，則下列命題中的假命題為（

）A．過直線a有且僅有一個平面與直線b平行B．可能存在平面與直線a，b都垂直C．唯一存在一個平面與直線a，b等距D．過直線a至多可以作一個平面與直線b垂直4．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知直線和平面，且，那么（

）A． B．C． D．5．（2021·上海市甘泉外國語中學(xué)高二期中）在三棱錐P﹣ABC中，頂點P到AB、AC和BC的距離都相等，P在底面的投影為O且在△ABC內(nèi)，則點O是△ABC的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心6．（2021·上海·高二專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起，設(shè)折起后點A的位置為A′，使二面角A′—BD—C為直二面角，給出下面四個命題：①A′D⊥BC；②三棱錐A′—BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線段PC上，AD⊥PC．將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設(shè)PB的中點為N，如圖2．對于圖2，下列選項錯誤的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN二、填空題8．（2021·上海市松江二中高二期中）“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的______________條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”）9．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）設(shè)均為直線，其中在平面內(nèi)，“”是“且”的___________條件.10．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）已知所在的平面，且，連接AE，AF，則圖中直角三角形的個數(shù)是___________.11．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）如圖，在長方體中，，則為___________.12．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）一條長為的線段夾在互相垂直的兩個平面之間，它和這兩個平面所成的角分別為和，由這條線段的兩個端點向兩個平面的交線引垂線，則垂足間的距離為________．13．（2021·上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且.有下列命題：①四棱錐為“陽馬”；②四面體為“鱉臑”③四棱錐體積最大為；④過A點分別作于點E，于點F，則.則正確命題是___________.14．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二期中）如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．給出下列命題：①PB⊥AC；②平面PAB與平面PCD的交線與AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD為銳角三角形．其中正確命題的序號是________．15．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①與是異面直線；②與平行；③與成60°角；④與垂直.請寫出所有正確結(jié)論的序號____________.16．（2021·上海市松江二中高二期中）在正方體中，，點P在平面內(nèi)，，則點P到距離的最大值為______________.17．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖，在三棱錐中，能證明的條件是_______．①，；②，；③平面平面，；④，.三、解答題18．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）已知四棱柱中，，(1)判斷與是否平行？說明理由．(2)若面面，面面，且面面，判斷與面是否垂直？說明理由．19．（2021·上海市金山中學(xué)高二期末）圓錐的頂點為，底面圓心為，線段是圓的直徑，點是圓上異于、的點，垂直于圓所在的平面，且，.(1)若為線段中點，求證：平面；(2)求圓錐的側(cè)面積，并求三棱錐體積的最大值；(3)當三棱錐體積最大時，點沿圓錐表面運動到母線中點，求該點經(jīng)過的路線的最小值.20．（2021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖1，矩形，，，點為的中點，將沿直線折起至平面平面（如圖2），點在線段上，平面.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若在棱，分別取中點，，試判斷點與平面的關(guān)系，并說明理由.21．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.22．（2022·上海·格致中學(xué)高二期末